曲率

直感的には、曲率は、曲線の任意の部分について、小さな移動距離（例えば、rad/m単位の角度）にわたって曲線方向がどのくらい変化するかを表すので、曲線上を移動する点の方向の瞬間的な変化率の尺度である：曲率が大きいほど、この変化率は大きくなる。 言い換えれば、曲率は、曲線に対する単位接線ベクトルが回転する速度を測定する（曲線位置に関しては速い）。 実際、この瞬間的な変化率が正確に曲率であることが証明できます。, より正確には、点が一つの単位の一定速度で曲線上を移動していると仮定する、すなわち、点P（s）の位置は、パラメータsの関数であり、これは時間または与えられた原点からの円弧の長さとして考えることができる。 T(s)をp(s)における曲線の単位接ベクトルとし、これはsに関するp(s)の導関数でもあるとすると、sに関するt(s)の導関数は曲線に垂直で長さが曲率であるベクトルである。,

意味を持つためには、曲率とその異なる特徴付けの定義は、曲線がpの近くで連続的に微分可能であること、連続的に変化する接線を持つこと、また曲線がpにおいて二回微分可能であること、関与する極限の存在とT(s)の導関数の存在を保証することを必要とする。

単位接ベクトルの導関数による曲率の特徴付けは、おそらく振動円の定義よりも直感的ではありませんが、曲率を計算するための公式は推測, したがって、また運動学におけるその使用のために、この特性評価はしばしば曲率の定義として与えられる。

Osculating circleEdit

歴史的に、微分可能な曲線の曲率は、点で曲線を最もよく近似する円であるosculating circleを介して定義されました。 より正確には、曲線上の点Pが与えられたとき、曲線上の他のすべての点Qは、Qを通り、pで曲線に接する円（または時には線）を定義します。, そして、Pにおける曲線の中心と曲率半径は、振動円の中心と半径です。 曲率は曲率半径の逆数です。 すなわち、曲率は

π=1R,{\displaystyle\kappa={\frac{1}{R}},}

ここでRは曲率半径である（円全体はこの曲率を持ち、長さ2nRに対して2π回と読むことができる）。

この定義は操作が困難で、数式で表現することは困難です。 したがって、他の同等の定義が導入されている。,

弧長パラメータ化編集に関して

すべての微分可能な曲線は弧長に関してパラメータ化することができます。 平面曲線の場合、これはパラメータ化π(s)=(x(s),y(s))の存在を意味し、xとyは導関数が

π’π=x'(s)2+y'(s)2=1を満たす実数値微分可能関数である。 {\displaystyle\|{\boldsymbol{\gamma}}”\/={\sqrt{x”(s)^{2}+y”(s)^{2}}}=1.,}

これは接ベクトル

T(s)=(x'(s),y'(s)){\displaystyle\mathbf{T}(s)={\bigl(}x”(s),y”(s){\bigr)}}

が一つに等しいノルムを持ち、したがって単位接ベクトルであることを意味する。

曲線が二回微分可能であるとき、つまりxとyの二次導関数が存在するとき、t(s)の導関数が存在するとき、曲線が二回微分可能であるとき、t(s)の導 このベクトルは曲線に対して法線であり、そのノルムは曲率φ(s)であり、曲率中心に向いています。,yle{\開始{整列}&\mathbf{T}（s）={\ボールシンボル{\ガンマ}}”（s）、\&\mathbf{T}^{2}（s）=1（const）\意味\mathbf{T}”（s）\cdot\mathbf{T}（s）=0\&\kappa（s）=\|\mathbf{t}”（s）\|=\|{\ボールシンボル{\ガンマ}}””（s）\|={\sqrt{x””（s）^{2}+y””（S）\/\カッパ（s）=\/\mathbf{t}””（s）\/={\sqrt{x””（s）^{2}+y””（S）\/\カッパ（s）\/\カッパ（s）\/\カッパ（s）\/)^{2}}}\\\end{aligned}}}

さらに、曲率半径は

R(s)=1π(s){\displaystyle R(s)={\frac{1}{\kappa(s)}},}

であり、曲率中心が曲線の法線上にあるので、曲率中心は点

C(s)=π(s)+1π(s)2T'(s)である。, {\displaystyle\mathbf{C}(s)={\boldsymbol{\gamma}}(s)+{\frac{1}{\kappa(s)^{2}}}\mathbf{T}”(s)。}

N(s)がt(s)からπ/2の反時計回り回転によって得られる単位法線ベクトルであれば、

T'(s)=k(s)N(s),{\displaystyle\mathbf{T}”(s)=k(s)\mathbf{N}(s),}

でk(s)=±π(s)となる。 実数k(s)は方向付き曲率または符号付き曲率と呼ばれます。 これは、平面の向き（反時計回りの定義）と、パラメータ化によって提供される曲線の向きの両方に依存します。, 実際、変数s→–sの変更は別の弧長パラメータ化を提供し、k(s)の符号を変更する。

