곡

직관적으로,곡률에 대해 설명합한의 어떤 부분은 곡선 얼마나 많은 곡선 방향으로 변경 작은 여행 거리(예를 들면 각도에서 rad/m),그래서 그것은 측정의 즉각적인율의 변화의 방향 점의 움직이는 곡선에서:큰의 곡률이 더 큰 이가율의 변경합니다. 즉,곡률은 곡선에 대한 단위 탄젠트 벡터가 얼마나 빨리 회전하는지 측정합니다(곡선 위치 측면에서 빠름). 사실,이 순간적인 변화 속도는 정확히 곡률임을 입증 할 수 있습니다., 더 많은 정확하다고 가정하는 지점은 움직이는 곡선에서 일정한 속도의 한 단위,즉,포인트 위치 P(s)함수의 parameter s 될 수 있는 생각으로 시간 또는 호 길이에서 지정된 기원합니다. 자 T(s)단위 접하는 벡터의 곡선에 P(s),또한 유도체의 P(s)대 s. 그런 다음,파생 상품의 T(s)와 관련하여 들은 하는 벡터가 정상적인 곡선을 그리고 그 길이는 곡.,

것에 대해 의미 있고,정의의 곡률과 그 다른 특성을 필요로 하는 곡선은 지속적으로 differentiable 근처 P,한 접 변화하는 지속적으로 필요하다는 것을 또한 곡선이 두 번 differentiable 에서 P,에 대한 보험의 존재 관련된 제한과의 유도체의 T(s).

특성 곡률의 관점에서의 유도체 장치의 움직은 아마도 더 적은 직관적으로 정의 관점에서의 osculating 원하지만,수식에 대한 컴퓨팅 곡면가게를 추론이다., 따라서,또한 운동학에서의 사용 때문에,이 특성화는 종종 곡률의 정의로 주어진다.

Osculating circleEdit

역사적으로,곡면의 미분선을 통해 정의 osculating 원으로,원형에 가장 근사한 곡선에서는 점이다. 더 많은 정확히,주어진 지점 P 곡선에,다른 모든 지점 Q 곡선의 정의 원(또는 라인)에 통과하는 Q 및 접하게 곡선에서 P.osculating 원한 제한,그것은 존재하는 경우,이 원의 경우 Q 경향이 있 P., 그런 다음 p 에서 곡선의 중심과 곡률 반경은 osculating 원의 중심과 반경입니다. 곡률은 곡률 반경의 상호입니다. 즉,곡률

κ=1R,{\displaystyle\kappa={\frac{1}{R}},}

R 은 곡률 반경(에 있는 이 곡률,그것을 읽을 수 있습으로 돌 2π 길이 2πr).

이 정의는 조작하고 수식으로 표현하기가 어렵습니다. 따라서,다른 동등한 정의가 도입되었습니다.,

아크 길이 parametrizationEdit 의 관점에서

모든 차별화 가능한 곡선은 아크 길이와 관련하여 parametrized 될 수 있습니다. 의 경우에는 비행기는 곡선 이미의 존재를 매개 변수화 γ(s)=(x(s)y(s)),x,y 는 실제 반환 differentiable 기능의 유도체 만족

핚 γ’핚=x'(s)2+y'(s)2=1. {\displaystyle\|{\boldsymbol{\gamma}}”\/={\sqrt{x”(s)^{2}+y”(s)^{2}}}=1.,}

즉,접 vector

T(s)=(x'(s)y'(s)){\displaystyle\mathbf{T}(s)={\bigl(}x”(s)y”(s){\bigr)}}

는 규범과 동등을 하며 따라서 단위에 접 벡터입니다.

곡선이 두 번 차별화 할 수있는 경우,즉 x 와 y 의 두 번째 파생물이 존재하면 T(s)의 파생물이 존재합니다. 이 벡터는 곡선에 정상이며,그 규범은 곡률 κ(s)이며 곡률 중심을 향하게됩니다.,yle{\을 시작{정렬}&\mathbf{T}(s)={\boldsymbol{\감마}}”(s),\\&\mathbf{T}^{2}(s)=1(const)\의미\mathbf{T}”(s)\cdot\mathbf{T}(s)=0\\&\kappa(s)=\|\mathbf{T}”(s)\|=\|{\boldsymbol{\감마}}””(s)\|={\sqrt{x””(s)^{2}+y””(s)^{2}}}\\\end{정렬}}}

