Kurvatur

Intuitivt, krumning beskriver for noen del av en kurve hvor mye kurven retning endringer over en liten avstand reist (f.eks. vinkel i rad/m), så det er et tiltak for umiddelbar endring i retning av et punkt som beveger seg på kurven: jo større krumning, jo større denne endring. Med andre ord, kurvatur måler hvor fort enheten tangent vektor til kurven roterer (rask i form av kurve-posisjon). Faktisk, kan det være bevist at dette umiddelbar endring er nøyaktig den kurvatur., Mer presist, la oss anta at poenget er å flytte på kurven ved en konstant hastighet på én enhet, som er plasseringen av punktet P(s) er en funksjon av parameteren s, som kan betraktes som tid, eller som arc lengde fra en gitt opphav. La T(s) være en enhet tangent vektor av kurve i P(s), som også er avledet av P(s) med hensyn til s. Deretter, den deriverte til f(s) med hensyn til s er en vektor som er normal til kurven og hvis lengde er krumning.,

For å være meningsfull, definisjonen av kurvatur og dens forskjellige karakteristikk krever at kurven er kontinuerlig differensiable i nærheten P, for å ha en tangent som varierer kontinuerlig; det krever også at kurven er to ganger differensiable på P, for å forsikre at eksistensen av de involverte grenser, og av den deriverte av T(s).

karakterisering av kurvatur i form av derivat av enheten tangent vector er trolig mindre intuitiv enn definisjonen i form av osculating sirkel, men formler for utregning av krumningen er lettere å utlede., Derfor, og også på grunn av sin bruk i kinematikk, dette karakterisering er ofte gitt som en definisjon av kurvatur.

Osculating circleEdit

Historisk, krumning av en differensiable kurven ble definert gjennom osculating sirkel, som er sirkelen som best tilsvarer kurven i et punkt. Mer presist, gitt et punkt P på en kurve, alle andre punkt Q i kurven som definerer en sirkel (eller noen ganger en linje) passerer gjennom Q og tangenten til kurven i P. osculating sirkel er grensen, hvis den eksisterer, av denne sirkelen når Q har en tendens til å P., Deretter center og krumningsradius av kurven S er i sentrum og radius av osculating sirkel. Krumningen er den gjensidige av krumningsradius. Det er krumningen er

κ = 1 R , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}},}

der R er radius av kurvatur (hele sirkelen har denne vinkelen, det kan leses som slår 2π over lengden 2nR).

Denne definisjonen er vanskelig å manipulere og å uttrykke i formler. Derfor, andre tilsvarende definisjoner har blitt introdusert.,

I form av arc-lengde parametrizationEdit

Hver differensiable kurve kan være parametrized med hensyn til buens lengde. I tilfelle av en plan kurve, dette betyr eksistensen av en parametrization γ(s) = (x(t), y(s)), der x og y er reelle verdsettes differensiable funksjoner som derivater tilfredsstille

‖ γ ‘‖ = x ‘( s ) 2 + y ‘ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }}»\|={\sqrt {x»(s)^{2}+y»(s)^{2}}}=1.,}

Dette betyr at tangenten vector

T ( s ) = ( x ‘( t ) , y ( s ) ) {\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x»(s) y»(s){\bigr )}}

har en norm som er lik én, og er dermed en enhet tangent vektor.

Hvis kurven er to ganger differensiable, som, hvis den andre derivater av x og y eksisterer, så den deriverte av T(s) eksisterer. Denne vektoren er normal til kurven, dens norm er krumningen κ(s), og den er orientert mot midten av kurvatur.,yle {\begin{justert}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}»(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\innebærer \mathbf {T} «(s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} «(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}»»(s)\|={\sqrt {x»»(s)^{2}+y»»(s)^{2}}}\\\end{justert}}}

Videre som krumningsradius er

R ( s ) = 1 κ ( t ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

og sentrum av kurvaturen er på det normale til kurven, midten av kurvaturen er poenget

C ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T ‘ ( s ) ., {\displaystyle \mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} «(s).}

Hvis N(s) er enheten normal vektor innhentet fra T(s) av en rotasjon mot klokken på π/2, deretter

T ‘ ( s ) = k ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} «(s)=k(s)\mathbf {N} (s),}

med k(s) = ± κ(s). Den virkelige nummer k(s) kalles orientert eller signert kurvatur. Det kommer an på både retning av flyet (definisjon av mot klokken), og orientering av kurven gitt av parametrization., Faktisk, endring av variabel s → –s gir en annen arc-lengde parametrization, og endringer tegnet av k(s).

