Epsilon Kalkulus

Oversikt

Ved århundreskiftet David Hilbert og Henri Poincaréwere anerkjent som de to viktigste matematikere av theirgeneration. Hilbert ‘ s utvalg av matematiske interesser var bred,og inkludert en interesse i grunnlaget for matematikk: hisFoundations av Geometri ble publisert i 1899, og thelist av spørsmål som stilles til den Internasjonale Kongressen ofMathematicians i 1900, tre adressert tydelig foundationalissues.,

Etter utgivelsen av Russell ‘ s paradoks, Hilbertpresented en adresse til den Tredje Internasjonale Kongressen ofMathematicians i 1904, der det for første gang, han skisserte hisplan å gi et grundig fundament for matematikk via syntacticconsistency bevis. Men han kom ikke tilbake til emnet i earnestuntil 1917, da han begynte en serie med forelesninger på foundations ofmathematics med hjelp av Paul Bernays., Selv om Hilbert wasimpressed av arbeidet til Russell og Whitehead i deres PrincipiaMathematica, ble han overbevist om at logicist forsøk toreduce matematikk for logikk kunne ikke lykkes, skyldes i særlig til ikke-logiske karakter av deres aksiom av reducibility. På sametime, han dømt den intuitionistic avvisning av lov av theexcluded midten som uakseptabelt å matematikk. Derfor, for tocounter bekymringer reist etter oppdagelsen av den logiske andset-teoretisk paradokser, en ny tilnærming var behov for å rettferdiggjøre modernmathematical metoder.,

Etter sommeren 1920, Hilbert hadde formulert slik tilnærming. Første,moderne matematiske metoder skulle være representert i formelle deductivesystems. For det andre, disse formelle systemer var å være bevist syntacticallyconsistent, ikke ved å stille ut en modell eller redusere sin konsistens toanother systemet, men ved en direkte metamathematical argument av anexplicit, «finitary» karakter. Tilnærmingen ble knownas Hilbert»s program. Epsilon kalkulus var å gi den første komponenten av thisprogram, mens hans epsilon substitusjon metoden var å gi thesecond.,

epsilon kalkulus er, i sin mest grunnleggende form, en utvidelse offirst-for predikat logikk med en «epsilon-operasjon», som plukker ut, for alle sanne eksistensielle formel, et vitne til theexistential quantifier. Utvidelsen er konservativ i den sensethat det legger ikke noen ny første-for konsekvensene. Men,derimot, quantifiers kan defineres i form av epsilons, sofirst-ordens logikk kan forstås i form av quantifier-freereasoning involverer epsilon drift. Det er denne sistnevnte featurethat gjør kalkulus praktisk for det formål å provingconsistency., Egnet utvidelser av epsilon kalkulus gjør itpossible å legge sterkere, quantificational teorier om tall andsets i quantifier-gratis calculi. Hilbert forventet at det ville bepossible å demonstrere konsekvens av slike utvidelser.

Epsilon Kalkulus

I hans Hamburg foredrag i 1921 (1922), Hilbert først presentert theidea av å bruke en slik operasjon for å håndtere prinsippet om theexcluded midt i et formelt system for matematikk., Disse ideene weredeveloped til epsilon kalkulus og epsilon substitutionmethod i en serie av foredrag kurs mellom 1921 og 1923, og inHilbert s (1923). Den endelige presentasjonen av epsilon-calculuscan bli funnet i Wilhelm Ackermann ‘ s avhandling (1924).

Dette avsnittet vil beskrive en versjon av matematisk analyse tilsvarende tofirst-ordens logikk, mens utvidelser til første – og andre-orderarithmetic vil bli beskrevet nedenfor.

La \(L\) være et første-ordens språk, som er å si, en liste ofconstant, funksjon og relasjon symboler med spesifisert arities., Theset av epsilon vilkår og sett av formler som \(L\) er definedinductively, samtidig som følger:

Substitusjon og forestillinger av frie og bundne variable, er definedin vanlig måte, i særdeleshet variabelen \(x\) blir bundet i begrepet \(\varepsilon x\). Den hadde til hensikt å tolkningen er at\(\varepsilon x\) betegner noen \(x\) tilfredsstillende \(A\), ifthere er en., Dermed epsilon vilkårene er underlagt de followingaxiom (Hilbert ‘ s «transfinite aksiom»): \ I tillegg, epsilon kalkulus omfatter et komplett sett av aksiomer som regulerer classicalpropositional connectives, og aksiomer som regulerer likestilling symbolet.De eneste reglene i kalkulus er følgende:

• Modus ponens
• Substitusjon: fra \(A(x)\), konkluderer \(A(t)\), for alle sikt\(t.,\)

Tidligere former av epsilon kalkulus (som presentert inHilbert 1923) bruk en dobbel form av epsilon-operatøren, som\(\varepsilon x\) returnerer en verdi forfalske \(A(x)\). Theversion ovenfor ble brukt i Ackermann ‘ s avhandling (1924), andhas bli standard.

