엡실론 미적분
개요
에 의해 세기의 전환기 데이비드 힐베르트와 앙리 Poincaréwere 으로 인식이 가장 중요한 수학자들의 theirgeneration. 힐베르트의 다양한 수학적 이익이었다 광범위하고,포함되어 있는 관심을에서는 수학의 기초:hisFoundations 의 형상에 출판되었 1899 년,그리고 목록의 질문을 제기하 국제 의회 ofMathematicians1900 년에 세 개의 분명히 해결 foundationalissues.,
출판물 다음 러셀의 역설,Hilbertpresented 주소가 세 번째 국제 대회 ofMathematicians1904 년,어디서,처음으로,그가 스 hisplan 을 제공하는 엄격한 재단한 수학을 통해 syntacticconsistency 교. 하지만 그는 반환하지 않은 주제에 earnestuntil1917 년,그 때 시작 시리즈의 강의에 기초 ofmathematics 의 도움으로 바울은 베르나., 지만 힐베르트 wasimpressed 의 작업에 의해 러 화이트 헤드에 자신의 PrincipiaMathematica,이 아니라고 확신하게 되었 logicist 도 toreduce 수학을 논리가 성공하지 못으로 인해 특히 tothe 비 논리적 문자의 자신의 reducibility 의. 샘타임 때,그는 수학에 용납할 수 없는 중간의 법칙에 대한 직관론적 거부를 판단했다. 따라서 순서대로논리적 및 집합 이론 역설의 발견에 의해 제기 된 우려,현대를 정당화하기위한 새로운 접근법이 필요했다.수학적 방법.,
1920 년 여름까지 Hilbert 는 그러한 접근법을 공식화했습니다. 첫째,현대의 수학적 방법은 공식적인 추론으로 표현되어야했다.시스템. 둘째,이러한 공식적인 시스템을 입증 syntacticallyconsistent 지 모델 전시하거나 감소시키는 자신의 일관성 toanother 시스템에 의해 직접적인 metamathematical 인수의 anexplicit,”finitary”문자입니다. 접근법이 알려지게되었습니다.힐버트 프로그램. 엡실론 미적분이었을 제공한 첫 번째 구성요소의 thisprogram 하는 동안,그의 엡실론 대체 방법을 제공하여 두 번째.,
엡실론 미적분은,그것의 가장 기본적인 형태,확장 offirst 주문 조건자는 논리로”엡실론 작업”이는 선택한 어떤 진실한 존재적 수식,증인 theexistential 수량자. 확장은 의미에서 보수적입니다.그것은 새로운 1 차 결과를 추가하지 않습니다. 하지만,반대로,수량자 정의할 수 있습의 관점에서 epsilons,sofirst 순서 논리의 관점에서 이해할 수 있습의 정량화-freereasoning 포함 엡실론 작업입니다. 이 후자의 특징그것은 미적분을 증명하기위한 목적으로 편리하게 만든다.일관성., 엡실론 미적분의 적절한 확장으로 인해 수량이없는 미적분에 더 강하고 정량화 된 숫자 이론 및 집합을 포함 할 수 있습니다. 힐버트는 그것이 될 것이라고 예상했다.그러한 확장의 일관성을 입증 할 수 있습니다.
엡실론 미적분
에서 자신의 함부르크 강의에서 1921 년(1922),힐버트 먼저 제시 theidea 의를 사용하여 이러한 작업과 거래의 원칙 theexcluded 중에서 공식 시스템에 대한 참조하시기 바랍니다., 이러한 아이디어는 1921 년에서 1923 년 사이에 일련의 강의 과정과 inHilbert’s(1923)에서 epsilon calculus 와 epsilon substitutionmethod 로 개발되었습니다. 엡실론-calculus 의 최종 발표 Wilhelm Ackermann 의 논문(1924)에서 찾을 수 있습니다.
이 섹션에서는 first-order 논리에 해당하는 미적분의 버전을 설명하는 반면 first-and second-orderarithmetic 에 대한 확장은 아래에서 설명합니다.
