Integer (日本語)

小学校の授業では、整数は直感的に（正の）自然数、ゼロ、および自然数の否定として定義されることがよくあります。, しかし、この定義のスタイルは、多くの異なるケースにつながり（各演算は、整数の型の各組み合わせで定義する必要があります）、整数が算術の様々な法則に従うことを証明することは面倒です。 したがって、現代の集合論的数学では、ケースの区別なしに算術演算を定義することを可能にするより抽象的な構成が代わりにしばしば使用される。 したがって、整数は自然数(a,b)の順序対の同値類として形式的に構成することができる。,

直感は、(a,b)はaからbを引いた結果を表すということであり、1−2と4−5が同じ数を表すという期待を確認するために、これらのペア上の同値関係~を次の規則で定義する：

(a,b)∼(c,d){\displaystyle(a,b)\sim(c,d)}

正確に

a+d=b+cのときに定義する。 {\displaystyle a+d=b+c.}

整数の加法と乗法は、自然数に対する同値演算によって定義することができ、(a,b)をメンバーとして持つ同値類を表すために使用することによって、

+:=が得られる。 {\displaystyle+:=.} ⋅ := ., {\displaystyle\cdot:=. 整数の否定（または加法的逆）は、ペアの順序を逆にすることによって得られます：

−：=。 {\displaystyle-:=. したがって、減算は加法逆行列の加算として定義することができます：

−:=。 {\displaystyle-:=.}

整数の標準的な順序は次のように与えられる：

<{\displaystyle<}a+d<b+cであることと同値である。 {\displaystyle a+d<b+c.,}

これらの定義が同値類の代表の選択とは無関係であることが容易に検証される。

したがって、

{a−b、a≤b−(b−a)であれば、a<bであれば、

{a-b、で表される。 {\displaystyle{\begin{cases}a-b,&{\mbox{if}}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if}}a<b.\end{cases}}}

自然数が対応する整数で識別される場合（上記の埋め込みを使用）、この規則はあいまいさを作成しません。,

この表記法は、整数のよく知られた表現を次のように回復します{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

いくつかの例は次のとおりです。

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{aligned}}}

理論計算機科学では、整数の構築のための他のアプローチは、自動化された定理証明者および項書き換えエンジンによって使用される。整数は、いくつかの基本的な演算（例えば、zero、succ、pred）を使用して構築された代数項として表され、おそらくはすでに構築されていると仮定される自然数を使用して表される（例えば、Peanoアプローチを使用して）。

符号付き整数の少なくとも十つのそのような構成が存在する。, これらの構成はいくつかの点で異なり、構成に使用される基本演算の数、数（通常は0から2の間）、およびこれらの演算によって受け入れられる引数の型、これらの演算の引数としての自然数の有無、およびこれらの演算が自由構成子であるかどうか、すなわち同じ整数を一つまたは多くの代数項で表すことができるという事実である。,

この節で上に示した整数の構成手法は、二つの自然数x{\displaystyle x}とy{\displaystyle y}を引数として取り、整数（x−y{\displaystyle x-y}に等しい）を返す単一の基本演算対(x,y){\displaystyle(x,y)}が存在する特定の場合に対応する。 整数0はpair(0,0)、pair(1,1)、pair(2,2)などと書くことができるので、この操作は自由ではありません。, この構築手法はproof assistant Isabelleによって使用されていますが、他の多くのツールでは、より簡単でコンピュータでより効率的に実装できる自由な構築者に基づく別の構築手法を使用しています。

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