Merk at kalkulus bare beskrevet er quantifier-gratis. Quantifierscan være definert som følger: \ vanlig quantifier aksiomene og reglene som kan utledes av disse, så definitionsabove tjene til å bygge første-ordens logikk i epsilon kalkulus., Theconverse er, imidlertid, ikke sant: ikke alle formler i epsiloncalculus er bildet av en vanlig kvantifisert formelen under thisembedding. Derfor, epsilon kalkulus er mer uttrykksfulle enn thepredicate kalkulus, rett og slett fordi epsilon vilkår kan kombineres inmore komplekse måter enn quantifiers.

Epsilon Teoremer

Det andre bindet av Hilbert og Bernays’ Grundlagen derMathematik (1939) gir en redegjørelse for resultatene på theepsilon-kalkulus som hadde blitt bevist av den tiden., Dette inkluderer adiscussion av den første og andre epsilon teoremer med applicationsto første-ordens logikk, epsilon substitusjon metode for arithmeticwith åpne induksjon, og en utvikling av analyse (som er,andre-ordens aritmetikk) med epsilon kalkulus.

første og andre epsilon teoremer er som følger:

I den første epsilon teorem, «quantifier-gratis predicatelogic» er ment å omfatte erstatning regelen ovenfor, soquantifier-gratis aksiomene oppføre seg som sine universal nedleggelser., Siden theepsilon kalkulus inkluderer første-ordens logikk, den første epsilon theoremimplies at noen omvei gjennom first-order predikat logikk brukes toderive en quantifier-gratis teorem fra quantifier-gratis aksiomene canultimately unngås. Den andre epsilon-teoremet viser at anydetour gjennom epsilon kalkulus brukt til å utlede et teorem i thelanguage av predikatet kalkulus fra aksiomene i språk av thepredicate kalkulus kan også unngås.,

Mer generelt, den første epsilon-teoremet fastslår at quantifiersand epsilons kan alltid bli eliminert fra et bevis på aquantifier-gratis formel fra andre quantifier-gratis formler. Dette isof særlig betydning for Hilbert ‘ s program, siden theepsilons spille rollen ideelle elementer i matematikk. Ifquantifier-gratis formler svarer til den «virkelige» del ofthe matematisk teori, den første epsilon-teoremet viser at idealelements kan bli eliminert fra bevis på ekte uttalelser, providedthe aksiomene er også ekte uttalelser.,

Denne ideen er laget presis i en viss generell konsistens theoremwhich Hilbert og Bernays stammer fra den første epsilon-teoremet, whichsays følgende: La \(F\) være noe formelt system som resulterer suge predikat kalkulus med tillegg av konstant -, funksjons -, andpredicate symboler pluss sant aksiomene som er quantifier – andepsilon-fri, og antar at sannheten av atomære formler i newlanguage er decidable. Da er \(F\) er konsistent i den sterke sensethat hver derivable quantifier – og epsilon-gratis formelen er sann.,Hilbert og Bernays bruke dette teoremet til å gi en finitary consistencyproof av elementær geometri (1939, Sek 1.4).

vanskeligheten for å gi konsistens bevis for aritmetiske andanalysis består i å utvide dette føre til tilfeller hvor axiomsalso inneholder ideelle elementer, dvs., epsilon vilkår.