\(L\)가 1 차 언어가되도록하십시오.이 언어는 지정된 아리티가있는 constant,function 및 relation 기호 목록입니다., Set 엡실론의 측면과의 설정의 공식\(L\)는 definedinductively,동시에,다음과 같다:
대체의 개념을 무료 바인딩된 변수는 definedin 일반적인 방법으로,특히,변수를\(x\)된 바에서 장기\(\varepsilon x\). 의도 된 해석은\(\varepsilon x A\)는\(A\)를 만족시키는 몇 가지\(x\)를 나타냅니다., 따라서,엡실론 조건이 적용됩 followingaxiom(힐베르트의”transfinite 통칙”):\또한,엡실론 수학을 포함한 완전한 세트의 공리 관 classicalpropositional connectives,그리고 공리 관리 평등 기호입니다.미적분의 유일한 규칙은 다음과 같습니다.
- 잠정 ponens
- 대체:\(a(x)\)에서\(A(t)\),모든 용어에 대해\(t.,\)
이전 양식에 엡실론 미적분(예:제시 inHilbert1923)사용 듀얼 형태의 엡실론 연산자는,\(\varepsilon x\)값을 반환하는 위조\((x)\). 위의 버전은 Ackermann 의 논문(1924)에서 사용되었으며표준.방금 설명한 미적분은 정량화가 없다는 점에 유의하십시오. Quantifierscan 의 정의는 다음과 같습니다:\일반적인 정량화 공리 및 규칙을 수 있습에서 파생된 이래 definitionsabove 봉사를 포함하는 첫 번째 순서로 논리에 엡실론 수학., 그러나 theconverse 는 사실이 아닙니다:epsiloncalculus 의 모든 공식이 thisembedding 아래의 일반적인 정량화 된 공식의 이미지 인 것은 아닙니다. 따라서 엡실론 미적분학보다 표현력이 뛰어납니다.단순히 엡실론 용어가 정량화보다 더 복잡한 방식으로 결합 될 수 있기 때문입니다.
엡실론 정리
힐버트와 베르나이스의 그룬드라겐 더마테마틱(1939)의 두 번째 권은 그때까지 증명되었던 엡실론-미적분학에 대한 결과를 설명합니다., 이 포함되어 있 adiscussion 의 첫 번째와 두 번째 엡실론 정리와 applicationsto 첫 번째 순서로 논리,엡실론 대체 방법에 대한 arithmeticwith 열 감응작용,그리고 발달의 분석(즉,두 번째 순서 연산)와 엡실론 수학.
첫 번째와 두 번째 엡실론 정리은 다음과 같습니다:
에서 첫 번째 엡실론 정리,”한정자-무료 predicatelogic”은을 포함하는 것이 대체 규칙 위 soquantifier-무료 공리처럼 행동하는 그들의 유니버설 폐쇄., Theepsilon calculus 는 1 차 논리를 포함하기 때문에 첫 번째 epsilon 정리는 quantifier-free axioms 에서 quantifier-free 정리를 피할 수 있습니다. 두 번째 엡실론을 정리하는 것을 보여줍 anydetour 을 통해 엡실론 수학 파생하는 데 사용되는 원리이에서 thelanguage 의 조건자학에서 원칙에서 언어의 thepredicate 미적분 또한 피할 수 있습니다.,
더 일반적으로,최초 입실론 정리정는 quantifiersand epsilons 할 수 있습 제거에서의 증거 aquantifier-무료 공식에서 다른 한정자-무료 공식이다. 이것은 힐버트의 프로그램에 특히 중요합니다.실론은 수학에서 이상적인 요소의 역할을하기 때문입니다. Ifquantifier-무료 공식에 해당하”실제”일부분의 수학적 이론,최초 입실론-정리는 것을 보여줍 idealelements 에서 삭제될 수 있는 증거의 실제 문 providedthe 공리는 또한 실제 문입니다.,
이 아이디어에 정확한 특정 전반적인 일관성 theoremwhich 힐베르고 베르나에서 파생되는 첫 번째 epsilon-정리,whichsays 다음과 같다:자\(F\)어떤 형식적인 시스템있는 결과에서는 조건자학에 의한 일정한 기능,andpredicate 기호 플러스 진정한 공리는 수량자-andepsilon-free,그리고 진리의 원자 공식에서 newlanguage 은 decidable. 그런 다음\(F\)는 강한 감각에서 일관성이 있습니다.모든 유도 가능한 정량 자 및 엡실론이없는 공식은 참입니다.,Hilbert 와 Bernays 는이 정리를 사용하여 기본 기하학(1939,sec1.4)의 최종 일관성을 제공합니다.
