The Epsilon Calculus (Italiano)

Panoramica

All’inizio del secolo David Hilbert e Henri Poincaré sono stati riconosciuti come i due matematici più importanti della lorogenerazione. La gamma di Hilbert di interessi matematici è stato ampio, e ha incluso un interesse per le basi della matematica: Hisfondations di geometria è stato pubblicato nel 1899, e di thelist di domande poste al Congresso Internazionale ofMathematicians nel 1900, tre affrontato distintamente foundationalissues.,

Dopo la pubblicazione del paradosso di Russell, Hilbertpresentò un discorso al Terzo Congresso Internazionale ofMathematicians nel 1904, dove, per la prima volta, abbozzò il suo piano per fornire una base rigorosa per la matematica tramite prove di coerenza sintattica. Ma non tornò sul serio sull’argomentofino al 1917, quando iniziò una serie di conferenze sui fondamenti dimatematica con l’assistenza di Paul Bernays., Sebbene Hilbert fosse impressionato dal lavoro di Russell e Whitehead nel loro PrincipiaMathematica, si convinse che il tentativo di logicista di ridurre la matematica alla logica non poteva avere successo, a causa in particolare del carattere non logico del loro assioma di riducibilità. Allo stesso tempo, ha giudicato il rifiuto intuizionista della legge del mezzo escluso come inaccettabile per la matematica. Pertanto, al fine di contrastare le preoccupazioni sollevate dalla scoperta dei paradossi logico-teorici, era necessario un nuovo approccio per giustificare i metodi matematici moderni.,

Entro l’estate del 1920, Hilbert aveva formulato un tale approccio. In primo luogo, i moderni metodi matematici dovevano essere rappresentati in deduttivisistemi formali. In secondo luogo, questi sistemi formali dovevano essere dimostrati sintatticamente coerenti, non esibendo un modello o riducendo la loro coerenza a un altro sistema, ma mediante un argomento metamatematico diretto di carattere esplicito, “finitario”. L”approccio è diventato noto come programma di Hilbert. Il calcolo epsilon è stato quello di fornire il primo componente di thisprogram, mentre il suo metodo di sostituzione epsilon è stato quello di fornire thesecond.,

Il calcolo epsilon è, nella sua forma più basilare, un’estensione della logica dei predicati di primo ordine con una “operazione epsilon”che individua, per qualsiasi vera formula esistenziale, un testimone del quantificatore esistenziale. L’estensione è conservativa nel sensoche non aggiunge nuove conseguenze del primo ordine. Ma, al contrario, i quantificatori possono essere definiti in termini di epsilons, la logica del primo ordine può essere compresa in termini di quantificatore-freereasoning che coinvolge l’operazione epsilon. È quest’ultima caratteristica che rende il calcolo conveniente allo scopo di dimostrare la coerenza., Estensioni adatte del calcolo epsilon rendono possibile incorporare teorie quantificazionali più forti di numeri e insiemi in calcoli senza quantificatori. Hilbert si aspettava che sarebbe statopossibile dimostrare la coerenza di tali estensioni.

Il calcolo di Epsilon

Nella sua conferenza di Amburgo del 1921 (1922), Hilbert presentò per la prima volta l’idea di utilizzare tale operazione per affrontare il principio del mezzo escluso in un sistema formale per l’aritmetica., Queste idee sono state sviluppate nel calcolo di epsilon e nel metodo di sostituzione di epsilon in una serie di corsi di lezione tra il 1921 e il 1923, e Inilbert (1923). La presentazione finale del calcolo epsilonpuò essere trovato nella tesi di Wilhelm Ackermann (1924).

Questa sezione descriverà una versione del calcolo corrispondente alla logica del primo ordine, mentre le estensioni al primo e al secondo ordine saranno descritte di seguito.