Videre lesing. De opprinnelige kildene på epsilon-calculusand epsilon teoremer (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939)er tilgjengelig bare på tysk. Leisenring 1969 er en relativelymodern reserve-lengde introduksjon til epsilon-kalkulus i engelsk.,Den første og andre epsilon-teoremet er beskrevet i detalj i Zach2017. Moser & Zach 2006 gi en detaljert analyse for casewithout likestilling. Den opprinnelige bevis er gitt for axiomaticpresentations av epsilon-kalkulus. Maehara 1955 ble den første toconsider påfølgende beregninger med epsilon vilkår. Han viste hvordan provethe andre epsilon-teoremet ved hjelp av cut eliminering, og thenstrengthened teoremet til å inkludere skjemaet for extensionality(Maehara 1957). Baaz et al. 2018 gi en forbedret versjon av den firstepsilon teorem., Rettelser til feil i litteraturen (includingLeisenring bok) kan bli funnet i Flannagan 1975; Ferrari 1987, og Yasuhara 1982. En variant av epsilon beregninger basert på Skolemfunctions, og derfor er kompatible med første-ordens logikk, isdiscussed i Davis & Fechter 1991.

Herbrand Teorem

Den versjonen av Herbrand teorem bare beskrevet followsimmediately fra den Utvidede Første Epsilon-Teoremet ofHilbert og Bernays., Ved hjelp av metoder forbundet med bevis på thesecond epsilon-teoremet, men Hilbert og Bernays avledet astronger resultat at det som Herbrand opprinnelige formulering,gir mer informasjon. For å forstå de to delene av theorembelow, det hjelper til å vurdere en bestemt eksempel. La \(A\) være theformula

\ der \(B\) er quantifier-gratis. Den negationof \(A\) tilsvarer \ Av Skolemizing, dvs.,, usingfunction symboler for å vitne om den eksistensielle quantifiers, får vi\ Tar nektelsen av dette, ser vi at originalformula er «tilsvarende» til \

Når vi henviser til en forekomst av matrise av \(A^H\), wemean en formel som er innhentet ved at de erstatter betingelsene i expandedlanguage i matrisen av \(A^H\). Vi kan nå state Hilbert andBernays er formulering av

Herbrand teorem kan også oppnås ved bruk av cutelimination, via Gentzen ‘ s «midsequent teorem.,»Men bevis ved hjelp av den andre epsilon-teoremet har thedistinction av å være den første fullstendige og korrekte bevis ofHerbrand teorem. Dessuten, og dette er sjelden anerkjent,mens bevis basert på cut-eliminering gir en bundet på thelength av Herbrand motsetninger bare som en funksjon av kutt rankand kompleksiteten av kutt formler i proof, lengden obtainedfrom bevis basert på epsilon kalkulus gir en bundet som afunction av antall søknader av transfinite aksiom, andthe rang og grad av epsilon-vilkår som oppstår der., I otherwords, lengden på Herbrand motsetninger avhenger bare på thequantificational kompleksiteten av erstatningene som er involvert, og, for eksempel,ikke i det hele tatt på proposisjonale struktur eller lengden av theproof.

Den versjonen av Herbrand teorem nevnt i begynnelsen ofthis delen er i hovedsak spesielle tilfelle (2) i hvilken theformula \(A\) er eksistensiell. I lys av dette spesielle tilfellet (1) isequivalent til påstanden om at en formel \(A\) er derivable infirst-for predikat logikk hvis og bare hvis \(A^H\) er., Den forwarddirection av denne ekvivalensen er mye lettere å bevise, faktisk, forany formel \(A \rightarrow A^H\) er derivable i predikat logikk.Beviser det motsatte retningen innebærer å eliminere additionalfunction symboler i \(A^H\), og er mye mer vanskelig, spesielt i nærvær av likestilling. Det er her epsilon metoder spille acentral rolle.

En slående anvendelse av Herbrand»s teorem og relaterte metoder isfound i Luckhardt»s (1989) analyse av Roth’ s teorem. For adiscussion av nyttige utvidelser av Herbrand»s metoder, se Sieg 1991.,En modell-teoretisk versjon av dette er diskutert i Avigad 2002a.

Epsilon Substitusjon Metode og Matematikk

Som nevnt ovenfor, historisk sett, den primære interesse i epsiloncalculus var som et middel til å oppnå konsistens bevis.Hilbert ‘ s foredrag fra 1917-1918 allerede vær oppmerksom på at onecan lett bevise konsistens proposisjonale logikk, ved takingpropositional variabler og formler for å rekke over sannheten verdiene 0 and1, og tolke den logiske connectives som correspondingarithmetic operasjoner., På samme måte kan man bevise konsistens ofpredicate logikk (eller ren epsilon kalkulus), med spesialfelt tointerpretations der universet av diskurs er en enkelt element.Disse hensyn anbefaler følgende mer generelle program forproving konsistens:

