Proprietà associativa
Un’operazione binaria {{\displaystyle *} su un set S che non soddisfa la legge associativa è chiamata non associativa. Simbolicamente,
( x ∗ y ) ∗ z ≠ x ∗ ( y ∗ z ) per qualche x , y , z ∈ S . {\displaystyle(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{for some }}x,y,z\in S.}
Per tale operazione l’ordine di valutazione è importante., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
Anche notare che infinite somme non sono generalmente associativo, per esempio:
( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\punti \,=\,0}
mentre
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\punti \,=\,1}
Lo studio di non-strutture associative nasce da ragioni un po ‘ diverse dal mainstream della classica algebra., Un’area all’interno dell’algebra non associativa che è cresciuta molto grande è quella delle algebre di Lie. Lì la legge associativa è sostituita dall’identità Jacobi. Le algebre di Lie astraggono la natura essenziale delle trasformazioni infinitesimali e sono diventate onnipresenti in matematica.
Ci sono altri tipi specifici di strutture non associative che sono stati studiati in profondità; questi tendono a provenire da alcune applicazioni specifiche o aree come la matematica combinatoria. Altri esempi sono quasigroup, quasifield, anello non associativo, algebra non associativa e magmi non associativi commutativi.,
Nonassociatività del calcolo in virgola mobile
In matematica, l’addizione e la moltiplicazione dei numeri reali è associativa. Al contrario, in informatica, l’aggiunta e la moltiplicazione di numeri in virgola mobile non è associativa, poiché vengono introdotti errori di arrotondamento quando valori di dimensioni dissimili sono uniti tra loro.
Anche se la maggior parte dei computer calcola con un 24 o 53 bit di mantissa, questa è un’importante fonte di errore di arrotondamento e approcci come l’algoritmo di somma di Kahan sono modi per ridurre al minimo gli errori., Può essere particolarmente problematico nel calcolo parallelo.
la Notazione per i non-associativo operationsEdit
In generale, le parentesi devono essere utilizzati per indicare l’ordine di valutazione, se non associativo operazione appare più di una volta in un’espressione (a meno che la notazione specifica l’ordine in un altro modo, come 2, 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Tuttavia, i matematici concordano su un particolare ordine di valutazione per diverse operazioni non associative comuni. Questa è semplicemente una convenzione notazionale per evitare parentesi.,
Un associatività da sinistra a destra operazione è un non-associativo operazione che è convenzionalmente valutato da sinistra a destra, cioè,
x ∗ y ∗ z = ( x ∗ y ) ∗ z w ∗ x ∗ y ∗ z = ( ( w ∗ x ) ∗ y ) ∗ z etc. } per tutti i w , x , y, z {S {\displaystyle \ left.il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{tutti }}w,x,y,z\in S}
mentre il diritto-associativo operazione è convenzionalmente valutato da destra a sinistra:
x ∗ y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) ecc., } per tutti i w , x , y, z {S {\displaystyle \ left.il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}} \ qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ qquad\\\, \ end {matrix}} \ right\} {\mbox {for all}} w,x,y, z\in S}
Si verificano entrambe le operazioni associative sinistra e destra., Associatività da sinistra a destra operazioni sono i seguenti:
- la Sottrazione e la divisione di numeri reali:
x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}
- Funzione dell’applicazione:
( f x, y ) = (f x ) y ) {\displaystyle f\,x\,y)=((f\,x)\,y)} Questa notazione può essere motivato da accattivarsi isomorfismo.,
Le operazioni destra-associative includono quanto segue:
- Esponenziazione di numeri reali in notazione apice:
xyz = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} L’esponenziazione è comunemente usata con parentesi o destra-associativa perché un’operazione di esponenziazione sinistra-associativa ripetuta è di scarsa utilità. I poteri ripetuti sarebbero per lo più riscritti con la moltiplicazione: ( x y ) z = x ( y z ) {\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}} Formattato correttamente, l’apice si comporta intrinsecamente come un insieme di parentesi; ad esempio, nell’espressione 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x + 3}} l’aggiunta viene eseguita prima dell’esponenziazione nonostante non ci siano parentesi esplicite 2 ( x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}} avvolto attorno ad esso. Quindi, data un’espressione come xyz {\displaystyle x ^ {y^{z}}}, l’esponente completo y z {\displaystyle y^{z}} della base x {\displaystyle x} viene valutato per primo., Tuttavia, in alcuni contesti, soprattutto in scrittura, la differenza tra x y z = ( x y ) z {\displaystyle {x^{y}^{z}=(x^{y})^{z}} , x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}} e x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} può essere difficile da vedere. In tal caso, la destra-associatività è solitamente implicita.,
- definizione di Funzione
Z → Z → Z = Z → Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x ↦ y ↦ x − y = x ↦ ( y ↦ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)} Utilizzando il pulsante destro del associativo notazione per queste operazioni possono essere motivati da Curry–Howard corrispondenza e il currying isomorfismo.
Le operazioni non associative per le quali non è definito alcun ordine di valutazione convenzionale includono quanto segue.,splaystyle un\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c}
- Prendere il prodotto incrociato di tre vettori:
a → a × ( b → a × c → ) ≠ ( a → a × b → ) × c → per alcuni a → b → , c → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ alcuni }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}}
- Prendere le coppie medio di numeri reali:
( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 per ogni x , y , z ∈ R con x ≠ z ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}