スネルの法則

Snellの法則はさまざまな方法で導き出すことができます。

フェルマーの原理からの導出編集

スネルの法則は、光が最も時間がかかる経路を移動するというフェルマーの原理から導くことができます。, 光路長の導関数を取ることによって、定常点が光によって取られる経路を与えることがわかる。 （（球面）鏡での反射のように、最小の時間経路を取らないことによって、フェルマーの原理に違反する光の状況があります。）古典的な類推では、より低い屈折率の領域はビーチに置き換えられ、より高い屈折率の領域は海に置き換えられ、ビーチの救助者が海で溺死した人に到達する最も速い方法は、スネルの法則に従う経路に沿って走ることである。,

右の図に示すように、媒体1と媒体2の屈折率はそれぞれn1{\displaystyle n_{1}}とn2{\displaystyle n_{2}}であると仮定する。 光は点Oを介して媒体2から媒体1に入る

媒体1と媒体2の光の位相速度はそれぞれ

v1=c/n1{\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}とv2=c/n2{\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}である。,

c{\displaystyle c}は真空中の光の速度である。

光が点Qから点Oを通って点Pに移動するのに必要な時間をTとする

T=x2+a2v1+b2+(l−x)2v2=x2+a2v1+b2+l2−2l x+x2v2{\displaystyle T={\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac{\sqrt{b^{2}}}}{\frac{\sqrt{b^{2}}}}{\frac{\sqrt{b^{2}}}}}{\frac{\sqrt{b^{2}}}}}}{\frac{\sqrt{b^{2}}}}}}}}{\frac{\sqrt{b^{2}}}}}}}}}{\frac{\sqrt{b^{2}}}}}}}}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\Frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac{\sqrt{b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}

ここで、a、b、l、xは右図に示されているように、xは可変パラメータである。,heta_{2}}{v_{2}}}n1sin≤1c=n2sin≤2c{\displaystyle{\frac{n_{1}\sin\theta_{1}}{c}}={\frac{n_{2}\sin\theta_{2}}{c}}}n1sin≤1=n2sin≤2{\displaystyle n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}}

ホイヘンスの原理からの導出eedit

あるいは、スネルの法則は、光源から観測者までの光波のすべての可能な経路の干渉を使用して導出することができます—それは位相の極値（干渉が建設的である）を除いてどこでも破壊的な干渉をもたらします—実際の経路になります。,

マクスウェル方程式からの導出編集

スネルの法則を導出する別の方法は、電磁放射に対するマクスウェル方程式の一般境界条件の適用を含む。,θ1=n2 0k sin⁡θ2{\displaystyle n_{1}k_{0}\sin\theta_{1}=n_{2}k_{0}\sin\theta_{2}\,}n1sin⁡θ1=n2sin⁡θ2{\displaystyle n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}\,}

ベクトルformEdit

cos⁡θ1=−n→î l→{\displaystyle\cos\theta_{1}=-{\vec{n}}\cdot{\vec{l}}}v→r e f l e c t=l→+2cos⁡θ1n→{\displaystyle{\vec{v}}_{\mathrm{を反映し}}={\vec{l}}+2\cos\theta_{1}{\vec{n}}}

この反映方向ベクトルポイントにかけての側面が光った。,{2}={\sqrt{1-(\sin\theta)}_{2})^{2}}}={\sqrt{1-\left({\frac{n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos\theta_{1}\right)^{2}\right)}}}v→r e f r a c t=(n1n2)l→+(n1n2cos≤1−cos≤2)n→{\displaystyle{\vec{v}}_{\mathrm{refract}}=\left({\mathrm{refract}}}}v→r e f r a c t=(n1n2)l→+(n1n2cos≤1-cos≤2)n→{\displaystyle{\mathrm{refract}}_{\mathrm{refract}}_{\mathrm{refract}}_{\mathrm{refract}}_{\mathrm{refract}}_{\mathrm{refract}}_{\mathrm{refract}}frac{n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec{l}}+\left({\frac{n_{1}}{n_{2}}}\cos\theta_{1}−\cos\theta_{2}\right){\vec{n}}}v→r e f r a c t=r l→+(r c−1−r2(1-c2))n→{\displaystyle{\vec{v}}_{\mathrm{屈折}}=r{\vec{l}}+\左（rc-{\sqrt{1-r^{2}\左（1-c^{2}\右）}}\右）{\vec{n}}}

例：

l→={0。,707107,-0.707107},n→={0,1},r=n1n2=0.9{\displaystyle{\vec{l}}{\displaystyle{\vec{l}}{\displaystyle{\vec{l}}}{\displaystyle{\vec{l}}}}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec{n}}=\{0,1\},~r={\frac{n_{1}}{n_{2}}}=0.9}c=cos⁡ θ1=0.707107,1−r2(1−c2)=cos⁡ θ2=0.771362{\displaystyle c=\cos\theta_{1}=0.707107,~{\sqrt{1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos\theta_{2}=0.771362}v→r e f l e c t={0.707107,0.707107},v→r e f r a c t={0.636396,−0.771362}{\displaystyle{\vec{v}}_{\mathrm{reflect}}{\displaystyle{\vec{v}}_{\mathrm{reflect}}}{\mathrm{reflect}}}{\mathrm{reflect}}}{\mathrm{reflect}}}{\mathrm{reflect}}}{\mathrm{reflect}}}{\mathrm{reflect}}}{\mathrm{reflect}}}{\mathrm{reflect}}}} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec{v}}_{\mathrm{屈折}}=\{0.636396,-0.,771362\}}

余弦値は保存され、結果として得られる光線の強度を計算するためにフレネル方程式で使用されることがあります。