에 대한 어려움을 주는 일관성을 증명해 연산 andanalysis 로 구성되어 있에 확장 이 결과물을 남긴 경우에 axiomsalso 포함한 이상적인 요소,즉,엡실론니다.
추가 읽기. Epsilon-calculus 및 epsilon 정리(Ackermann1924,Hilbert&Bernays1939)의 원본 소스는 독일어로만 제공됩니다. Leisenring1969 는 상대적으로현대 책-영어로 엡실론 미적분학에 대한 길이 소개.,첫 번째와 두 번째 엡실론 정리는 Zach2017 에 자세히 설명되어 있습니다. Moser&Zach2006casewithout 평등에 대한 자세한 분석을 제공합니다. 원래의 증명은 공리에 대해 주어진다.엡실론-미적분의 표현. Maehara1955 는 처음으로엡실론 용어가있는 후유증 미적분학을 고려하십시오. 그가하는 방법을 보여 주었 provethe 두 번째 엡실론 정리를 잘라를 사용하여 제거하고,thenstrengthened 정리를 포함하키 extensionality(공 1957). Baaz 외. 2018 은 첫 번째 버전의 개선 된 버전을 제공합니다.실론 정리., 수정에 오류가 문학(includingLeisenring 의 책)에서 찾을 수 있습 Flannagan1975 년;페라리 1987;및염 1982. 의 변형이 엡실론 수학을 기반으로 Skolemfunctions 므로 호환되는 첫 번째 순서 논리,isdiscussed 데이비스에는&Fechter1991.
Herbrand 정리
버전의 Herbrand 의 법칙 그냥 설명 followsimmediately 에서 확장 먼저 엡실론 정리 ofHilbert 고 베르나., 사용하는 방법과 관련 증거의 두 번째 엡실론 정리,그러나,힐베르고 베르나 파생된 astronger 결과는 다음과 같 Herbrand 의 원래의 정립에 더 많은 정보가 제공됩니다. 이론의 두 부분을 이해하려면벨로우,그것은 특정 예를 고려하는 데 도움이됩니다. 여기서\(A\)는 정량화 할 수 없습니다. Negationof\(A\)는 Skolemizing 에 의해\와 같습니다.,,usingfunction 기호를 목격하는 존재적 수량자,우리가 얻\방의 부정이,우리는 originalformula 가”상응하는”\
때 우리는 우리의 인스턴스를 참조하의 행렬\(A^H\),wemean 는 공식에 의해 얻어진 대용 조건에서 expandedlanguage 에서 매트릭스의\(A^H\). 우리는 이제 Hilbert andBernays 의
Herbrand 정리의 공식화는 Gentzen 의”midsequent 정리”를 통해 cutelimination 을 사용하여 얻을 수 있습니다.,”그러나 증거를 사용하는 두 번째 엡실론 정리 thedistinction 의 첫 번째 완전하고 올바른 증거 ofHerbrand 의 정리했습니다. 또한,이것은 때때로 인정되는 반면,증거 기반에 컷 제거를 제공하는 바에 thelength 의 Herbrand 분리만의 기능으로 절단 rankand 의 복잡성을 잘라에서 수식 증명,길이 obtainedfrom 증거 기반에서 엡실론 수학을 제공합로 바인딩하기 위해 사용됩의 수를 응용 프로그램의 transfinite 공리,그리고 순위 및 정의 epsilon-어 발생하는 권리가 있습니다., 다른 단어에서,Herbrand disjunction 의 길이는 관련된 치환의 질적 복잡성에만 의존합니다.