• Utvide epsilon kalkulus på en slik måte som å representere largerportions av matematikk.
• Vis, ved hjelp av finitary metoder, som hver bevis i extendedsystem har en konsekvent tolkning.,

la oss Anta at vi ønsker å vise at systemet ovenfor er konsistent; i otherwords, vi ønsker å vise at det er ingen bevis for formelen \(0 =1\). Ved å skyve alle erstatninger til aksiomene og skifte freevariables av konstant 0, er det tilstrekkelig å vise at det er nopropositional bevis på \(0 = 1\) fra et finitt sett av lukket instancesof aksiomene. For at det er tilstrekkelig å vise at, gitt en finiteset av lukket forekomster av aksiomene kan man tilordne numeriske verdier toterms på en slik måte at alle aksiomer er sann under theinterpretation., Siden den aritmetiske operasjoner \(+\) og \(\times\)kan tolkes på vanlig måte, den eneste vanskeligheten ligger infinding passende verdier for å tilordne det til epsilon vilkår.

Hilbert ‘s epsilon substitusjon metode kan beskrives,omtrent som følger:

En finitary konsistens bevis er innhentet etter at det er vist i afinitarily akseptabel måte at denne prosessen med påfølgende»reparasjoner» opphører. Hvis den gjør det, alle kritiske formulasare sant formler uten epsilon-vilkår.,

Denne grunnleggende ideen (den «Hilbertsche Ansatz») ble satt outfirst av Hilbert i hans 1922 snakke (1923), og utarbeidet i lecturesin 1922-23. De eksempler som er gitt der, men bare forholde withproofs hvor alle forekomster av den transfinite aksiom svarer til asingle epsilon sikt \(\varepsilon x A(x)\). Utfordringen var toextend tilnærmingen til mer enn én epsilon sikt, nestede epsilonterms, og til slutt til andre-for epsilons (for å få aconsistency bevis, ikke bare i matematikk, men for analyse).,

Dette er bare en skisse av vanskelighetene involvert i extendingHilbert idé til det generelle tilfellet. Ackermann (1924) providedsuch en generalisering ved hjelp av en prosedyre som «backtracks»når en ny tolkning på et gitt stadium resulterer i behov tocorrect en tolkning som allerede finnes på et tidligere stadium.

Ackermann er prosedyren som brukes om et system av andre-orderarithmetic, som, imidlertid, andre for vilkårene var begrenset soas å ekskludere cross-binding av andre-for epsilons., Dette beløp,omtrent, til en begrensning for å aritmetiske forståelse som theset-forming prinsippet tilgjengelig (se diskusjonen på slutten av thissection). Videre problemer med second-order epsilon termssurfaced, og det ble raskt klart at bevis som det stoodwas uholdbar. Imidlertid, ingen i Hilbert ‘ s school innså theextent av vanskeligheten til 1930, da Gödel annonsert hisincompleteness resultater., Inntil da, det ble antatt at bevis (atleast med noen endringer introdusert av Ackermann, noen av whichinvolved ideer fra von Neumann (1927) versjon av epsilonsubstitution metode) ville gå gjennom minst for det første-orderpart. Hilbert og Bernays (1939) tyder på at metodene som brukes onlyprovides en konsistens bevis for første-ordens aritmetikk med openinduction. I 1936, Gerhard Gentzen lyktes i å gi et bevis for theconsistency av første-ordens aritmetikk i en formulering basert onpredicate logikk uten epsilon symbolet., Dette bevis usestransfinite induksjon opp til \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) waslater i stand til å tilpasse Gentzen ‘ s ideer for å gi en correctconsistency bevis av første-ordens aritmetikk med theepsilon-innbytte-metoden.

Analyse, eller andre-ordens aritmetikk, er en utvidelse av første-orderarithmetic med forståelse skjema for vilkårlig andre-orderformulae. Teorien er impredicative i at det tillater oneto definere sett av naturlige tall ved hjelp quantifiers som spenner utlevering hele universet sett, inkludert, implisitt, sett beingdefined., Man kan få tak i predikativ fragmenter av denne theoryby begrense den type formuleringer tillatt i comprehensionaxiom. For eksempel, den begrensning diskutert i forbindelse withAckermann ovenfor svarer til det aritmetiske comprehensionschema, i formler som ikke involverer andre-orderquantifiers. Det finnes ulike måter å få sterkere fragmenter ofanalysis det er likevel predicatively begrunnet., For eksempel,man får ramified analyse ved å knytte en ordenstallet rankto sett variabler, omtrent, i definisjonen av et sett med en gitt verdi,quantifiers spekter bare over sett av lavere rang, dvs., de whosedefinitions er logisk før.