또한, 으로 곡률반경이

R(s)=1κ(s),{\displaystyle R(s)={\frac{1}{\kappa(s)}},}

고 센터의 곡률에서 정상적인 곡선을,중심의 곡률

C(s)=γ(s)+1κ(s)2T'(s)., {\displaystyle\mathbf{C}(s)={\boldsymbol{\gamma}}(s)+{\frac{1}{\kappa(s)^{2}}}\mathbf{T}”(s).}

경 N(s)로 단 일반적인 벡터에서 얻어진 T(s)의 시계 반대 방향으로 회전의 π/2

T'(s)=k(s)N(s),{\displaystyle\mathbf{T}”(s)=k(s)\mathbf{N}(s)}

k(s)=±κ(s). 실제 숫자 k(s)는 지향 또는 부호있는 곡률이라고합니다. 평면의 방향(반 시계 방향의 정의)과 매개 변수화에 의해 제공되는 곡선의 방향 모두에 따라 달라집니다., 실제로 변수 s→-s 의 변경은 다른 호 길이 매개 변수화를 제공하고 k(s)의 부호를 변경합니다.

일반적인 parametrizationEdit 의 관점에서

γ(t)=(x(t),y(t))는 두 번 차별화 가능한 평면 곡선의 적절한 파라 메트릭 표현이되도록하십시오. 여기에서 적절한 의미에서 도메인의 정의 매개 변수화물 dy/dtis 정의,미분과도 같은 영 벡터입니다.,

이러한 매개 변수화,서명된 곡

k=x’y”−y’x”(x’2+y’2)3 2,{\displaystyle k={\frac{x”y””-y”x””}{\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}},}

는 소수 참조하여 파생상품에 대 t. 곡률 κ 따라서

κ=|x’y”−y’x”|(x’2+y’2)3 2. 나는 이것이 내가 할 수있는 유일한 방법이라고 생각한다.{3}{2}}}}.}

이러한 표현할 수 있 좌표 무료 방법으로.

k=det(γ’,γ”)핚 γ’핚 3,κ=|det(γ’,γ”)|핚 γ’핚 3., {\displaystyle k={\frac{\det({\boldsymbol{\감마}}”,{\boldsymbol{\gamma}}””)}{\|{\boldsymbol{\gamma}}”\|^{3}}},\qquad\kappa={\frac{|\det({\boldsymbol{\감마}}”,{\boldsymbol{\gamma}}””)|}{\|{\boldsymbol{\gamma}}”\|^{3}}}.}

이러한 수식은 다음과 같은 방법으로 아크 길이 매개 변수화의 특수한 경우에서 파생 될 수 있습니다. 위의 조건에 parametrisation 의미하는 호 길이 들은 미분 가정의 기능 매개 변수는 t,그리고 반대로 t 는 단순의 기능을 s., 더욱이,필요하다면,s 를-s 로 변경함으로써,이들 함수가 증가하고 양의 파생물을 가지고 있다고 가정 할 수있다. 표기법을 사용하여 위의 단면도 및 체인 규칙,하나는

d y d t=d s d t,{\displaystyle{\frac{d{\boldsymbol{\감마}}}{dt}}={\frac{ds}{dt}}\mathbf{T},}

고,따라서 복용하여,규범의 양

d t d s=1 핚 γ’며, {\displaystyle{\frac{dt}{ds}}={\frac{1}{\|{\boldsymbol{\gamma}}”\|}},}

어디에서 주요한 의미의 유도에 대 t.

곡률의 규범의 파생 T 와 존중합니다., 를 사용하여 위의 수식어와 체인 규칙이 이 유도체 및 그것의 규범을 표현할 수 있는 관점에서의 γ’고 γ”오직으로,아크-length 매개 변수 s 완전히 제거되어 주는 위의 수식에 대해 곡면입니다.

의 그래프 functionEdit

그래프의 기능 y=f(x)의 특별한 매개 변수화 곡선의 형식

x=t y=f(t). {\displaystyle{\을 시작{정렬}x&=t\\y&=f(t).,\끝{정렬}}}

첫 번째와 두 번째로 유도체의 x 는 1 과 0 으,이전의식을 단순화

κ=|y”|(1+y’2)3 2,{\displaystyle\kappa={\frac{|y””|}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}},}

한 곡률,그리고

k=y”(1+y’2)3 2,{\displaystyle k={\frac{y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}},}

에 대한 서명된 곡면입니다.

