Heltall

I barneskolen undervisning, heltall er ofte intuitivt definert som (positiv) naturlige tall, null, og negasjoner av de naturlige tallene., Imidlertid, denne stilen av definisjonen fører til mange ulike tilfeller (hver aritmetiske operasjoner trenger for å bli definert på hver kombinasjon av typer heltall) og gjør det kjedelig å bevise at heltall adlyde de ulike lovene i matematikk. Derfor, i moderne set-teoretisk matematikk, et mer abstrakt konstruksjon tillater en å definere aritmetiske operasjoner uten alle fall skillet er ofte brukt i stedet. De naturlige tallene kan dermed være formelt konstruert som ekvivalensklasser av ordnede par av naturlige tall (a,b).,

intuisjon er at (a,b) står for resultatet av å trekke b fra en. For å bekrefte vår forventning om at 1 − 2-og 4 − 5 betegne det samme nummeret, definerer vi en ekvivalens relasjon ~ på disse parene med følgende regel:

( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim – (c,d)}

nøyaktig når

a + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+c.}

Addisjon og multiplikasjon av heltall kan være definert i forhold til tilsvarende operasjoner på naturlige tall; ved å bruke for å betegne den ekvivalens klasse har (a,b) som medlem, har man:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \cdot :=.}

negasjon (eller additiv invers) av et heltall er oppnådd ved å snu om på rekkefølgen av de to:

− := . {\displaystyle -:=.}

Derfor subtraksjon kan defineres som summen av de additiv invers:

− := . {\displaystyle -:=.}

standard bestilling på heltall er gitt ved:

< {\displaystyle <} hvis og bare hvis a + d < b + c . {\displaystyle a+d<b+c.,}

Det er enkelt verifiseres at disse definisjonene er uavhengig av valg av representanter av ekvivalensklasser.

Dermed er merket med

{ a − b , hvis a ≥ b − ( b − a ) , hvis en < b . {\displaystyle {\begin{tilfeller}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}en<. b.\end{tilfeller}}}

Hvis de naturlige tallene er identifisert med tilsvarende heltall (ved hjelp av embedding nevnt ovenfor), vil denne konvensjonen skaper ingen tvetydighet.,

Denne notasjonen gjenoppretter den kjente representasjon av heltall som {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Noen eksempler er:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{justert}}}

I teoretisk informatikk, andre tilnærminger for bygging av heltall som er brukt av automatiserte teorem provers og begrepet omskrive motorer.Heltall representeres som algebraiske begreper som er bygget med et par grunnleggende operasjoner (f.eks., null, succ, pred) og, muligens, ved hjelp av naturlige tall, som er antatt å være allerede bygget (ved hjelp av, si, Peano-tilnærming).

Det finnes minst ti slike konstruksjoner av signert heltall., Disse konstruksjonene er forskjellige på flere måter: antall operasjoner som brukes for bygging, antall (vanligvis mellom 0 og 2) og typer av argumenter som er akseptert av disse operasjonene; tilstedeværelse eller fravær av naturlige tall som argumenter av noen av disse operasjonene, og det faktum at disse operasjonene er gratis konstruktører eller ikke, dvs. at den samme heltall kan representeres ved hjelp av bare én eller mange algebraiske begreper.,

teknikken for bygging av heltall som er presentert ovenfor i dette avsnittet tilsvarer det enkelte tilfelle hvor det er et enkelt grunnleggende betjening par ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} som tar som argumenter for to naturlige tall x {\displaystyle x} og y {\displaystyle y} , og returnerer et heltall (lik x − y {\displaystyle x-y} ). Denne operasjonen er ikke gratis, siden heltall 0 kan skrives par(0,0), eller par(1,1), eller par(2,2), osv., Denne teknikken på bygg og anlegg som brukes av bevis assistent Isabelle, men mange andre verktøy i bruk alternative konstruksjon teknikker, kjente de som er basert på fri konstruktører, som er enklere og som kan gjennomføres mer effektivt i datamaskiner.

---