Videre Lesing. Hilbert ‘ s og Ackermann er earlyproofs er omtalt i Zach 2003; 2004. Von Neumann bevis isthe temaet Bellotti 2016. Ackermann er 1940 bevis er discussedin Hilbert & Bernays 1970, og Wang 1963. En moderne presentasjon isgiven av Moser 2006., En tidlig anvendelse av epsilon substitusjon isthe ingen-counterexample tolkning (Kreisel 1951).

Mer den Siste Utviklingen

I dette avsnittet diskuterer vi utviklingen av epsilon-substitutionmethod for å få konsistens resultater for sterk systemer; theseresults er av en matematisk natur. Vi kan ikke, dessverre,diskutere detaljene i bevisene her, men ønsker å indikere thatthe epsilon-substitusjon metoden ikke dø med Hilbert’sprogram, og at en betydelig mengde av dagens forskning er carriedout i epsilon-formalisms.,

Gentzen ‘ s konsistens bevis for aritmetiske lansert et forskningsfelt kjent som ordenstallet analyse, andthe program for å måle styrken av matematiske teorier usingordinal merknader er fortsatt forfulgt i dag. Dette er particularlyrelevant til utvidet Hilbert ‘ s program, hvor thegoal er å rettferdiggjøre klassisk matematikk i forhold til konstruktiv, orquasi-konstruktiv-systemer., Gentzen ‘ s metoder ofcut-eliminering (og utvidelser til infinitary logikk utviklet av PaulLorentzen, Petr Novikov, og Kurt Schütte) har i stor grad fortrengt epsilon substitusjon metoder i disse sysler. Men epsiloncalculus metoder kan gi en alternativ tilnærming, og det er stillactive forskning på måter å forlenge Hilbert-Ackermann metoder tostronger teorier. Det generelle mønsteret er det samme:

1. Embed teorien som er under etterforskning i en passende epsiloncalculus.
2. Beskrive en prosess for å oppdatere oppgaver til epsilonterms.,
3. Vis at prosedyren er normalisering, dvs., gitt et sett ofterms, det er en sekvens av oppdateringer som resulterer i en assignmentthat tilfredsstiller aksiomene.

Siden det siste trinnet garanterer konsistens av den opprinnelige teorien,fra en grunnleggende synspunkt er interessert i methodsused å bevise normalisering. For eksempel, man får en ordinalanalysis ved å tilordne ordenstallet merknader til trinn i theprocedure, på en slik måte at verdien av en notasjon reduserer witheach trinn.,

På 1960-tallet, Tait (1960, 1965, 2010) extendedAckermann metoder for å få tak i en ordenstallet analyse av extensionsof aritmetiske operasjoner med prinsippene for transfinite induksjon. Morestreamlined og moderne versjoner av denne tilnærmingen kan bli funnet i Mints2001 og Avigad 2002b., Mer nylig, Mints, Tupailo, og Buchholzhave anses sterkere, men fortsatt predicatively forsvarlig,fragmenter av analyse, herunder teorier om aritmetiske comprehensionand a \(\Delta^{1}_1\)-forståelse for regelen (Mints, Tupailo &Buchholz 1996; Mints & Tupailo 1999, se også Mints 2016). Arai2002 har utvidet epsilon substitusjon metode for å teorier thatallow en til å gå aritmetiske forståelse langs primitiverecursive godt orderings., Særlig hans arbeid gir ordinalanalyses for predikativ fragmenter av analyse involverer transfinitehierarchies og transfinite induksjon.

Noen av de første skritt har blitt tatt i bruk av epsilon substitutionmethod i analysen av impredicative teorier (se Arai2003, 2006 og Mints 2015).

En variasjon på trinn 3 ovenfor innebærer viser at normalizationprocedure er ikke følsomme for valg av oppdateringer, som er å si,hvilken som helst rekkefølge av oppdateringer opphører. Dette kalles strongnormalization., Mints 1996 har vist at mange av de proceduresconsidered har dette sterkere eiendom.

