Den Pytagoreisk Teorem
Den Pytagoreisk Teorem
læringsmål(s)
· Bruk Pytagoreisk Teorem for å finne den ukjente siden av en rett trekant.
· Løse programmet problemer som involverer Pytagoreisk Teorem.,
Innledning
for lenge siden, et greske matematikeren Pythagoras oppdaget en interessant eiendom om høyre trekanter: summen av kvadratene av lengder på hver av trekanten ben er den samme som kvadratet av lengden på trekanten er hypotenuse. Denne eiendommen—som har mange programmer i vitenskap, kunst, ingeniørfag og arkitektur—nå kalles Pytagoreisk Teorem.
La oss ta en titt på hvordan dette teoremet kan hjelpe deg å lære mer om konstruksjon av trekanter., Og det beste av alt—du trenger ikke engang å snakke gresk å bruke Pytagoras’ oppdagelse.
Den Pytagoreisk Teorem
Pytagoras studert høyre trekanter, og forholdet mellom bena og hypotenuse av en rett trekant, før utleder sin teori.,
Pytagoreisk Teorem
Hvis a og b er lengdene av bena på en rett trekant og c er lengden av hypotenuse, så er summen av kvadratene av lengden på bena er lik kvadratet av lengden på hypotenuse.
Dette forholdet er representert ved formelen: 
I boksen ovenfor, kan du ha lagt merke til ordet «kvadrat,» så vel som de små 2s til toppen høyre av bokstavene i ., For å square et tall betyr å multiplisere det med seg selv. Så, for eksempel, å square nummer 5 du multiplisere 5 • 5, og til torget antall 12, må du multiplisere 12 • 12. Noen vanlige rutene er vist i tabellen nedenfor.,5″>
52 = 5 • 5
25
10
102 = 10 • 10
100
Når du ser ligningen du kan tenke på dette som «lengden av en side ganger selv, pluss lengden på side b ganger i seg selv er det samme som lengden på side c ganger selv.,»
La oss prøve ut alle Pytagoreisk Teorem med en faktisk rett trekant.
Dette teoremet gjelder for denne retten trekant—summen av kvadratene av lengder på begge beina, er det samme som kvadratet av lengden på hypotenuse. Og, faktisk, det er sant for alle høyre trekanter.
Pytagoreisk Teorem kan også være representert i form av areal. I noen rett trekant, området av de firkantede trukket fra hypotenuse er lik summen av de områdene av rutene som er hentet fra de to bena., Du kan se dette illustrert nedenfor i samme 3-4-5 høyre trekant.
Merk at Pytagoreisk Teorem fungerer bare med høyre trekanter.
å Finne Lengden av Hypotenuse
Du kan bruke Pytagoreisk Teorem til å finne lengden av hypotenuse av en rett trekant hvis du vet lengden på trekant er to andre sider, kalt bena. Sagt på en annen måte, hvis du vet lengdene a og b, kan du finne c.,
I trekanten ovenfor, du er gitt tiltak for bein a og b: 5 og 12, henholdsvis. Du kan bruke Pytagoreisk Teorem for å finne en verdi for lengden av c, hypotenuse.
|
|
Pytagoreisk Teorem. |
|
|
Erstatning kjente verdier for a og b., |
|
|
Evaluere. |
|
|
Forenkle. For å finne verdien av c, tenk på et tall som, når multiplisert med seg selv, er lik 169. Gjør 10 arbeid? Hva med 11? 12? 13? (Du kan bruke en kalkulator for å multiplisere hvis numrene er ukjent.) |
|
13 = c |
kvadratroten av 169 er 13., |
ved Hjelp av formelen, vil du finne at lengden av c, hypotenuse, er 13.