Sia \(L\) un linguaggio di primo ordine, vale a dire un elenco di simboli costanti, funzione e relazione con arità specificate., L’insieme dei termini epsilon e l’insieme delle formule di \(L\) sono definiti in modo induttivo, simultaneamente, come segue:

La sostituzione e le nozioni di variabile libera e vincolata, sono definite nel solito modo; in particolare, la variabile \(x\) diventa vincolata nel termine \(\varepsilon x A\). L’interpretazione prevista è che \ (\varepsilon x A\) denota alcuni\ (x\) soddisfacenti \(A\), se ce n’è uno., Pertanto, i termini di epsilon sono regolati dal seguenteassioma (“assioma transfinito” di Hilbert): \ Inoltre, il calcolo di epsilon include un set completo di assiomi che governano i connettivi proposizionali classici e assiomi che governano il simbolo di uguaglianza.Le uniche regole del calcolo sono le seguenti:

• Modus ponens
• Sostituzione: da \(A(x)\), concludere \(A(t)\), per qualsiasi termine\(t.,\)

Le forme precedenti del calcolo epsilon (come quella presentata inHilbert 1923) usano una forma duale dell’operatore epsilon, in cui\(\varepsilon x A\) restituisce un valore falsificando \(A(x)\). La versione di cui sopra è stata utilizzata nella dissertazione di Ackermann (1924), ed è diventata standard.

Si noti che il calcolo appena descritto è privo di quantificatori. Quantificatoripuò essere definito come segue: \ I soliti assiomi e regole del quantificatore possono essere derivati da questi, quindi le definizionisopra servono a incorporare la logica del primo ordine nel calcolo epsilon., Theconverse è, tuttavia, non vero: non ogni formula nel epsiloncalculus è l’immagine di una formula quantificata ordinaria sotto thisembedding. Quindi, il calcolo di epsilon è più espressivo del calcolo di thepredicate, semplicemente perché i termini di epsilon possono essere combinati in modi più complessi rispetto ai quantificatori.

The Epsilon Theorems

Il secondo volume di Hilbert e Bernays’ Grundlagen derMathematik (1939) fornisce un resoconto dei risultati sul epsilon-calcolo che era stato dimostrato da quel momento., Ciò include una discussione del primo e del secondo teorema di epsilon con applicazionialla logica del primo ordine, il metodo di sostituzione di epsilon per l’aritmetica con induzione aperta e uno sviluppo dell’analisi (cioè aritmetica del secondo ordine) con il calcolo di epsilon.

Il primo e il secondo teorema di epsilon sono i seguenti:

Nel primo teorema di epsilon, “predicatelogic senza quantificatori” è inteso per includere la regola di sostituzione sopra, quindi gli assiomi senza quantificatori si comportano come le loro chiusure universali., Poiché il calcolo epsilon include la logica del primo ordine,il primo teorema epsilonimplica che qualsiasi deviazione attraverso la logica del predicato del primo ordine utilizzata per ottenere un teorema senza quantificatori da assiomi senza quantificatori può essere evitata. Il secondo teorema di epsilon mostra che anydetour attraverso il calcolo di epsilon usato per derivare un teorema nel linguaggio del calcolo del predicato da assiomi nel linguaggio del calcolo del predicato può anche essere evitato.,

Più in generale, il primo teorema di epsilon stabilisce che i quantificatori e gli epsiloni possono sempre essere eliminati da una dimostrazione di formula priva di aquantifier da altre formule prive di quantificatore. Questo èdi particolare importanza per il programma di Hilbert, poiché gli epsiloni svolgono il ruolo di elementi ideali in matematica. Se le formule prive di quantifier corrispondono alla parte “reale” della teoria matematica, il primo teorema di epsilon mostra che gli elementi ideali possono essere eliminati dalle prove di affermazioni reali, a condizione che gli assiomi siano anche affermazioni reali.,

Questa idea è resa precisa in un certo teorema di coerenza generale che Hilbert e Bernays derivano dal primo teorema di epsilon, che dice quanto segue: Sia \(F\) qualsiasi sistema formale che risulta dal calcolo del predicato mediante aggiunta di simboli costanti, funzione e predicati più assiomi veri che sono quantificatori e privi di epsilon, e supponiamo che la verità delle formule atomiche nel newlanguage sia decidibile. Quindi \(F\) è coerente nel senso strongche ogni formula derivabile quantificatore-e senza epsilon è vera.,Hilbert e Bernays usano questo teorema per dare una consistenza finitariaproof di geometria elementare (1939, Sec 1.4).