I tillegg til de tradisjonelle, grunnleggende gren av bevis teori,i dag er det en god del interesse i strukturelle prooftheory, en gren av faget som fokuserer på logiske deductivecalculi og deres egenskaper. Denne forskningen er nært knyttet withissues relevant for informatikk, har å gjøre med automateddeduction, funksjonell programmering, og dataassistert bekreftelse.Her, også, Gentzen-stil metoder har en tendens til å dominere (se igjen oppføring på bevis teori)., Men epsilon-kalkulus kan også gi verdifull innsikt, jf. forexample Aguilera & Baaz 2019, eller diskusjon ofHerbrand er teoremet ovenfor.

Bortsett fra undersøkelser av epsilon-kalkulus i bevis teori,to programmene bør nevnes. Den ene er bruk av epsilonnotation i Bourbaki er Theorie des ensembler (1958).Den andre, av kanskje større gjeldende interesse, er bruk av theepsilon-operatør i teoremet-beviser systemer HOL og Isabelle, hvor uttrykksfulle kraft av epsilon-vilkår gir significantpractical fordeler.,

Epsilon Operatører i Lingvistikk, Filosofi, og Ikke-klassiske Logikkene

Lesing epsilon-operatoren som en ubestemt valg operatøren(«en \(x\) slik at \(A(x)\)») antyder at det kan bea nyttig verktøy i analysen av ubestemt og bestemt substantiv phrasesin formell semantikk. Epsilon notasjon har faktisk blitt så vant,og dette programmet har vist seg nyttig i særdeleshet i å håndtere withanaphoric referanse.

Vurdere kjent eksempel

1. Hver bonde som eier et esel som slår det.,ns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

ulempen er at «et esel» foreslå en existentialquantifier, og dermed analyse bør, liksom, parallell i formthe analyse av setning 3 er gitt ved 4:

men nærmest mulig formalisering,

1. \(\forall x ((\mathrm{Bonde}(x) \kile \eksisterer y(\mathrm{Esel}(y) \kile \mathrm{Eier}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

Som påpekt av von Heusinger (1994), tyder dette på at Neale iscommitted å pronomen blir tvetydig mellom bestemte beskrivelser\((\tøddel\)-uttrykk) og hvo-uttrykk., Heusinger suggestsinstead å bruke epsilon operatører indeksert av valget funksjoner (whichdepend på sammenheng). I henhold til denne tilnærmingen, analyse av(1)

Dette tilnærming til å håndtere pronomener ved hjelp av epsilon operatører indexedby utvalg funksjoner aktivere von Heusinger til å håndtere et bredt varietyof omstendigheter (se Egli og von Heusinger, 1995; von Heusinger,2000).

Programmer av epsilon-operatør i formal semantikk, og choicefunctions generelt, har mottatt betydelig interesse i recentyears., Von Heusinger og Egli (2000a) – liste, blant andre, thefollowing: representasjoner av spørsmål (Reinhart, 1992), specificindefinites (Reinhart 1992; 1997; Vinteren 1997), E-type pronomen(Hintikka og Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli og vonHeusinger 1995) og bestemt nomenfraser (von Heusinger 1997,2004).

For diskusjon av problemene og anvendelser av epsilon operatorin lingvistikk og filosofi, språk, se B. H., Slater’sarticle på epsilon calculi (sitert i Andre Internett-Resourcessection nedenfor), og samlinger von Heusinger og Egli 2000 andvon Heusinger og Kempson 2004.

Meyer Viol ‘ (1995a, 1995b) inneholder ytterligere bevis – og modell-theoreticstudies av epsilon kalkulus; spesielt intuitionistic epsiloncalculi. Her, epsilon teoremer ikke lenger holder, dvs.,innføring av epsilon vilkår produserer ikke-konservative utvidelser ofintuitionistic logikk. Andre undersøkelser av epsilon operatører inintuitionistic logikk kan bli funnet i Shirai (1971), Bell (1993a,1993b) og DeVidi (1995)., For epsilon-operatører i mange verdsettes logikkene,se Mostowski (1963), for modal epsilon kalkulus, Montering (1975).

Videre Lesing. Følgende er en liste over noen publicationsin området språk og lingvistikk relevans for epsiloncalculus og dets programmer. Leseren er rettet spesielt til samlinger von Heusinger & Egli (red.) 2000 og von Heusinger& Kempson (red.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

---