I dette tilfellet, har du ikke vet verdien av c—ble du gitt kvadratet av lengden på hypotenuse, og måtte finne det ut fra det. Når du er gitt en ligning som 
og du blir bedt om å finne verdien av c, dette kalles å finne kvadratroten av et tall. (Legg merke til at du fant et nummer, c, hvis plassen var 169.,)
Finne en kvadratrot tar litt praksis, men det tar også kunnskap om multiplikasjon, divisjon, og en liten bit av prøving og feiling. Se på tabellen nedenfor.,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., Hvis du kan huske de kvadrattall—eller-hvis du kan bruke en kalkulator for å finne dem—og så finner mange felles kvadratrøtter vil være bare et spørsmål om tilbakekall.
For hvilke av disse trekanter er 
?,
A)
B)
C)
D)
å Finne Lengden av en strekning
Du kan bruke den samme formelen for å finne lengden av en rett trekant ben hvis du får målinger for lengder av hypotenuse og det andre beinet. Vurdere eksempelet nedenfor.,
|
Example |
||
|
Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
|
|
|
a = ?, b = 6 c = 7 |
I denne trekanten til høyre, du får målinger for hypotenuse, c, og ett ben, b. Den hypotenuse er alltid på motsatt side rett vinkel, og det er alltid den lengste siden i trekanten. |
|
|
|
for Å finne lengden på en etappe, erstatte de kjente verdiene i Pytagoreisk Teorem., |
|
|
|
|
Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
|
|
|
Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055…, som du kan runde for å 3.6. (Siden du er tilnærmet du bruke symbolet |
|
Svar |
|
|
.)
Hvilke av følgende forståelse bruker Pytagoreisk Teorem til å finne de savnede side, x?,
A) 
B) x + 8 = 10
C) 
D) 
Bruke Teoremet til å Løse Virkelige Problemer
Den Pytagoreisk Teorem er kanskje en av de mest nyttige formler du vil lære i matematikk fordi det er så mange programmer av det i den virkelige verden innstillinger., Arkitekter og ingeniører bruker denne formelen mye ved bygging av ramper, broer og bygninger. Se på følgende eksempler.
|
Eksempel |
||
|
Problemet |
eierne av et hus ønsker å konvertere en trapp fører fra bakken til sine verandaen i en rampe. Verandaen er 3 meter over bakken, og på grunn av byggeforskrifter rampen må starte på 12 meter vekk fra basen av veranda. Hvor lenge vil rampen være?, Bruk en kalkulator for å finne kvadratrot, og rund av svaret til nærmeste tiende. |
|
|
for Å løse et problem som dette, er det ofte fornuftig å tegne et enkelt diagram som viser hvor bena og hypotenuse av trekanten løgn., |
||
|
|
||
|
|
a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., Du vet at trekanten er en rett trekant siden bakken og hevet del av verandaen er vinkelrett—dette betyr at du kan bruke Pytagoreisk Teorem for å løse dette problemet. Identifisere a, b, og c. |
|
|
|
Bruk Pytagoreisk Teorem til å finne lengden av c., |
|
|
12.4 = c |
Bruk en kalkulator for å finne c. Kvadratroten av 153 er 12.369…, så du kan runde som å 12.4. |
|
Svar |
rampen vil bli 12.4 meter lang., |
|
|
Eksempel |
||
|
Problemet |
En seilbåt har et stort seil i form av en rett trekant. Den lengste kanten av seilet tiltak 17 meter, og den nederste kanten av seilet er 8 meter. Hvor høy er den seile?, |
|
|
|
Tegne et bilde for å hjelpe deg med å visualisere problemet. I en høyre-triangel, hypotenuse vil alltid være den lengste siden, så her må det være 17 meter. Problemet forteller deg også at den nederste kanten av trekanten er 8 meter., |
|
|
|
Setup the Pythagorean Theorem. |
|
|
|
a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
|
Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
|
Oppsummering
Pytagoreisk Teorem sier at i enhver rett trekant, summen av kvadratene av lengder av trekanten ben er den samme som kvadratet av lengden på trekanten er hypotenuse. Dette teoremet er representert ved formelen . Enkelt sagt, hvis du vet lengder på to sider av en rett trekant, kan du bruke Pytagoreisk Teorem for å finne lengden på den tredje siden. Husk, dette teoremet fungerer bare for høyre trekanter.