La difficoltà di fornire prove di coerenza per l’aritmetica e l’analisi consiste nell’estendere questo risultato ai casi in cui gli assiomi contengono anche elementi ideali, cioè termini epsilon.

Ulteriori letture. Le fonti originali sull’epsilon-calculusand i teoremi di epsilon (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939) rimangono disponibili solo in tedesco. Leisenring 1969 è un relativamentemoderno libro-lunghezza introduzione al calcolo epsilon in inglese.,Il primo e il secondo teorema di epsilon sono descritti in dettaglio in Zach2017. Moser& Zach 2006 fornisce un’analisi dettagliata per il casosenza uguaglianza. Le prove originali sono date per assiomaticopresentazioni del calcolo epsilon. Maehara 1955 è stato il primo perconsiderare il calcolo sequenziale con termini epsilon. Mostrò come dimostrare il secondo teorema di epsilon usando l’eliminazione del taglio, e poi rafforzò il teorema per includere lo schema dell’estensionalità (Maehara 1957). Baaz et al. 2018 dare una versione migliorata del primoterema epsilon., Correzioni agli errori in letteratura (inclusoil libro di Leisenring) può essere trovato in Flannagan 1975; Ferrari 1987;e Yasuhara 1982. Una variazione del calcolo epsilon basata su Skolemfunctions, e quindi compatibile con la logica del primo ordine, è discussa in Davis & Fechter 1991.

Teorema di Herbrand

La versione del teorema di Herbrand appena descritta segue immediatamente il primo esteso Teorema di Epsilon Dihilbert e Bernays., Usando metodi associati alla dimostrazione del secondo teorema di epsilon, tuttavia, Hilbert e Bernays hanno derivato un risultato più lungo che,come la formulazione originale di Herbrand, fornisce ulteriori informazioni. Per capire le due parti del teoriosotto, aiuta a considerare un esempio particolare. Sia\ (A\) theformula

\ dove \(B\) è privo di quantificatori. La negazione di \(A\) è equivalente a \ da Skolemizing, cioè,, usingfunction simboli a testimonianza esistenziale quantificatori, otteniamo\ Prendendo la negazione di questo, possiamo vedere che il originalformula è “equivalente” a \

Quando ci si riferisce a un’istanza della matrice \(A^H\), wemean una formula che si ottiene sostituendo i termini del expandedlanguage nella matrice di \(A^H\). Ora possiamo affermare che la formulazione di Hilbert Ebernays di

Il teorema di Herbrand può anche essere ottenuto usando la cuteliminazione, tramite il “teorema di metà seguito” di Gentzen.,”Tuttavia, la dimostrazione che utilizza il secondo teorema di epsilon ha la differenza di essere la prima prova completa e corretta del teorema di Herbrand. Inoltre, e questo è raramente riconosciuto,mentre le prove, basate su cut-eliminazione fornisce un balzo thelength di Herbrand disgiunzione solo in funzione del taglio rangoe complessità del taglio formule in prova, la lunghezza otteneva la prova basata sulla epsilon calcolo fornisce un limite come afunction del numero di applicazioni del transfinito assioma, il rango e il grado di epsilon-condizioni che si verificano in esso., In altre parole, la lunghezza della disgiunzione di Herbrand dipende solo dalla complessità quantitativa delle sostituzioni coinvolte e, ad esempio,non dalla struttura proposizionale o dalla lunghezza della prova.