一般的なパラメトリック化編集に関して

φ(t)=(x(t),y(t))を二つの微分可能な平面曲線の固有のパラメトリック表現とする。 ここで適切なことは、パラメトリゼーションの定義のドメイン上で、微分dy/dtisが定義され、微分可能でゼロベクトルに等しくないことを意味します。,

このようなパラメータ化により、符号付き曲率は

k=x’y”-y’x”(x’2+y’2)3 2,{\displaystyle k={\frac{x”y””-y”x””}{\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}},} たがって、曲率λはλ=|x’y”−y’x”|(x’2+y’2)3 2である。 {\displaystyle\kappa={\frac{|x”y””-y”x””|}{\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac{/x”y””-y”x””/}{\left({x”}^{{3}{2}}}}.}

これらの表現することができるので調整無して

k=det(γ’,γ”)の”γ”つながりに3,κ=|det(γ’,γ”)|”とγ”つながりに3., {\displaystyle k={\frac{\det({\boldsymbol{\gamma}}”,{\boldsymbol{\gamma}}}}””)}{\|{\boldsymbol{\gamma}}”\|^{3}}},\qquad\kappa={\frac{|\det({\boldsymbol{\gamma}}”,{\boldsymbol{\gamma}}}}””)|}{\|{\boldsymbol{\gamma}}”\|^{3}}}.}

これらの公式は、円弧の長さのパラメータ化の特別な場合から次のように導くことができます。 パラメトリゼーションに関する上記の条件は、弧長sがパラメータtの微分可能な単調関数であり、逆にtがsの単調関数であることを意味する。, さらに、必要に応じてsを–sに変更することによって、これらの関数が増加しており、正の導関数を持つと仮定することができます。 前節の記法と連鎖則を用いて、

d γ d t=d s d t T,{\displaystyle{\frac{d{\boldsymbol{\gamma}}}{dt}}={\frac{ds}{dt}}\mathbf{T},}

を持ち、したがって両辺のノルムを取ることによって

d t d s=1π’π,{\displaystyle{\frac{dt}{ds}}={\frac{1}{\frac{\boldsymbol{\gamma}}}{dt}}={\frac{\boldsymbol{\gamma}}}{dt}}

となる。|{\boldsymbol{\gamma}}”\|}},}

ここで、素数はtに関する導出を表す。

曲率はsに関するTの導関数のノルムである。, 上記の公式と鎖則を用いることにより、この微分とそのノルムはπ’とπ”のみで表すことができ、弧長パラメータｓは完全に排除され、曲率に対する上記の公式が与えられる。

関数のグラフ編集

関数y=f(x)のグラフは、

x=t y=f(t)の形式のパラメータ化された曲線の特別な場合です。 {\displaystyle{\begin{aligned}x&=t\\y&=f(t).,\end{aligned}}}

xの第一および二次導関数は1および0であるため、以前の公式は

π=|y”|(1+y’2)3 2,{\displaystyle\kappa={\frac{/y””|}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}},}

曲率に対して、

k=y”(1+y’2)3 2{\displaystyle k={\frac{y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}},}

符号付き曲率の場合。

曲線の一般的な場合には、符号付き曲率の符号は、曲線の向きに依存するように、何らかの形で任意である。, 関数のグラフの場合、xの値を増加させることによって自然な向きがあります。

符号付き曲率の符号は、fの二次導関数の符号と同じです。 それはゼロであり、変曲点またはうねり点を有する。

グラフの傾き（つまり関数の導関数）が小さい場合、符号付き曲率は二次導関数によってよく近似されます。, より正確には、big O記法を使用すると、

k(x)=y”+O(y’2)となります。 {\displaystyle k(x)=y””+O\left({y”}^{2}\right)。}

物理学や工学では、曲率を二次導関数で近似することが一般的であり、例えばビーム理論や緊張した弦の波動方程式を導出すること、および小さな傾きが関与する他のアプリケーションでは、曲率を二次導関数で近似することが一般的である。 これによく考えとしてリニアシステムの非線形します。,

極座標編集

曲線が極角の関数として表される半径によって極座標で定義されている場合、すなわちrはθの関数であり、その曲率は

θ(θ)=|r2+2r’2−r r”|(r2+r’2)3 2{\displaystyle\kappa(\theta)={\frac{\left|r^{2}+2{r”}^{2}-r\r””\right|}{\left(r^{2}+{r”}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}}

ここで、素数はσに関する微分を指す。,

これは、パラメータ化を考慮することによって、一般的なパラメータ化の公式から得られる

x=r(θ)cos θ y=r(θ)sin θ{\displaystyle{\begin{aligned}x&=r(\theta)\cos\theta\y&=r(\theta)\sin\theta\end{aligned}}}

暗黙のカーブエディット

λ=|f y2f x x−2f x f y f x y+f x2f y y|(f x2+f y2)3 2. {\displaystyle\kappa={\frac{\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac{\left/}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)}{3}{2}}}}., 符号付き曲率は、陰的な方程式によって提供されない曲線の向きに依存するため、定義されていません。 また、Fを–Fに変更しても曲線は変更されませんが、前の式で絶対値が省略されている場合は分子の符号が変更されます。

