Khan Academy støtter ikke denne nettleseren. [lukk]
En av dere sendte en fairlyinteresting problem, så jeg trodde jeg ville finne ut av det. Problemet er at jeg har agroup av 30 personer, så 30 personer i et rom. De»re randomlyselected 30 personer. Og spørsmålet er hva som er theprobability at minst 2 personer har samme bursdag? Dette er en slags moro questionbecause det»er på størrelse med en rekke klasserom. Hva»s sannsynligheten for at minst noen i klasserommet aksjer en bursdag med someoneelse i klasserommet?, Det»er en god wayto uttrykket så godt. Dette er det samme som analyseres, hva er sannsynligheten for at noen aksjer withat minst noen andre. De kunne dele det med 2other personer eller 4 personer i bursdag. Og ved første problemet seemsreally vanskelig fordi det er mye circumstancesthat gjør dette sant. Jeg kunne ha nøyaktig 2 peoplehave samme bursdag. Jeg kunne ha nøyaktig 3 peoplehave samme bursdag. Jeg kunne ha nøyaktig 29 peoplehave samme bursdag, og alle disse gjør dette riktig, så doI legge til sannsynligheten for hver av disse forholdene?, Og deretter legge dem opp og thenthat blir veldig vanskelig. Og så ville jeg ha tosay, OK, som bursdager og jeg sammenligner? Og jeg ville ha todo kombinasjoner. Det blir en virkelig difficultproblem med mindre du gjør i form av en svært simplifyingtake på problemet. Dette er det motsatte av–vel, la meg tegne sannsynligheten plass. Let ‘ s si at dette isall av resultatene. La meg trekke det witha tykkere linje. Så la»s sier at»s allof resultatene av min sannsynligheten plass. Slik at»s 100% av resultatene. Vi ønsker å vite– la meg drawit i en farge som vant»t være støtende for deg., Som doesn»t ser thatgreat, men likevel. Let ‘s si at dette er theprobability dette området her-og jeg don»t» know-how » stort det egentlig er, vi vil finne det ut. Let ‘ s si at dette er theprobability at noen deler en bursdag withat minst noen andre. Hva»s dette området over her? Hva»s green-området? Vel, som betyr at hvis disse areall de tilfeller hvor en eller flere aksjer, en bursdag med someoneelse, disse er alle område hvor ingen aksjer abirthday med noen. Eller du kan si, alle 30 peoplehave forskjellige bursdager. Dette er hva vi»prøver på nytt om å finne ut av., Jeg vil bare kalle det theprobability at noen aksjer. Jeg vil kalle det probabilityof deling, sannsynligheten for s. Dersom hele dette området er området 1 orarea 100%, dette grønne området her, dette er goingto være 1 minus p av s. Dette kommer til å be1 minus p av s. Eller om vi sier at dette er theprobability– eller en annen måte vi kan si det, faktisk dette isthe beste måten å tenke på det. Hvis dette er forskjellig, sothis er sannsynligheten for ulike bursdager. Dette er probabilitythat alle 30 personer har 30 forskjellige bursdager. Ingen deler med noen., Sannsynligheten for at someoneshares med noen andre pluss sannsynligheten for at ingen oneshares med hvem som helst– de har alle forskjellige bursdager–det»er nødt til å være lik 1. Fordi vi»re enten gå tobe i denne situasjonen, eller vi»re kommer til å være i den situasjonen. Eller du kan si at de»reequal til 100%. Uansett, 100% og 1are samme nummer. Det»s lik 100%. Så hvis vi finne ut theprobability at alle har den samme bursdag vi couldsubtract det fra 100. Så la»s se. Vi kan vi bare skrive om dette., Sannsynligheten for at someoneshares en bursdag med noen andre, som»s lik 100% minus sannsynligheten for at alle har forskjellige,separate bursdager. Og grunnen til at jeg»m doingthat er fordi som jeg startet i videoen, dette iskind vanskelig å finne ut av. Du vet, jeg kan finne ut theprobability at 2 personer har samme bursdag, 5 personer,og det blir veldig forvirrende. Men her, hvis jeg ønsket å justfigure ut sannsynligheten for at alle har en distinctbirthday, det er faktisk mye enklere probabilityto løse for. Så hva»s probabilitythat alle har en distinkt bursdag?, Så la»s tenke på det. Person. Bare for enkelhets skyld, la»simagine tilfelle at vi bare har 2 personer i rommet. Hva»er den trolig at theyhave forskjellige bursdager? Let ‘ s se, person, theirbirthday kan være 365 dager av 365 dager i året. Du vet, whenevertheir bursdag. Og deretter person to, hvis wewanted for å sikre at de don»t har samme bursdag,hvor mange dager kan vedkommende to bli født på? Vel, det kan være bornon hvilken som helst dag som person man ikke var født på. Så det er 364possibilities ut 365., Så hvis du hadde 2 personer, theprobability at ingen er født på samebirthday-dette er bare en 1. Det er bare kommer til å beequal å 364/365. Nå hva som skjer ifwe var 3 personer? Så først av alt thefirst person kunne bli født på en dag. Så den andre personen couldbe født på 364 mulig dager av 365. Og da den tredje personen,hva»s sannsynligheten for at den tredje personen er»tborn på noen av disse