La versione del teorema di Herbrand dichiarata all’inizio di questa sezione è essenzialmente il caso speciale di (2) in cui la forma \(A\) è esistenziale. Alla luce di questo caso speciale, (1) èequivalente all’affermazione che una formula \(A\) è derivabile nella logica del predicato di primo ordine se e solo se \(A^H\) lo è., Il forwarddirection di questa equivalenza è molto più facile da dimostrare; infatti, forany formula \(A, A \rightarrow A^H\) è derivabile nella logica dei predicati.Dimostrare la direzione inversa comporta l’eliminazione dei simboli addizionali in \ (A^H\), ed è molto più difficile, specialmente inla presenza di uguaglianza. È qui che i metodi epsilon giocano unruolo centrale.

Una sorprendente applicazione del teorema di Herbrand e dei metodi correlati è trovata nell’analisi del teorema di Roth di Luckhardt (1989). Per una discussione di estensioni utili dei metodi di Herbrand, vedere Sieg 1991.,Una versione modello-teorica di questo è discussa in Avigad 2002a.

Il metodo di sostituzione Epsilon e l’aritmetica

Come notato sopra, storicamente, l’interesse primario per l’epsiloncalculus era come mezzo per ottenere prove di coerenza.Le lezioni di Hilbert del 1917-1918 già notano che si può facilmente dimostrare la coerenza della logica proposizionale, prendendo variabili e formule proposizionali per variare sui valori di verità 0 e 1, e interpretando i connettivi logici come le operazioni aritmetiche corrispondenti., Allo stesso modo, si può dimostrare la coerenza della logica predicata (o il puro calcolo di epsilon), specializzandosi in interpretazioni in cui l’universo del discorso ha un singolo elemento.Queste considerazioni suggeriscono il seguente programma più generale per migliorare la coerenza:

• Estendere il calcolo epsilon in modo tale da rappresentare grandiporzioni di matematica.
• Mostra, usando metodi finitari, che ogni dimostrazione nel sistema esteso ha un’interpretazione coerente.,

Supponiamo di voler mostrare che il sistema sopra è coerente; in altre parole, vogliamo mostrare che non esiste alcuna prova della formula \(0 =1\). Spingendo tutte le sostituzioni agli assiomi e sostituendo freevariables con la costante 0, è sufficiente mostrare che non esiste una prova proposizionale di \(0 = 1\) da un insieme finito di istanze chiuse degli assiomi. Per questo, è sufficiente dimostrare che, dato qualsiasi finiteset di istanze chiuse di assiomi, si possono assegnare valori numerici ai term in modo tale che tutti gli assiomi siano veri sotto l’interpretazione., Poiché le operazioni aritmetiche \ ( + \ ) e \(\times\) possono essere interpretate nel solito modo, l’unica difficoltà sta nel trovare valori appropriati da assegnare ai termini epsilon.

Il metodo di sostituzione epsilon di Hilbert può essere descritto,approssimativamente, come segue:

Una prova di coerenza finitaria si ottiene una volta che viene mostrato in modo minimamente accettabile che questo processo di”riparazioni” successive termina. Se lo fa, tutte le formule critichesono formule vere senza termini epsilon.,

Questa idea di base (il “Hilbertsche Ansatz”) è stato impostato outfirst da Hilbert nel suo discorso del 1922 (1923), ed elaborato in lecturesin 1922-23. Gli esempi forniti, tuttavia, riguardano solo le prove in cui tutte le istanze dell’assioma transfinito corrispondono a un solo termine epsilon \(\varepsilon x A(x)\). La sfida consisteva nell’estendere l’approccio a più di un termine epsilon, a epsilontermi nidificati e, in ultima analisi, a epsilon di secondo ordine (al fine di ottenere una prova di coerenza non solo dell’aritmetica, ma dell’analisi).,

Questo è solo uno schizzo delle difficoltà coinvolte nell’estendere l’idea di Gilbert al caso generale. Ackermann (1924) ha fornito tale generalizzazione utilizzando una procedura che “backtracks”ogni volta che una nuova interpretazione in una data fase si traduce nella necessità di correggere un’interpretazione già trovata in una fase precedente.

