ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理
学習目的
·直角三角形の未知の辺を見つけるには、ピタゴラスの定理を使用します。
·ピタゴラスの定理に関するアプリケーションの問題を解決します。,
はじめに
ずっと前に、ピタゴラスという名前のギリシャの数学者が直角三角形について興味深い性質を発見しました：三角形の各脚の長さの二乗の和は、三角形の斜辺の長さの二乗と同じです。 この性質は、科学、芸術、工学、建築において多くの応用があり、現在はピタゴラスの定理と呼ばれています。
この定理が三角形の構築についての詳細を学ぶのにどのように役立つかを見てみましょう。, そして、最良の部分—あなたもピタゴラスの発見を適用するためにギリシャ語を話す必要はありません。
ピタゴラスの定理
ピタゴラスは、彼の理論を導出する前に、直角三角形、および脚と直角三角形の斜辺との関係を研究しました。,
ピタゴラスの定理
aとbが直角三角形の脚の長さであり、cが斜辺の長さである場合、脚の長さの二乗の合計は斜辺の長さの二乗に等しくなります。
この関係は次の式で表されます。
上のボックスでは、”正方形”という単語と、の文字の右上にある小さな2sに気づいたかもしれません。, 数を二乗することは、それ自体を乗算することを意味します。 したがって、たとえば、5を二乗するには5•5を掛け、12を二乗するには12•12を掛けます。 いくつかの一般的な正方形は、以下の表に示されています。,5″>
52=5•5
25
10
102=10•10
100
方程式を見ると、これを”辺a回自体の長さに辺b回自体の長さを加えたものは、辺c回自体の長さと同じです。,”
実際の直角三角形でピタゴラスの定理をすべて試してみましょう。
この定理は、この直角三角形に当てはまります—両脚の長さの二乗の合計は斜辺の長さの二乗と同じです。 そして、実際には、それはすべての直角三角形に当てはまります。
ピタゴラスの定理は面積で表すこともできます。 任意の直角三角形において、斜辺から引き出された正方形の面積は、二つの脚から引き出された正方形の面積の合計に等しい。, これは、同じ3-4-5の直角三角形の下に示されています。
ピタゴラスの定理は直角三角形でのみ機能することに注意してください。
斜辺の長さを見つける
三角形の他の二辺の長さを知っていれば、直角三角形の斜辺の長さを見つけるためにピタゴラスの定理を使うことができます。 別の言い方をすれば、aとbの長さを知っていれば、cを見つけることができます。,
上の三角形では、レッグaとbのメジャーがそれぞれ5と12になります。 ピタゴラスの定理を使って、斜辺であるcの長さの値を見つけることができます。
|
|
ピタゴラスの定理。 |
|
|
aとbの既知の値を置き換えます。, |
|
|
評価します。 |
|
|
単純化します。 Cの値を見つけるには、それ自体を掛けたときに169に等しい数について考えてください。 10は働くか。 11はどうですか？ 12? 13? （数字が慣れていない場合は、電卓を使用して乗算することができます。) |
|
13=c |
169の平方根は13です。, |
式を使用すると、斜辺であるcの長さが13であることがわかります。
この場合、あなたはcの値を知りませんでした—あなたは斜辺の長さの正方形を与えられ、そこからそれを把握しなければなりませんでした。 
ような方程式が与えられ、cの値を見つけるように求められたとき、これは数値の平方根を見つけることと呼ばれます。 （正方形が169だった数、cを見つけたことに注意してください。,）
平方根を見つけるにはいくつかの練習が必要ですが、乗算、除算、そして少しの試行錯誤の知識も必要です。 下の表を見てください。,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., あなたがそれらの平方数を覚えていることができれば—またはあなたがそれらを見つけるために電卓を使用することができれば—その後、多くの共通
これらの三角形のどれが
ですか？,
A)
B)
C)
D)
脚の長さを見つける
斜辺と他の脚の長さの測定値が与えられている場合は、直角三角形の脚の長さを見つけるために同じ式を使用することができます。 以下の例を考えてみましょう。,
|
Example |
||
|
Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
|
|
|
a = ?, b=6 c=7 |
この直角三角形では、斜辺cと片足bの測定値が与えられます。 |
|
|
|
の長さを見つけるにはレッグaは、既知の値をピタゴラスの定理に代入します。, |
|
|
|
|
Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
|
|
|
Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055…、3.6に丸めることができます。 （近似しているので、シンボルを使用します |
|
回答 |
|
|
。)
ピタゴラスの定理を正しく使って欠けている側xを見つけるのはどれですか？,
A)
B)x+8=10
C)
D)
現実世界の問題を解決するために定理を使用して
ピタゴラスの定理は、おそらく現実世界の設定でそれの非常に多くのアプリケーションがあるので、あなたが数学で学ぶ最も有用な公式の一つです。, 建築家およびエンジニアは傾斜路、橋および建物を造るときこの方式を広く使用する。 次の例を見てください。
|
例 |
||
|
問題 |
家の所有者は、地面からバックポーチに通じる階段をランプに変換したいと考えています。 ポーチは地面から3フィート離れており、建築規制のために、傾斜路はポーチの基部から12フィート離れて始まらなければなりません。 ランプはどのくらいになりますか？, 平方根を見つけるために電卓を使用して、最も近い第十に答えを丸めます。 |
|
|
このような問題を解決するには、三角形の脚と斜辺がどこにあるかを示す簡単な図を描くことが理にかなっています。, |
||
|
|
||
|
|
a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., あなたは、地面とポーチの隆起した部分が垂直であるので、三角形は直角三角形であることを知っています—これは、この問題を解決するためにピタゴラスの定理を使うことができることを意味します。 A、b、およびcを識別します。 |
|
|
|
ピタゴラスの定理を使用してcの長さを見つけます。, |
|
|
12.4=c |
53の平方根は12.369…なので、それを12.4に丸めることができます。 |
|
Answer |
ランプの長さは12.4フィートになります。, |
|
|
例 |
||
|
problem |
ヨットは直角三角形の形をした大きな帆を持っています。 帆の最も長い端は17ヤードを測定し、帆のボトムエッジは8ヤードである。 帆はどのくらいの高さですか？, |
|
|
|
あなたが視覚化するのに役立つ画像を描画します。問題だ 直角三角形では、斜辺は常に最長の辺になるので、ここでは17ヤードでなければなりません。 問題はまた、三角形の下端が8ヤードであることを示しています。, |
|
|
|
Setup the Pythagorean Theorem. |
|
|
|
a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
|
Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
|
概要
ピタゴラスの定理は、任意の直角三角形において、三角形の脚の長さの二乗の合計は三角形の斜辺の長さの二乗と同じであると述べている。 この定理は、式で表されます。 簡単に言えば、直角三角形の二辺の長さを知っていれば、ピタゴラスの定理を適用して第三辺の長さを見つけることができます。 覚えておいて、この定理は直角三角形に対してのみ機能します。