이 섹션의 시작 부분에 명시된 Herbrand 정리의 버전은 본질적으로 theformula\(a\)가 실존 적 인(2)의 특별한 경우입니다. 이 특별한 경우에 비추어,(1)는\(A^H\)인 경우에만 수식\(a\)가 파생 가능한 infirst-order 술어 논리라는 주장과 일치합니다., 이 동등성의 forwarddirection 은 증명하기가 훨씬 쉽습니다.사실 forany formula\(A,a\rightarrow A^H\)는 술어 논리에서 파생 가능합니다.역방향을 증명하는 것은\(A^H\)의 추가 기능 기호를 제거하는 것을 포함하며,특히 평등의 존재에서 훨씬 더 어렵습니다. 엡실론 방법이중앙 역할.
Herbrand”s 정리 및 관련 방법의 현저한 적용은 Roth”s 정리의 Luckhardt”s(1989)분석에서 발견됩니다. Herbrand 의 유용한 확장 방법에 대한 추가 정보는 sieg1991 을 참조하십시오.,모델 이론 이 논의에 Avigad2002a.
엡실론 대체 방법 및 연산
위에 언급된 바와 같이 역사적으로 주요 관심사에 epsiloncalculus 었으로 얻는 일관성을 증거.힐베르트의 강의에서 1 천 9 백 17~1 천 9 백 18 이미 주는 onecan 쉽게 증명의 일관성을 명제 논리에 의하여,takingpropositional 변수 및 수식을 범위는 이 진리 값을 0and1,고 해석하는 논리적 connectives 로 correspondingarithmetic 작업입니다., 마찬가지로,하나는 증명할 수 있는 일관성 ofpredicate logic(또는 엡실론 순수한 수학)에 의하여,전문 tointerpretations 는 우주의 담론은 하나의 요소입니다.이러한 고려사항을 제안 다음과 같은 일반적인 프로그램 forproving 성:
- 연장 엡실론 수학과 같은 방법으로 나타내 largerportions 수 있습니다.
- extendedsystem 의 각 증명이 일관된 해석을 가지고 있음을 최종 방법을 사용하여 보여줍니다.,
다고 가정하고자하는 것을 보여 위의 시스템은 일관된;otherwords,우리가 할 수 있는 증거의 공식\(0=1\). 밀어 모두 대체 원칙 및 교체 freevariables 지 0 기에 충분가 있다는 것을 보여주기 위해 nopropositional 의 증거\(0=1\)유한 집합에서의 폐쇄 instancesof 공리. 이를 위해,그것은 충분하여,주어진 모든 finiteset 의 폐 인스턴스의 공리,하나의 할당할 수 있는 숫자 값을 toterms 는 방식으로 모든 공리는 진정한 밑에 theinterpretation., 이후로 산술 operations\(+\)및\(\번\)해석될 수 있 일반적인 방법으로,이만 어려움은 infinding 적절한 값을 할당하는 엡실론니다.
힐베르트의 엡실론 대체 방법을 설명 될 수있다,약으로는 다음과 같습니다:
A finitary 일관성 증거를 얻은 후 그것은에서와 같 afinitarily 허용하는 방식으로 이 과정의 연속하는”수리”종료됩니다. 그럴 경우 모든 중요한 공식엡실론 용어가없는 진정한 공식입니다.,
이 기본 아이디어(“Hilbertsche Ansatz”)는 Hilbert 가 1922 토크(1923)에서 outfirst 로 설정했으며 lecturesin1922-23 에서 자세히 설명했습니다. 그러나 거기에 주어진 예는 transfinite 공리의 모든 인스턴스가 asingle epsilon 용어\(\varepsilon x A(x)\)에 해당하는 장점 만 처리합니다. 도전이었다 toextend 접근 방식보다 더 하나 엡실론 기간을 중첩 epsilonterms,궁극적으로 두 번째 순서 epsilons(를 얻기 위해서는 aconsistency 증거를 그냥 산술지만,분석).,
이것은 일반적인 사례에 대한 hilbert 의 아이디어를 확장하는 데 관련된 어려움에 대한 스케치 일뿐입니다. Ackermann(1924)providedsuch 일반화를 사용하는 절차”를 로”때마다 새로운 해석에 주어진 무대에서 결과를 필요로 해결하는 해석이 이미 이전 단계입니다.