La procedura di Ackermann si applicava a un sistema di second-orderarithmetic, in cui, tuttavia, i termini del secondo ordine erano limitati soas per escludere l’associazione incrociata di epsilons del secondo ordine., Ciò equivale, approssimativamente, a una restrizione alla comprensione aritmetica come principio di formazione del gruppo disponibile (vedi la discussione alla fine di questa sezione). Ulteriori difficoltà con il secondo ordine epsilon termssurfaced, e divenne rapidamente evidente che la prova in quanto stoodwas era fallace. Tuttavia, nessuno nella scuola di Hilbert realizzò l’estensione della difficoltà fino al 1930, quando Gödel annunciò i suoi risultati di incompletezza., Fino ad allora, si credeva che la dimostrazione (almeno con alcune modifiche introdotte da Ackermann, alcune delle quali includevano idee dalla versione di von Neumann (1927) del metodo epsilonsubstitution) sarebbe passata almeno per la prima parte dell’ordine. Hilbert e Bernays (1939) suggeriscono che i metodi usati solofornisce una prova di coerenza per l’aritmetica del primo ordine con openinduction. Nel 1936, Gerhard Gentzen riuscì a dare una prova della coerenza dell’aritmetica del primo ordine in una formulazione basata sulla logica predicata senza il simbolo epsilon., Questa prova utilizza l’induzione di transfinite fino a \ (\varepsilon_0\). Ackermann (1940) fu più tardi in grado di adattare le idee di Gentzen per dare una prova di coerenza corretta dell’aritmetica del primo ordine usando il metodo di sostituzione dell’epsilon.

L’analisi, o aritmetica del secondo ordine, è l’estensione di first-orderarithmetic con lo schema di comprensione per arbitrarie second-orderformulae. La teoria è impredicative in quanto permette oneto definire insiemi di numeri naturali utilizzando quantificatori che vanno overthe intero universo di insiemi, tra cui, implicitamente, l’insieme beingdefined., Si possono ottenere frammenti predittivi di questa teoriaferrando il tipo di formule consentite nella comprensioneassioma. Ad esempio, la restrizione discussa in relazione Aackermann sopra corrisponde al comprehensionschema aritmetico, in cui le formule non comportano quantificatori di secondo ordine. Ci sono vari modi per ottenere frammenti più forti dianalisi che sono comunque predicativamente giustificate., Ad esempio, si ottiene un’analisi ramificata associando un rango ordinale per impostare le variabili; approssimativamente,nella definizione di un insieme di un determinato rango, i quantificatori variano solo su insiemi di rango inferiore, cioè quelli le cui definizioni sono logicamente precedenti.

Ulteriori letture. Le prime prove di Hilbert e Ackermann sono discusse in Zach 2003; 2004. La prova di Von Neumann èil tema di Bellotti 2016. La prova di Ackermann del 1940 è discussa in Hilbert & Bernays 1970 e Wang 1963. Una presentazione moderna èdata da Moser 2006., Una prima applicazione della sostituzione epsilon è l’interpretazione senza controesempio (Kreisel 1951).