I form av en generell parametrizationEdit

La γ(t) = (x(t), y(t)) være en skikkelig parametrisk representasjon av en to ganger differensiable plan kurve. Her er riktig, betyr det at på domenet av definisjonen av parametrization, den avledede dy/dtis definert, differensiable og ingen er lik null vektor.,

Med en slik parametrization, undertegnet kurvatur er

k = x ‘ y «− y » x «( x 2 + y 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x»y»»-y»x»»}{\left({x»}^{2}+{y»}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

hvor primtall se derivater med hensyn til t. Krumningen κ er dermed

κ = | x ‘ y «− y » (x) | ( x 2 + y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|x»y»»-y»x» -«|} {\left({x»}^{2}+{y»}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

Disse kan bli uttrykt i et koordinat-gratis måte som

k = det ( γ ‘, γ «) ‖ γ ‘‖ 3 , κ = | det ( γ ‘, γ «) | ‖ γ ‘ ‖ 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}»,{\boldsymbol {\gamma }}»»)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}»\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}»,{\boldsymbol {\gamma }}»»)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}»\|^{3}}}.}

Disse formlene kan være avledet fra det spesielle tilfellet av arc-lengde parametrization på følgende måte. Over tilstanden på parametrisation innebærer at arc lengde s er en differensiable monotonic funksjon av parameteren t, og omvendt at t er en monotonic funksjon av s., Videre, ved å endre, hvis nødvendig, s –s, kan man anta at disse funksjonene er økende, og har en positiv derivat. Ved hjelp av notasjonen i de foregående avsnitt og kjede-regelen, har man

d γ d t = d s d t T , {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}

og dermed, ved å ta norm på begge sider

d t d s = 1 ‖ γ ‘ ‖ , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}»\|}},}

hvor statsministeren betegner derivasjon med hensyn til t.

krumning som er normen i derivat av T med hensyn til s., Ved å bruke formelen ovenfor og chain rule dette derivater og dens norm kan uttrykkes i form av γ’ og γ» bare, med arc-lengde parameteren s helt eliminert, noe som gir over formler for kurvatur.

Grafen til en functionEdit

grafen til en funksjon y = f(x), er et spesielt tilfelle av en parametrized kurve, i form

x = t y = f ( t ) . {\displaystyle {\begin{justert}x&=t\\y&=f(t).,\end{justert}}}

Som den første og andre derivater av x er 1 og 0, tidligere formler for å forenkle

κ = | y «| ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y»»|}{\left(1+{y»}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

for kurvatur, og

k = y – ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y»»}{\left(1+{y»}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

for registrerte kurvatur.

I det generelle tilfellet av en kurve, tegnet av den signerte kurvatur er noe vilkårlig, som avhengig av en orientering av kurven., I tilfelle av grafen til en funksjon, det er en naturlig retning av økende verdier av x. Dette gjør betydelige tegnet av den signerte kurvatur.

tegnet av den signerte kurvatur er det samme som tegn på den andre deriverte av f. Hvis det er positiv så grafen har en oppadgående concavity, og, hvis det er negativt grafen har en nedadgående concavity. Det er null, da har man et vendepunkt eller en bakke punkt.

Når stigningstallet til grafen (som er den deriverte av funksjonen) er liten, signert kurvatur som er godt rundet av andre derivater., Mer presist, med stor O-notasjon, man har

k ( x ) = y «+ O ( y ‘ 2 ) . {\displaystyle k(x)=y»»+O\left({y»}^{2}\right).}

Det er vanlig i fysikk og teknikk for å simulere kurvatur med andre derivater, for eksempel i bredde teori eller for å utlede bølge-ligningen for en spent streng, og andre programmer der små bakkene er involvert. Dette gjør ofte vurderer som lineære systemer som er ikke-lineære annen måte.,

Polar coordinatesEdit

Hvis en kurve som er definert i polare koordinater av radius uttrykt som en funksjon av den polare vinkelen, som er r er en funksjon av θ, deretter sin kurvatur er

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r ‘2 − r-r» | ( r 2 + r ‘ 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\venstre|r^{2}+2{r»}^{2}-r\,r»»\høyre|}{\left(r^{2}+{r»}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

hvor prime refererer til differensiering med hensyn til θ.,

Dette er resultater fra formelen for generelle parametrizations, ved å vurdere parametrization

x = r ( θ ) cos ⁡ θ y = r ( θ ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{justert}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\synd \theta \end{justert}}}

Implisitt curveEdit

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y-F x y + F x 2 F y-y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\venstre|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

Den signerte kurvatur er ikke definert som den er avhengig av en orientering av kurven som ikke er levert av implisitt ligning. Også, endring av F-til –F ikke endre kurve, men endringer tegn på telleren hvis absoluttverdien er utelatt i de foregående formel.