Ackermann 의 절차는 second-orderarithmetic 시스템에 적용되었지만 second orderarithmetic 은 second-order 엡실론의 교차 결합을 배제하기 위해 soas 를 제한했습니다., 이것은 대략을 제한하여 산술력 set 형성 원리를 사용 가능(설명을 참조하십시오의 끝에서 이 섹션). 2 차 엡실론 용어에 대한 추가 어려움수면적으로,그리고 그것은 빨리 명백해 졌으므로 그 증거가 굳어졌습니다. 그러나 힐버트의 학교에서 아무도 깨닫지 못했습니다.괴델이 발표 한 1930 년까지의 어려움의 결과완전한 결과., 그 때까지,그것을 믿는 것을 방지(적어도 일부 수정에 의해 도입커만,일부 의 whichinvolved 아이디어에서 von Neumann’s(1927)버전의 epsilonsubstitution 방법)를 통해 갈 것 적어도에 대한 첫 번째 orderpart. Hilbert and Bernays(1939)는 사용 된 방법 openinduction 을 사용하여 1 차 산술에 대한 일관성 증명을 제공합니다. 1936 년에,게르하르트 Gentzen 에 성공을 주는 증거의 theconsistency 의 첫 번째 순서 연산을 제제 기반 onpredicate 논리지 않고 엡실론 기호입니다., 이 증거 usestransfinite 유도 최대\(\varepsilon_0\). Ackermann(1940)은 Gentzen 의 아이디어를 적용하여 실론 대체 방법을 사용하여 1 차 산술의 정확한 일관성 증명을 제공 할 수있었습니다.
분석 또는 2 차 산술은 임의의 2 차 orderformulae 에 대한 이해 스키마가있는 1 차 orderarithmetic 의 확장입니다. 이 이론은 impredicative 할 수 있다는 점에서 oneto 집합을 정의하는 자연의 번호를 사용하여 수량자는 범위반 우주 전체의 세트를 포함하여,절대적으로,설정 beingdefined., 이 이론의 예측 단편을 얻을 수 있습니다.comprehensionaxiom 에서 허용되는 수식의 유형을 제한함으로써. 예를 들어,위와 관련하여 논의 된 제한 사항은 수식이 두 번째 orderquantifiers 를 포함하지 않는 산술 comprehensionschema 에 해당합니다. 더 강한 단편을 얻는 다양한 방법이 있습니다.그럼에도 불구하고 예측 적으로 정당화 된 분석., 예를 들어,하나의 분지를 가져옵 분석 연결하여는 서수 rankto 변수를 설정;대략에 정의 집합이 지정된 순위,수량자 범위를 통해서만 세트의 낮은 순위,즉,그 whosedefinitions 은 논리적으로 이전.
추가 읽기. Hilbert 와 Ackermann 의 earlyproofs 는 Zach2003;2004 에서 논의됩니다. 폰 노이만의 증거는벨로티 2016 의 주제. 그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과,그 결과, 현대 프리젠 테이션은모저 2006 에 의해 제공됩니다., 엡실론 대체의 초기 적용은무 반례 해석(Kreisel1951).