Sviluppi più recenti

In questa sezione discutiamo lo sviluppo del metodo epsilon-substitutionmethod per ottenere risultati di coerenza per sistemi forti; questi risultati sono di natura matematica. Non possiamo, purtroppo,discutere i dettagli delle prove qui, ma vorremmo indicare cheil metodo di sostituzione di epsilon non è morto con ilprogramma di Hilbert, e che una quantità significativa di ricerche attuali è svolta nei formalismi di epsilon.,

Le prove di coerenza di Gentzen per l’aritmetica hanno lanciato un campo di ricerca noto come analisi ordinale, eil programma di misurare la forza delle teorie matematiche utilizzando notazioni ordinali è ancora perseguito oggi. Questo è particolarmente rilevante per il programma di Hilbert esteso, dove l’obiettivo è quello di giustificare la matematica classica rispetto ai sistemi costruttivi, oquasi-costruttivi., I metodi di eliminazione del taglio di Gentzen (ed estensioni alla logica infinitaria sviluppate da PaulLorentzen, Petr Novikov e Kurt Schütte) hanno, in gran parte,soppiantato i metodi di sostituzione di epsilon in queste attività. Ma i metodi epsiloncalculus forniscono un approccio alternativo, e c’è ancora una ricerca attiva sui modi per estendere i metodi di Hilbert-Ackermann alle teorie più forti. Il modello generale rimane lo stesso:

1. Incorpora la teoria in esame in un epsiloncalculus appropriato.
2. Descrivere un processo per l’aggiornamento delle assegnazioni agli epsilonterms.,
3. Mostrano che la procedura si sta normalizzando, cioè, dato qualsiasi set di termini, c’è una sequenza di aggiornamenti che si traduce in un assignmentthat soddisfa gli assiomi.

Poiché l’ultimo passaggio garantisce la coerenza della teoria originale,da un punto di vista fondamentale si è interessati ai metodiutilizzati per dimostrare la normalizzazione. Ad esempio, si ottiene un ordinalanalysis assegnando notazioni ordinali ai passaggi nella procedura, in modo tale che il valore di una notazione diminuisca con ogni passaggio.,

Nel 1960, Tait (1960, 1965, 2010) Extendedackermann’s methods to obtain an ordinal analysis of extensions of arithmetic with principles of transfinite induction. Versioni più innovative e moderne di questo approccio possono essere trovate in Mints2001 e Avigad 2002b., Più recentemente, Mints, Tupailo e Buchholzhavono considerato frammenti di analisi più forti, ma ancora predicativamente giustificabili, comprese le teorie della comprensione aritmetica e una regola di comprensione \(\Delta^{1}_1\) (Mints,Tupailo &Buchholz 1996; Mints & Tupailo 1999; vedi anche Mints 2016). Arai2002 ha esteso il metodo di sostituzione epsilon alle teorie che consentono di iterare la comprensione aritmetica lungo ordini di pozzi primitivi., In particolare, il suo lavoro produce ordinalanalyses per frammenti predicativi di analisi che coinvolgono transfinitehierarchie e transfinite induzione.

Alcuni primi passi sono stati compiuti nell’utilizzo del metodo di sostituzione epsilon nell’analisi delle teorie impredicative (vedi Arai2003, 2006 e Mints 2015).

Una variazione al passaggio 3 sopra comporta la dimostrazione che normalizationprocedure non è sensibile alla scelta degli aggiornamenti, vale a dire che qualsiasi sequenza di aggiornamenti termina. Questo è chiamato strongnormalization., Mints 1996 ha dimostrato che molte delle procedureconsiderato hanno questa proprietà più forte.

Oltre al tradizionale ramo fondamentale della teoria delle prove, oggi c’è un buon interesse nella teoria delle prove strutturali,un ramo del soggetto che si concentra sulla deduttivacalcoli logici e le loro proprietà. Questa ricerca è strettamente legata a questioni attinenti all’informatica, avendo a che fare con la riduzione automatizzata, la programmazione funzionale e la verifica assistita dal computer.Anche qui, i metodi in stile Gentzen tendono a dominare (vedi di nuovo la voce sulla teoria delle prove)., Ma il calcolo epsilon può anche fornire preziose intuizioni; cfr. per esempio Aguilera& Baaz 2019, o la discussione del teorema di Herbrand sopra.

