Pythagorean Triple (Italiano)

A Pythagorean triple is a triple of positive integers , , and such that a right triangle exists with legs and hypotenuse ., Dal teorema di Pitagora, questo è equivalente a trovare interi positivi e soddisfacente

il più piccolo e Il più noto di Pitagora tripla . Il triangolo rettangolo con queste lunghezze laterali è talvolta chiamato triangolo 3, 4, 5.,

Grafici di punti nel -piano tale che è una tripla pitagorica sono mostrati sopra per limiti successivamente più grandi. Questi grafici includono valori negativi di e, e sono quindi simmetrici su entrambi gli assi x e y.

Allo stesso modo, grafici di punti nel -piano tale che è una tripla pitagorica sono mostrati sopra per limiti successivamente più grandi.,

È usuale considerare solo le triple pitagoriche primitive (chiamate anche triple “ridotte”) in cuie sono relativamente prime, poiché altre soluzioni possono essere generate banalmente da quelle primitive. Le triple primitive sono illustrate sopra, e si può vedere immediatamente che le linee radiali corrispondenti alle triple imprimitive nella trama originale sono assenti in questa figura., Per le soluzioni primitive, uno di o deve essere pari, e l’altro dispari (Shanks 1993, p. 141), con sempre dispari.,=”7a4ddb31b8″>

Hall (1970) and Roberts (1977) prove that is a primitive Pythagorean triple iff

where is a finite product of the matrices , , .,662c5″>

Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as

for , which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case , ).,

The early Greeks gave

where and are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting and ).

Let be a Fibonacci number., Then

generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers , , and constructing the Fibonacci-like sequence with terms , , , , , …, generates distinct Pythagorean triples

(Horadam 1961), where

where is a Lucas number.

For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e.,, i due numeri più piccoli) è sempre divisibile per 12, e il prodotto di tutti e tre i lati è divisibile per 60. Non è noto se ci sono due triple distinte aventi lo stesso prodotto. L’esistenza di due triple corrisponde a un diverso da zero, la soluzione per l’equazione Diofantea

(Ragazzo, 1994, p. 188).,

For a Pythagorean triple (, , ),

where is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc”>

(Robertson 1996).,

L’area di un triangolo corrispondente al Pitagorica tripla è

Fermat dimostrato che un certo numero di questo modulo non può mai essere un squarenumber.,td>

The number of such triangles is then

Then

(Beiler 1966, p., 116). Si noti che iff è primo o due volte un primo. I primi numeri per, 2,… sono 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,

Per trovare il numero di modi in cui un numero può essere l’ipotenusa di un primitivo di destra, triangolo, scrivere la sua fattorizzazione in

dove sono della forma: e sono della forma: .,> as a hypotenuse is

			(29)
			(30)

(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, che afferma che questa formula fornisce solo il numero di soluzioni non primitive), dove è la somma della funzione dei quadrati., in cui può essere una gamba o ipotenusa di un triangolo rettangolo è data dal

Lasciate che il numero di triple con ipotenusa essere indicata , il numero di triple con ipotenusa essere indicata e il numero di primitive triple a meno di essere indicata ., Then the following table summarizes the values for powers of 10.

	OEIS	, , …
	A101929	1, 50, 878, 12467, …
	A101930	2, 52, 881, 12471, …
	A101931	1, 16, 158, 1593, ..,.

Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than satisfies

(OEIS A086201).

There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d”>

Then the right triangle generated by each triple () has common area

Right triangles whose areas consist of a single digit include (area of 6) and (area of 666666; Wells 1986, p., 89).

Nel 1643, Fermat sfidò Mersenne a trovare una tripletta pitagorica la cui ipotenusa e somma delle gambe erano quadrate.,

A related problem is to determine if a specified integer can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3 e 4 non sono le aree di qualsiasi triangolo rettangolo razionale, ma 5 è (3/2, 20/3, 41/6), così come 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case

			(47)
			(48)

(Koblitz 1993)., Non esiste un metodo generale noto per determinare se esiste una soluzione per arbitrario, ma una tecnica ideata da J. Tunnell nel 1983 consente di escludere determinati valori (Cipra 1996).

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