더 많은 최근의 발전
이 섹션에서 우리는 토론의 개발 epsilon-substitutionmethod 를 얻기 위해 일관성 결과에 대한 강력한 시스템 theseresults 은 수학은 자연. 우리는 할 수 없습니다,불행하게도,논의 세부 사항의 증거는 여기에 있지만 같은 것을 나타내는 엡실론-대체 방법을 죽지 않았으로 힐베르트 ‘sprogram,그리고 상당한 금액의 현재 연구 carriedout 일에서 엡실론-formalisms.,
Gentzen 의 일관성을 증명해 연산을 시작했 분야의 연구로 알려진 순서형 분석 및 프로그램를 측정하는 강도의 수학적 이론 usingordinal 표기법은 여전히 추진 오늘입니다. 이 particularlyrelevant 확장 힐베르트의 프로그램 thegoal 을 정당화적인 수학이 상대적인 건설,orquasi-건설,시스템입니다., Gentzen 의 방법 ofcut 제거(및 확장을 infinitary 논리에 의해 개발되 PaulLorentzen,Petr Novikov,커 Schütte)는,큰 부분에서 대체 엡실론 대체 방법에서 이러한 추진합니다. 그러나 epsiloncalculus 방법은 대안적인 접근법을 제공하며,hilbert-Ackermann 방법을 이론으로 확장하는 방법에 대한 적극적인 연구가 있습니다. 일반적인 패턴은 동일하게 유지됩니다:
- 조사중인 이론을 적절한 epsiloncalculus 에 포함시킵니다.
- 엡실론텀에 할당을 업데이트하는 프로세스를 설명합니다.,
- 는 절차가 정상화,즉 주어진 어떤 설정 ofterms,가입 업데이트 시퀀스에 있는 결과 assignmentthat 을 충족하립니다.
이후의 마지막 단계를 보증하는 일관성이 원래의 이론에서는 기본적인 관점에 관심이 methodsused 을 증명하는 정규화. 예를 들어,하나의를 얻 ordinalanalysis 할당하여 서수 표기 단계에서 프로시저,그런 방법으로의 가치를 감소한 표기의 각 단계입니다.,
1960 년대에는 Tait(1960,1965,2010)extendedackermann 의 transfinite 유도의 원리로 extensionsof 산술의 서수 분석을 얻는 방법. 이 접근법의 Morestreamlined 및 최신 버전은 Mints2001 및 Avigad2002b 에서 찾을 수 있습니다., 더 최근에,민트,Tupailo 및 Buchholzhave 고려 더 강하고,아직 predicatively 정당화,조각의 분석을 포함한 이론의 연산 comprehensionand a\(\델타^{1}_1\)이해 규칙(박하,Tupailo&Buchholz1996;박하는&Tupailo1999;또한 박하 2016). Arai2002 는 엡실론 대체 방법을 primitiverecursive well orderings 를 따라 산술 이해를 반복 할 수있는 이론으로 확장했습니다., 특히,그의 연구는 transfinitehierarchies 및 transfinite 유도와 관련된 분석의 예측 단편에 대한 ordinalanalyses 를 산출한다.
임프레서 이론의 분석에서 엡실론 치환법을 사용하는 데있어 몇 가지 첫 번째 단계가 취해졌습니다(Arai2003,2006 및 Mints2015 참조).
위의 3 단계에 대한 변형은 정규화가 업데이트 선택에 민감하지 않다는 것을 보여주는 것을 포함합니다. 이것을 strongnormalization 이라고합니다., 박하 1996 은 절차의 많은 것으로 나타났습니다.이 더 강한 속성을 가지고 있습니다.
외에도 전통,기초연의 증거이론,오늘날의 좋은 거래에 관심 구조 prooftheory,분지의 주제에 초점을 맞추고 논리적 deductivecalculi 및 그들의 속성. 이 연구는 밀접하게 연결되어 있습니다.automateddeduction,functional programming 및 computer aided verification 과 관련이있는 컴퓨터 과학과 관련이 있습니다.여기에서도 Gentzen 스타일의 방법이 지배하는 경향이 있습니다(증명 이론에 대한 항목을 다시보십시오)., 그러나 엡실론 미적분학은 또한 귀중한 통찰력을 제공 할 수 있습니다. 예를 들어 Aguilera&baaz2019,또는 위의 herbrand 의 정리에 대한 토론.