Et punkt på kurven der Fx = Fy = 0 er et enkelt punkt, noe som betyr at kurven er ikke differensiable på dette punktet, og dermed at krumningen er ikke definert (oftest, poenget er enten et krysningspunkt eller en cusp).,

Ovennevnte formel for kurvatur kan være avledet fra det uttrykk for krumningen av grafen til en funksjon ved å bruke implisitt funksjon teorem og det faktum at, på en slik kurve, man har

d y d x = − F x F y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

ExamplesEdit

Det kan være nyttig å kontrollere på enkle eksempler på at de forskjellige formlene gitt i de foregående avsnittene gir samme resultat.

CircleEdit

En felles parametrization av en sirkel med radius r er γ(t) = (r cos t, r synd t)., Formelen for kurvatur gir

k ( t ) = r 2 sin 2 ⁡ t + r 2 cos 2 ⁡ t ( r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sin 2 ⁡ t ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

Det følger, som forventet, at krumningsradius er radius i sirkelen, og at sentrum av kurvaturen er sentrum i sirkelen.

circle er et sjeldent tilfelle der arc-lengde parametrization er enkle å beregne, så det er

γ ( s ) = ( r cos ⁡ s r , r synd ⁡ s r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},r\synd {\frac {s}{r}}\right).}

Det er en arc-lengde parametrization, siden norm for

γ ‘ ( s ) = ( − sin ⁡ s r cos ⁡ s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}»(s)=\left(-\synd {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

er lik én. Dette parametrization gir samme verdi for kurvatur, som det beløp til divisjon ved r3 i både telleren og nevneren i de foregående formel.

Den samme sirkelen kan også være definert av den implisitte ligningen F(x, y) = 0 F(x, y) = x2 + y2 – r2., Deretter formelen for kurvatur i dette tilfellet gir

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y-F x y + F x 2 F y-y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{justert}\kappa &={\frac {\venstre|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\end{justert}}}

ParabolaEdit

Tenk parabelen y = ax2 + bx + c.

Det er grafen til en funksjon, med derivat 2ax + b, og andre avledede 2a. Så, signert kurvatur er

k ( x ) = 2 ( 1 + ( 2 x) + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k(x)={\frac {2}{\left(1+(2ax+b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

Det er tegn på en for alle verdier av x., Dette betyr at hvis en > 0, concavity er rettet oppover overalt; hvis en < 0, concavity er rettet nedover, for a = 0, kurvatur er null overalt, som bekrefter at parabelen utarter til en linje i denne saken.

(usignert) kurvatur er maksimum for x = –b/2a, som er på den stasjonære punktet (null deriverte) for funksjonen, som er toppunktet av parabelen.

Vurdere parametrization γ(t) = (t, at2 + bt + c) = (x, y). Den første deriverte av x er 1, og den andre deriverte er null., Erstatter inn i formelen for generelle parametrizations gir nøyaktig samme resultat som ovenfor, med x erstattet av t. Hvis vi bruker primtall for derivater med hensyn til parameteren t.

Det samme parabelen kan også være definert av den implisitte ligningen F(x, y) = 0 F(x, y) = ax2 + bx + c – y. Som Fy = -1, og Fyy = Fxy = 0, får man nøyaktig samme verdi for (usignert) kurvatur. Men, signert kurvatur er meningsløst her, som –F(x, y) = 0 er en gyldig implisitt ligning for samme parabelen, som gir motsatt fortegn for kurvatur.,

Frenet–Serret formler for fly curvesEdit

uttrykket av kurvatur I form av arc-lengde parametrization er i hovedsak de første Frenet–Serret formel

T ‘ ( s ) = κ ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} «(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}

hvor primtall se derivater med hensyn til buens lengde s, og N(s) er vanlig enhet vektor i retning av T'(s).

Som plane kurver har null torsjon, den andre Frenet–Serret formel gir den forbindelse

d N d s = − κ T = − κ d γ d s ., {\displaystyle {\begin{justert}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{justert}}}

For en generell parametrization av en parameter t, har man behov for uttrykk som involverer derivater med hensyn til t. Så dette er oppnådd ved å multiplisere med ds/dt derivater med hensyn til s, og en har, for noen skikkelig parametrization

N ‘( t ) = − κ ( t ) γ ‘ ( t ) . {\displaystyle \mathbf {N} «(t)=-\kappa (t t){\boldsymbol {\gamma }}»(t).}

---