곡선의 일반적인 경우,곡선의 방향에 따라 부호가있는 곡률의 부호는 어떻게 든 임의적입니다., 함수의 그래프의 경우,x 의 값을 증가시켜 자연스러운 방향이 있습니다.이것은 부호있는 곡률의 부호를 중요하게 만듭니다.

인의 서명된 곡률과 같은 기호의 두 번째의 파생 f. 그것은 긍정적 인 경우는 다음 그래프가 상승 오목,그리고,부정적인 경우에는 그래프는 아래로 오목. 그것은 0 이고,그 다음에는 변곡점 또는 변곡점이 있습니다.

그래프의 기울기(즉,함수의 파생어)가 작을 때 부호있는 곡률은 두 번째 파생어로 잘 근사됩니다., 보다 정확하게는 big o 표기법을 사용하면

k(x)=y”+O(y’2)가 있습니다. {\displaystyle k(x)=y””+O\left({y”}^{2}\right).}

그것은 일반적인 물리학 및 엔지니어링을 대략적인 곡률과 두 번째는 파생 상품,예를 들어,광속 이론 또는 파생하는 파동 방정식의 긴장 문자열 및 기타 응용 프로그램은 슬로프에 참여하고 있습니다. 이것은 종종 그렇지 않으면 비선형 인 선형 시스템으로 간주 할 수 있습니다.,

북극 coordinatesEdit

경우에는 곡선에서 정의 극좌표에 의해 반경으로 표현한 기능의 극각,즉 r 의 기능 θ,다음의 곡률

κ(θ)=|r2+2r’2−r r”|(r2+r’2)3 2{\displaystyle\kappa(\theta)={\frac{\left|r^{2}+2{r”}^{2}-r\r””\오른쪽|}{\left(r^{2}+{r”}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}}

어디에서 주요한 의미를 차별화와 관련하여 θ.,

이 결과에서는 공식에 대한 일반적인 parametrizations 에 의해,고려의 매개 변수화

x=r(θ)cos⁡θ y=r(θ)sin⁡θ{\displaystyle{\을 시작{정렬}x&=r(\theta)\cos\타\\y&=r(\theta)\죄\타\끝{정렬}}}

암시적 curveEdit

κ=|F y2x F x2x F F y F x y+F x2F y y|(F x2+F y2)3 2. {\displaystyle\kappa={\frac{\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}f_{xy}+F_{xy}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}.,}

부호있는 곡률은 암시 적 방정식에 의해 제공되지 않는 곡선의 방향에 따라 달라 지므로 정의되지 않습니다. 또한 F 를–F 로 변경하면 곡선이 변경되지 않지만 앞의 공식에서 절대 값을 생략하면 분자의 부호가 변경됩니다.

포인트의 곡선 Fx=Fy=0 은 단점을 의미하는,곡선은 differentiable 이 시점에서,따라서는 곡률의 정의하지 않은(대부분은 하나의 교차점으로 또는 첨).,

위에 대한 수식의 곡률에서 파생할 수 있는 표현의 곡면의 그래프의 기능을 사용하여 암시적 함수 정리,그 사실에 같은 곡선,하나는

d y d x=−x F F y. 나는 이것이 내가 할 수있는 유일한 방법이라고 생각한다.}

ExamplesEdit

이 유용할 수 있는지를 확인에 간단한 예제는 다른 수식어에서는 이전 섹션에서 같은 결과입니다.

CircleEdit

반경 r 의 원의 공통 매개 변수화는 γ(t)=(r cos t,r sin t)입니다., 곡률에 대한 공식은

k(t)=r2sin2⁡t+r2cos2⁡t(r2cos2⁡t+r2sin2⁡t)3 2=1r 을 제공합니다. {\displaystyle k(t)={\frac{r^{2}\죄^{2}t+r^{2}\cos^{2}t}{(r^{2}\cos^{2}t+r^{2}\죄^{2}t)^{\frac{3}{2}}}}={\frac{1}{r}}.}

곡률 반경이 원의 반경이고 곡률 중심이 원의 중심이라는 것을 예상대로 따릅니다.

원형은 드문 경우 호 길이 매개 변수화가 쉽게 계산하는,그것입니다.