A parte le indagini del calcolo di epsilon nella teoria delle prove,dovrebbero essere menzionate due applicazioni. Uno è l’uso di epsilonnotation in Theorie des ensembles di Bourbaki (1958).Il secondo, forse di maggior interesse attuale, è l’uso dell’operatore epsilon nei sistemi di dimostrazione del teorema HOL e Isabelle, dove la potenza espressiva dei termini epsilon produce vantaggi pratici significativi.,

Operatori Epsilon in linguistica, filosofia e logica non classica

La lettura dell’operatore epsilon come un operatore di scelta indefinita(“an \(x\) tale che \(A(x)\)”) suggerisce che potrebbe essereuno strumento utile nell’analisi delle espressioni nominali indefinite e definite nella semantica formale. La notazione epsilon è stata infatti così utilizzata, e questa applicazione si è rivelata utile in particolare nel trattare il riferimento anaforico.

Considera l’esempio familiare

1. Ogni contadino che possiede un asino lo batte.,ns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Batte}(x, y))\)

Lo svantaggio è che “un asino” suggeriscono un existentialquantifier, e quindi l’analisi deve, in qualche modo, parallela formthe analisi della frase 3 dato da 4:

ma il più vicino possibile formalizzazione,

1. \(\forall x ((\mathrm{Agricoltore}(x) \wedge \exists y(\mathrm{Asino}(y) \wedge \mathrm{Possiede}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Batte}(x, y))\)

Come sottolineato da von distribuzione heusinger (1994), questo suggerisce che Neale iscommitted di pronomi essere ambiguo tra definita descrizioni\((\iota\)-espressioni) e whe-espressioni., Heusinger suggerisce invece di utilizzare gli operatori epsilon indicizzati dalle funzioni di scelta (chedipende dal contesto). Secondo questo approccio, l’analisi di(1) è

Questo approccio alla gestione dei pronomi utilizzando gli operatori epsilon indicizzati dalle funzioni di scelta consente a von Heusinger di affrontare un’ampia varietà di circostanze (vedi Egli e von Heusinger, 1995; von Heusinger,2000).

Le applicazioni dell’operatore epsilon in semantica formale, e le funzioni di scelta in generale, hanno ricevuto un interesse significativo negli ultimi anni., Von Heusinger e Egli (2000a) elencano, tra gli altri, i seguenti: rappresentazioni di domande (Reinhart, 1992), specificindefinites (Reinhart 1992; 1997; Inverno 1997), pronomi di tipo E(Hintikka e Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli e vonHeusinger 1995) e frasi nominali definite (von Heusinger 1997,2004).

Per la discussione dei problemi e delle applicazioni dell’epsilon operatorin linguistica e filosofia del linguaggio, vedi B. H., L’articolo di Slater sui calcoli epsilon (citato nell’altra sezione delle risorse Internet di seguito) e le collezioni von Heusinger e Egli 2000 e von Heusinger e Kempson 2004.

Meyer Viol (1995a, 1995b) contiene ulteriori studi teorici di prove e modelli del calcolo di epsilon; in particolare epsiloncalculi intuizionistici. Qui, i teoremi di epsilon non sono più validi, cioè l’introduzione dei termini di epsilon produce estensioni non conservative della logica intuizionistica. Altre indagini sugli operatori epsilon inla logica intuizionista può essere trovata in Shirai (1971), Bell (1993a,1993b) e DeVidi (1995)., Per gli operatori epsilon in logiche a molti valori,vedere Mostowski (1963), per il calcolo modale epsilon, Fitting (1975).

Ulteriori letture. Di seguito è riportato un elenco di alcune pubblicazioninell’area della lingua e della linguistica rilevanti per l’epsiloncalculus e le sue applicazioni. Il lettore si rivolge in particolare alle collezioni von Heusinger & Egli (eds.) 2000 e von Heusinger & Kempson (eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

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