Legge di Snell

Come mostrato nella figura a destra, supponiamo che l’indice di rifrazione di medium 1 e medium 2 siano rispettivamente n 1 {\displaystyle n_{1}} e n 2 {\displaystyle n_{2}}. La luce entra nel medio 2 dal medio 1 tramite il punto O.

Le velocità di fase della luce nel medio 1 e medio 2 sono

v 1 = c / n 1 {\displaystyle v_{1}=c/n_{1}} e v 2 = c / n 2 {\displaystyle v_{2}=c/n_{2}} rispettivamente.,

c {\displaystyle c} è la velocità della luce nel vuoto.

sia T il tempo necessario per viaggiare dal punto Q passante per il punto O il punto P.

T = x 2 + 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 = x 2 + 2 v 1 + b 2 + l 2 − l 2 x + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}

dove a, b, l e x, come indicato nella figura, dove x è la variabile di parametri.,heta _{2}}{v_{2}}}} n 1 sin ⁡ θ 1 c = n 2 sin ⁡ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}

Derivazione da Huygens”s principleEdit

in Alternativa, Snell”la legge può essere ricavato mediante interferenze di tutti i possibili percorsi di luce onda dalla sorgente di osservatore, risultati di interferenza distruttiva ovunque tranne extrema di fase (in cui l’interferenza è costruttiva)—che diventano veri e propri sentieri.,

Derivazione dalle equazioni di Maxwell

Un altro modo per derivare la Legge di Snell comporta un’applicazione delle condizioni generali al contorno delle equazioni di Maxwell per la radiazione elettromagnetica.,θ 1 = n 2 k 0 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}

Vector formEdit

cos ⁡ θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} v → r e f l e c t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {riflettere} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}

Questo riflette vettore di direzione punti indietro verso il lato della superficie dove la luce è venuta da.,{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v → r e f r a c t = ( n 1 n 2 ) l → + ( n 1 n 2 cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {la} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r a c t = r l → + ( r-c − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) per n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {la} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}

Esempio:

l → = { 0.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , r = n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {riflettere} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {la} }=\{0.636396,-0.,771362\}}

I valori del coseno possono essere salvati e utilizzati nelle equazioni di Fresnel per calcolare l’intensità dei raggi risultanti.