γ(s)=(r 왜냐하면⁡s r r 죄⁡s r), {\displaystyle{\boldsymbol{\gamma}}(s)=\left(r\cos{\frac{s}{r}},r\sin{\frac{s}{r}}\right).}

이것이 아크 길이는 매개 변수화,이후 규범의

γ'(s)=(−sin⁡s r,cos⁡s r){\displaystyle{\boldsymbol{\감마}}”(s)=\left(-\죄{\frac{s}{r}},\cos{\frac{s}{r}}\right)}

하나 같습니다. 이 parametrization 은 분자와 앞의 수식에서 분모 모두에서 r3 로 나눈 값이므로 곡률에 대해 동일한 값을 제공합니다.

같은 원은 f(x,y)=x2+y2–r2 와 함께 암시 적 방정식 F(x,y)=0 으로 정의 할 수도 있습니다., 그리고,수식에 대해 곡면 이 경우에는 제공

κ=|F y2x F x2x F F y F x y+F x2F y y|(F x2+F y2)3 2=8y2+8×2(4×2+4y2)3 2=8 2(4r2)3 2=1r. {\displaystyle{\을 시작{정렬}\kappa&={\frac{\left|f_ 부드러 다{y}^{2}f_ 부드러 다{xx}-2F_{x}f_ 부드러 다{y}f_ 부드러 다{xy}+f_ 부드러 다{x}^{2}f_ 부드러 다{yy}\right|}{\left(f_ 부드러 다{x}^{2}+f_ 부드러 다{y}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\\&={\frac{8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\\&={\frac{8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}={\frac{1}{r}}.,\끝{정렬}}}

ParabolaEdit

을 고려한 포물선 y=ax2+bx+c.

그것은 그래프의 기능을 가진 유도체 2ax+b 고,두 번째 유도체 2a. 그래서,서명된 곡

k(x)=2(1+(2x+b)2)3 2. 나는 이것이 내가 할 수있는 유일한 방법이라고 생각한다.{3}{2}}}}.}

그것은 x 의 모든 값에 대한 a 의 부호를 갖는다., 즉,경우에는>0,오목가 상승 감독이 어디에나면<0,오목은 아래 지시;=0,곡률 제로,사방을 확인하는 포물선으로 퇴화 라인에 있습니다.

(부호없는)곡률은 x=–b/2a 에 대해 최대 값이며,즉 포물선의 꼭지점 인 함수의 고정 점(제로 파생물)에 있습니다.

매개 변수화 γ(t)=(t,at2+bt+c)=(x,y)를 고려하십시오. X 의 첫 번째 파생어는 1 이고 두 번째 파생어는 0 입니다., 대체로 공식에 대한 일반적인 parametrizations 게 정확히 동일한 결과는 위와 같이,x 로 대체했습니다 우리가 사용하는 경우는 소수에 대한 파생상품에 대하여 매개변수 있습니다 t.

동일한 포물선을 정의할 수도 있습니다 암시적 방정식 F(x,y)=0 으로 F(x,y)=ax2+bx+c–y. 로 Fy=-1,지로 쏟아져내리네-from虹=Fxy=0,하나 얻은 정확히 동일한 값(unsigned)곡면입니다. 그러나 서명된 곡면은 의미가 없는 여기에,F(x,y)=0 유효한 암시적 방정식에 대한 동일한 포물선,는 반대를 표시한 곡면입니다.,

Frenet–Serret 에 대한 공식 비행기 curvesEdit

식 곡률의 관점에서의 아크 길이는 매개 변수화은 기본적으로 첫 번째 Frenet–Serret 식

T'(s)=κ(s)N(s),{\displaystyle\mathbf{T}”(s)=\kappa(s)\mathbf{N}(s)}

어디에이 소수를 참조하는 파생상품에 대하여 호의 길이 s N(s)정상적인 단위에서 벡터의 방향 T'(s).

평면 곡선은 비틀림이 0 이므로 두 번째 Frenet–Serret 공식은 관계

d N d s=−κ T,=−κ d γ d s 를 제공합니다., {\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{d\mathbf{N}}{ds}}&=-\kappa\mathbf{T},\\&=-\kappa{\frac{d{\boldsymbol{\gamma}}}{ds}}.\끝{정렬}}}

에 대한 일반적인 매개 변수화로 변 t,하나의 요구를 파생상품을 포함하는 식으로 존중하 t. 이들은 곱해서 얻은 ds/dt 의 유도체와 관련하여 s,하나는,모든 적절한 매개 변수화

N'(t)=−κ(t)γ'(t). {\displaystyle\mathbf{N}”(t)=-\kappa(t){\boldsymbol{\gamma}}”(t).}

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