Assosiative egenskapen
En binær operasjon ∗ {\displaystyle *} på et sett S som ikke tilfredsstiller den assosiative loven er kalt ikke-assosiativ. Symbolsk
( x ∗ y ) ∗ z ≠ x ∗ ( y ∗ z ) for noen x , y , z ∈ S . {\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{for noen }}x,y,z\i S.}
For en slik operasjon rekkefølgen av evaluering som betyr noe., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
merk Også at uendelige summer er generelt ikke assosiativ, for eksempel:
( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\prikker \,=\,0}
mens
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\prikker \,=\,1}
studier av ikke-assosiativ strukturer oppstår fra grunner som er noe forskjellig fra hovedstrømmen av klassisk algebra., Ett område innenfor ikke-assosiativ algebra som har vokst seg veldig stor, er at av Lie-algebraer. Det den assosiative loven er erstattet av Jacobi identitet. Lie-algebraer abstrakt den essensielle natur av uendelig liten størrelse transformasjoner, og har blitt allestedsnærværende i matematikk.
Det er andre spesifikke typer av ikke-assosiativ strukturer som har blitt studert i dybden, og disse har en tendens til å komme fra noen spesifikke programmer eller områder som kombinatoriske matematikk. Andre eksempler er quasigroup, quasifield, ikke-assosiativ ringen, ikke-assosiativ kommutative algebra og ikke-assosiativ magmas.,
Nonassociativity av floating point calculationEdit
I matematikk, addisjon og multiplikasjon av reelle tall er assosiativ. I kontrast, i computer science, den addisjon og multiplikasjon av flyttall er ikke assosiativ, som avrundingsfeil er innført når ulik størrelse verdier er koblet sammen.
Selv om de fleste datamaskiner regne med en 24 eller 53 biter av mantissa, dette er en viktig kilde til avrunding feil, og tilnærminger som Kahan summering algoritmen er måter å minimere feil., Det kan være spesielt problematisk i parallell databehandling.
Notasjon for ikke-assosiativ operationsEdit
generelt parentes må brukes for å angi rekkefølgen på vurdering dersom en ikke-assosiativ drift vises mer enn en gang i et uttrykk (med mindre notasjon angir rekkefølgen på en annen måte, for eksempel 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Imidlertid, matematikere bli enige om en bestemt rekkefølge av evaluering for flere felles ikke-assosiativ operasjoner. Dette er rett og slett en notational konvensjon for å unngå parentes.,
En venstre-assosiative drift er en ikke-assosiativ drift som er konvensjonelt evaluert fra venstre mot høyre, dvs.,
x ∗ y ∗ z = ( x ∗ y ) ∗ z w ∗ x ∗ y ∗ z = ( ( w ∗ x ) ∗ y ) ∗ z osv. } for alle w , x , y , z ∈ S {\displaystyle \venstre.{\begin{matrise}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((b*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrise}}\right\}{\mbox{alle }}w,x,y,z\i S}
mens en høyre-assosiativ drift er konvensjonelt evaluert fra høyre til venstre:
x ∗ y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) etc., } for alle w , x , y , z ∈ S {\displaystyle \venstre.{\begin{matrise}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrise}}\right\}{\mbox{alle }}w,x,y,z\i S}
Både venstre-assosiative og høyre-assosiativ operasjoner oppstå., Venstre-assosiative virksomhet omfatter følgende:
- Subtraksjon og divisjon av reelle tall:
x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}
- Funksjon søknad:
( f x y ) = ( ( f x ) y ) {\displaystyle (f\x\y)=((f\,x)\,y)} Denne notasjonen kan være motivert av currying isomorphism.,
Høyre-assosiativ virksomhet omfatter følgende:
- Exponentiation av reelle tall i hevet skrift-notasjon:
x y z = x ( y-z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} Exponentiation brukes vanligvis med braketter eller høyre-assosiativt fordi en gjentatt venstre-assosiative exponentiation drift er til liten nytte. Gjentatt krefter vil for det meste bli omskrevet med multiplikasjon: ( x-y ) z = x ( y-z ) {\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}} riktig Formatert, leder den hevet iboende oppfører seg som et sett av parentes, f.eks., i uttrykket 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x+3}} tillegg utføres før exponentiation til tross for at det er ingen eksplisitt parentes 2 ( x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}} pakket rundt det. Dermed gitt et uttrykk som x y z {\displaystyle x^{y^{z}}} , full eksponent y z {\displaystyle y^{z}} av base x {\displaystyle x} er vurdert først., Imidlertid, i noen sammenhenger, spesielt i håndskrift, forskjellen mellom x-y-z = ( x y ) z {\displaystyle {x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}} , x y z = x ( y-z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}} og x-y-z = x ( y-z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} kan være vanskelig å se. I et slikt tilfelle, høyre-assosiativitet er vanligvis underforstått.,
- Funksjon definisjon
Z → Z → Z = Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x 䚼ӊৡ y 䚼ӊৡ x − y = – x 䚼ӊৡ ( y 䚼ӊৡ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)} ved å Bruke høyre-assosiativ notasjon for disse operasjonene kan være motivert av Karri–Howard korrespondanse og ved currying isomorphism.
Ikke-assosiativ operasjoner som ikke er vanlig for evaluering er definert inkluderer følgende.,splaystyle en\pil opp \pil opp \pil opp (b\pil opp \pil opp \pil opp c)\neq (a\pil opp \pil opp \pil opp b)\pil opp \pil opp \pil opp c}
- Ta korset produkt av tre vektorer:
a → x ( b → × c → ) ≠ ( a → × b → ) × c → for noen a → b → , c → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {a}}\ganger ({\vec {b}}\ganger {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\ganger {\vec {b}})\ganger {\vec {c}}\qquad {\mbox{ for noen }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\i \mathbb {R} ^{3}}
- Tar parvis gjennomsnitt av reelle tall:
( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 for alle x , y , z ∈ R med x ≠ z ., {\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{alle }}x,y,z\i \mathbb {R} {\mbox{ med }}x\neq z.}