Integer (Italiano)

Nell’insegnamento della scuola elementare, gli interi sono spesso intuitivamente definiti come i numeri naturali (positivi), zero e le negazioni dei numeri naturali., Tuttavia, questo stile di definizione porta a molti casi diversi (ogni operazione aritmetica deve essere definita su ogni combinazione di tipi di interi) e rende noioso dimostrare che gli interi obbediscono alle varie leggi dell’aritmetica. Pertanto, nella moderna matematica set-teorica, viene spesso utilizzata una costruzione più astratta che consente di definire operazioni aritmetiche senza alcuna distinzione di caso. Gli interi possono quindi essere formalmente costruiti come classi di equivalenza di coppie ordinate di numeri naturali (a,b).,

L’intuizione è che (a,b) è il risultato di sottrarre b da una. Per confermare la nostra aspettativa che 1 − 2 e 4 − 5 indicare lo stesso numero, si definisce una relazione di equivalenza ~ di queste coppie con la seguente regola:

( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

proprio quando

a + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+c.}

L’addizione e la moltiplicazione di numeri interi possono essere definite in termini di operazioni equivalenti sui numeri naturali; usando per indicare la classe di equivalenza avente (a,b) come membro, si ha:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \ cdot:=.}

La negazione (o inversa additiva) di un intero si ottiene invertendo l’ordine della coppia:

− := . {\displaystyle -:=.}

Quindi la sottrazione può essere definita come l’aggiunta dell’inverso additivo:

−:=. {\displaystyle -:=.}

L’ordine standard sugli interi è dato da:

<{\displaystyle <} se e solo se a + d < b + c . {\displaystyle a + d < b+c.,}

Si verifica facilmente che queste definizioni sono indipendenti dalla scelta dei rappresentanti delle classi di equivalenza.

Quindi, è indicato con

{a − b , se a ≥ b − ( b − a ) , se a< b . {\displaystyle {\begin{casi}a-b,&{\mbox{se }}a\geq b\\-(b-a)&{\mbox{se }}<b.\end{casi}}}

Se i numeri naturali sono identificati con i corrispondenti numeri interi (utilizzando l’incorporamento di cui sopra), la presente convenzione non crea ambiguità.,

Questa notazione recupera la rappresentazione familiare degli interi come {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Alcuni esempi sono:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\ end {aligned}}}

In informatica teorica, altri approcci per la costruzione di interi sono utilizzati da dimostratori di teoremi automatizzati e motori di riscrittura dei termini.Gli interi sono rappresentati come termini algebrici costruiti usando alcune operazioni di base (ad esempio, zero, succ, pred) e, possibilmente, usando numeri naturali, che si presume siano già costruiti (usando, ad esempio, l’approccio di Peano).

Esistono almeno dieci costruzioni di numeri interi con segno., Queste costruzioni si differenziano in diversi modi: il numero di operazioni di base utilizzati per la costruzione, il numero (di solito, tra 0 e 2) e i tipi di argomenti accettati da queste operazioni, la presenza o l’assenza dei numeri naturali come argomenti di alcune di queste operazioni, e il fatto che queste operazioni sono liberi costruttori o meno, cioè, che lo stesso numero intero può essere rappresentato utilizzando solo uno o molti algebrica termini.,

La tecnica per la costruzione di interi sopra presentati in questa sezione corrisponde al caso particolare in cui c’è un unico e fondamentale operazione di coppia ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}, che prende come argomenti due numeri naturali x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} , e restituisce un intero (pari a x − y {\displaystyle x-y} ). Questa operazione non è libera poiché l’intero 0 può essere scritto pair (0,0), o pair(1,1), o pair(2,2), ecc., Questa tecnica di costruzione è utilizzata dall’assistente di prova Isabelle; tuttavia, molti altri strumenti utilizzano tecniche di costruzione alternative, notevoli quelle basate su costruttori liberi, che sono più semplici e possono essere implementate in modo più efficiente nei computer.

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