Fx=Fy=0の曲線の点は特異点であり、これは曲線がこの点で微分可能ではないことを意味し、したがって曲率が定義されていないことを意味する（ほとんどの場合、点は交差点又は尖点のいずれかである）。,

曲率に関する上記の公式は、陰関数定理と、そのような曲線上で

d y d x=−F x F yを持つという事実を用いて、関数のグラフの曲率の表現から導くことができる。 {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=-{\frac{F_{x}}{F_{y}}}。}

ExamplesEdit

前のセクションで与えられた異なる式が同じ結果を与えることを簡単な例で確認すると便利です。

CircleEdit

半径rの円の一般的なパラメータ化は、θ(t)=(r cos t,r sin t)である。, 曲率の公式は、

k（t）=r2sin2≤t+r2cos2≤t（r2cos2≤t+r2sin2≤t）3 2=1rを与えます。 {\displaystyle k(t)={\frac{r^{2}\sin^{2}t+r^{2}\cos^{2}t}{(r^{2}\cos^{2}t+r^{2}\sin^{2}t)^{\frac{3}{2}}}}={\frac{1}{r}}。}

予想通り、曲率半径は円の半径であり、曲率中心は円の中心であることになります。円は、円弧長のパラメータ化が計算が容易であるまれなケースであり、

θ(s)=(r cos⁡s r,r sin⁡s r)である。, {\displaystyle{\boldsymbol{\gamma}}(s)=\left(r\cos{\frac{s}{r}},r\sin{\frac{s}{r}}\right)。{\displaystyle{\boldsymbol{\gamma}}”(s)=\left(-\sin{\frac{s}{r}},\cos{\frac{s}{r}}\right)}

のノルムは一つに等しいので、これは弧長パラメータ化である。 このパラメータ化は、前の式の分子と分母の両方でr3で除算することになるので、曲率に対して同じ値を与えます。同じ円は、陰方程式F(x,y)=0でF(x,y)=x2+y2–r2で定義することもできます。, そして、この場合の曲率の公式は、

θ=|F y2F x x−2F x F y F x y+F x2F y y|（F x2+F y2）3 2=8y2+8x2（4×2+4y2）3 2=8r2（4r2）3 2=1r。 {\displaystyle{\begin{aligned}\kappa&={\frac{\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac{\left/}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/}{\left/{3}{2}}}}\\&={\frac{8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\\&={\frac{8r^{2}}{\左（4r^{2}\右）^{\frac{3}{2}}}}={\frac{1}{r}}。,end{aligned}}}

ParabolaEdit

放物線y=ax2+bx+cを考えてみましょう。

これは、微分2ax+bと二次微分2aを持つ関数のグラフです。したがって、符号付き曲率は

k(x)=2a(1+(2a x+b)2)3 2です。 {\displaystyle k(x)={\frac{2a}{\left(1+(2ax+b)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}. これは、xのすべての値に対してaの符号を持ちます。, これは、>0の場合、凹部はどこでも上向きであり、<0の場合、凹部は下向きであり、a=0の場合、曲率はどこでもゼロであり、放物線がこの場合に線に縮退することを確認する。

（符号なし）曲率は、x=–b/2a、すなわち放物線の頂点である関数の定常点（ゼロ導関数）において最大である。

パラメータ化φ(t)=(t,at2+bt+c)=(x,y)を考えてみましょう。 Xの一次導関数は1であり、二次導関数はゼロです。, パラメータtに関する導関数に素数を使用する場合

同じ放物線は、陰方程式F(x,y)=0でf(x,y)=ax2+bx+c–yで定義することもできます。Fy=-1およびFy=Fxy=0とすると、（符号なし）曲率に対してまったく同じ値を得ることができます。 しかし、–F(x,y)=0は同じ放物線に対する有効な陰的方程式であり、曲率に対して反対の符号を与えるため、符号付き曲率はここでは意味がありません。,

平面曲線編集のためのFrenet–Serret式

円弧の長さのパラメータ化に関する曲率の表現は、本質的に最初のFrenet-Serret公式である

t'(s)=π(s)N(s),{\displaystyle\mathbf{T}”(s)=\kappa(s)\mathbf{N}(s),}

ここで、素数は弧の長さsに関する導関数を指し、N(s)はT’の方向の正規単位ベクトルである。（s）。

平面曲線はねじれがゼロであるため、第二のフレネ–セレット公式は関係を提供します

d N d s=−≤T,=−≤d≤d s., {\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{d\mathbf{N}}{ds}}&=-\kappa\mathbf{T},\\&=-\kappa{\frac{d{\boldsymbol{\gamma}}}{ds}}。これらはsに関する導関数をds/dtで乗算することによって得られるので、任意の適切なパラメータ化に対してN'(t)=−∞(t)∞'(t)を持つ。 {\displaystyle\mathbf{N}”(t)=-\kappa(t){\boldsymbol{\gamma}}”(t)。}

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