menneskene bursdager? Så 2 dager er tatt opp, sothe sannsynligheten er 363/365. Du multiplisere dem ut. Du får 365 ganger 36– actuallyI burde skrive om dette., I stedet for å si dette er 1,la meg skrive dette som– telleren er 365 times364 over 365 squared. Fordi jeg ønsker youto å se mønsteret. Her er det stor sannsynlighet er 365times 364 ganger 363 over 365 til den tredje kraft. Og så, generelt, hvis du justkept å gjøre dette til 30, hvis jeg bare holdt denne prosessen for 30people– sannsynligheten for at ingen deler den samme birthdaywould være lik 365 ganger 364 ganger 363– jeg»ll have30 vilkår opp her. Hele veien ned til hva? Hele veien ned til 336. Det vil faktisk være 30terms dividert med 365 til 30. makt., Og du kan bare skrive inn dette intoyour kalkulator akkurat nå. Det vil ta deg litt tid totype i 30-tall, og du vil få sannsynligheten for at ingen oneshares samme bursdag med noen andre. Men før vi gjør det letme bare vise deg noe som kanskje gjør det litt litt lettere. Er det noen måte at jeg canmathematically uttrykke dette med factorials? Eller at jeg kunne mathematicallyexpress dette med factorials? Let ‘ s tenke på det. 365 fakultet er hva? 365 fakultet er lik 365times 364 ganger 363 tid– helt ned til 1. Du bare fortsette å multiplisere. Det er et stort antall., Nå, hvis jeg vil bare 365times 364 i dette tilfellet, har jeg for å bli kvitt alle ofthese tall tilbake her. En ting jeg kan gjøre, er Med å dele denne tingen av alle disse tallene. Så 363 ganger 362– alleden helt ned til 1. Så det»er det samme asdividing ved 363 fakultet. 365 fakultet delt av 363factorial er i hovedsak dette fordi alle theseterms kansellere ut. Så dette er lik 365factorial over 363 fakultet over 365 squared. Og selvfølgelig, for denne saken,det er nesten dumt å bekymre deg for factorials, men itbecomes nyttig når vi har noe større thantwo vilkår opp her., Så av den samme logikken, thisright her er kommer til å være lik 365 fakultet over 362factorial over 365 squared. Og faktisk, bare anotherinteresting punkt. Hvordan fikk vi denne 365? Beklager, hvordan gjorde vi getthis 363 fakultet? Vel, 365 minus 2is 363, ikke sant? Og det gir mening fordi weonly ønsket to vilkår opp her. Vi ville bare twoterms her. Så vi ønsket å dele med afactorial som»s to mindre. Og så har vi»d bare få thehighest to vilkår venstre., Dette er også lik– youcould skrive dette som 365 fakultet dividert med 365 minus2 fakultet 365 minus 2 363 fakultet og deretter er det bare å endup med de to begrepene, og at»s som det. Og da på samme måte, dette righthere, dette teller du kunne skrive så 365 factorialdivided av 365 minus 3– og vi hadde 3 personer– fakultet. Og som bør hopefullymake følelse, ikke sant? Dette er det samme som 365factorial– vel 365 delt på 3 er 362 fakultet. Og så at»s lik to365 ganger 364 ganger 363 hele veien ned. Delt av 362 timesall vei ned., Og at»ll kansellere ut witheverything annet sted, og du»d være bare igjen med det. Og det»er at høyre det. Så av den samme logikk, dette toppart her kan skrives som 365 fakultet over hva? 365 minus 30 fakultet. Og jeg gjorde alt som bare soI kunne vise deg hva slags mønster og fordi dette isfrankly enklere å skrive inn en kalkulator hvis du vet wherethe fakultet-knappen. Så la»s finne ut whatthis hele sannsynlighet er. Så slå på kalkulatoren,vi vil-så let ‘ s do teller. 365 fakultet dividert–vel, hva»s 365 minus 30? Som»s 335., Delt av 335 fakultet andthat»s hele teller. Og nå ønsker vi å dividethe numerator av 365 til 30. makt. La kalkulatoren thinkand vi får 0.2936. Lik 0.2936. Faktisk 37 hvis du avrundet,som er lik 29.37%. Nå, bare slik du husker whatwe var å gjøre alle sammen, dette var sannsynligheten for at ingen oneshares en bursdag med noen. Dette var sannsynligheten ofeveryone å ha tydelige, ulike birthdaysfrom alle andre., Og vi sa: vel, theprobability at noen aksjer i en bursdag med noen andre,eller kanskje mer enn én person, er lik for alle av thepossibilities– slags 100%, sannsynligheten plass,minus sannsynligheten for at ingen deler en birthdaywith noen. Slik at»s lik to100% minus 29.37%. Eller en annen måte du kan writeit som at»s 1 minus 0.2937, som er lik– så hvis Iwant å trekke dette fra 1. 1 minus-som justmeans svaret. Det betyr at 1 minus 0.29. Du får 0.7063. Så sannsynligheten for at someoneshares en bursdag med noen andre 0.7063–det fortsetter å gå., Som er approximatelyequal å 70.6%. Som er en slags pen resultbecause hvis du har 30 personer i et rom, kan du kanskje si,oh wow, hva er oddsen for at noen har samebirthday som noen andre? Det er faktisk ganske høyt. 70% av tiden, hvis du har agroup av 30 personer, minst 1 person aksjer en birthdaywith minst en annen person i rommet. Slik at»s form ofa ryddig problem. Og slag av en ryddig resultat samme tid. Allikevel, se deg i neste video.