증거 이론에서 엡실론 미적분의 조사 이외에도 두 가지 응용이 언급되어야한다. 하나는 Bourbaki 의 Theorie des 앙상블(1958)에서 epsilonnotation 을 사용하는 것입니다.두 번째,아마도 더 큰 현재의 관심,theepsilon-operator 의 사용정리 증명 시스템 HOL 과 Isabelle 에서 epsilon-terms 의 표현력이 중요한 이점을 산출합니다.,
사업자 엡실론에 언어학,철학,비 클래식 로직
독서 엡실론자로 한정치산자(“는\(x\)등\((x)\)”)제도 bea 유용한 도구의 분석에 불명확하고 명확한 명사 phrasesin 공식적인 의미입니다. 엡실론 표기법은 실제로 그렇게 사용되어 왔으며,이 응용 프로그램은 특히 아나 포릭 참조를 다루는 데 유용하다는 것이 입증되었습니다.
익숙한 예를 생각해보십시오.
- 당나귀를 소유 한 모든 농부가 그것을 친다.,ns}(x,y))\rightarrow\mathrm{Beats}(x,y))\)
단점은”당나귀”제안 existentialquantifier,따라서 분석해 어떻게든 병렬연 분석은 문장의 주어진 3 4:
하지만 가장 가까이 가능한 형식화,
- \(\forall x((\mathrm{농부}(x)\웨지\존재 y(\mathrm{당나귀}(y)\웨지\mathrm{소유}(x,y))\rightarrow\mathrm{Beats}(x,y))\)
로 지적해 본 Heusinger(1994),이 닐 iscommitted 을 대명사는 사이의 모호한 명확한 설명\((\iota\)-식)과 whe-식입니다., Heusinger 는 choice 함수에 의해 색인 된 epsilon 연산자를 사용하는 것이 좋습니다(컨텍스트에 따라 다름). 이에 따라 접근 방식의 분석이(1)
이 방법을 다루고 대명사를 사용하여 엡실론자 indexedby 선택 기능을 사용 폰 Heusinger 를 다루는 다양한 varietyof 상황에 따라(보 Egli 및 폰 Heusinger,1995;폰 Heusinger,2000).
공식적인 의미에서의 엡실론-연산자의 적용과 일반적으로 choicefunctions 는 최근 몇 년 동안 상당한 관심을 받았다., Von Heusinger 및 Egli(2000a)목록,다른 사람의 사이에서,다음과 같:의 표현한 질문(라인하르트,1992),specificindefinites(라인하르트 1992 년;1997 년;겨울 1997),E-입력사(Hintikka 및 Kulas1985;Slater1986;Chierchia1992,Egli 및 vonHeusinger1995)고 명확한 문구를 명사(폰 Heusinger1997,2004).
엡실론 오페라토린 언어학 및 언어 철학의 문제점 및 응용에 대한 논의는 B.H. 를 참조하십시오., Slater’sarticle 에서 엡실론 결석(에 인용된 다른 인터넷 Resourcessection 아래),그리고 컬렉션 폰 Heusinger 및 Egli2000andvon Heusinger 및 Kempson2004.
Meyer Viol(1995a,1995b)에는 엡실론 미적분의 추가 증명 및 모델 이론가가 포함되어 있습니다. 여기서,엡실론 정리는 더 이상 보유하지 않으며,즉 엡실론 용어의 도입은 비 보수적 인 확장을 생성합니다. 엡실론 운영자에 대한 다른 조사내부 론적 논리는 Shirai(1971),Bell(1993a,1993b)및 DeVidi(1995)에서 찾을 수 있습니다., 많은 가치 논리의 엡실론 연산자에 대해서는 Mostowski(1963),모달 엡실론 미적분학,피팅(1975)을 참조하십시오.
추가 읽기. 다음은 일부 공개 목록입니다.epsiloncalculus 와 그 응용에 대한 관련성의 언어 및 언어학 영역. 독자는 특히컬렉션 von Heusinger&Egli(eds.)2000 및 폰 Heusinger&켐슨(eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.