Pythagorean Triple (Norsk)
Less…,
A Pythagorean triple is a triple of positive integers 
, 
, and 
such that a right triangle exists with legs 
and hypotenuse 
., Av Pytagoreisk teorem, dette tilsvarer å finne positive heltall 
, 
, og 
tilfredsstillende
 |
(1)
|
Den minste og mest kjente Pytagoreisk trippel er 
. Høyre trekant har disse side lengder er noen ganger kalt 3, 4, 5 trekant.,
Tomter poeng i 
-flyet slik at 
er et Pytagoreisk trippel er vist ovenfor for suksessivt større grensene. Disse plott inkluderer negative verdier av 
og 
, og er derfor symmetrisk om både x – og y-aksene.
på samme måte, tomter poeng i 
-flyet slik at 
er et Pytagoreisk trippel er vist ovenfor for suksessivt større grensene.,
Det er vanlig å vurdere bare primitive Pytagoreisk trippel (også kalt «redusert»tremannsrom) der 
og 
er relativt prime, siden andre løsninger kan være generert trivially fra primitive seg. Den primitive tripler er illustrert ovenfor, og det kan sees umiddelbart at den radielle linjer tilsvarende imprimitive tripler i den opprinnelige tomten er fraværende i denne figuren., For primitive løsninger, et av 
eller 
må være med, og den andre odd (Shanks 1993, s. 141), med 
alltid et oddetall.,=»7a4ddb31b8″>
Hall (1970) and Roberts (1977) prove that 
is a primitive Pythagorean triple iff
 |
(8)
|
where 
is a finite product of the matrices 
, 
, 
.,662c5″>
Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as
 |
(10)
|
for 
, which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case 
, 
).,
The early Greeks gave
 |
(11)
|
where 
and 
are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting 
and 
).
Let 
be a Fibonacci number., Then
 |
(12)
|
generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers 
, 
, and constructing the Fibonacci-like sequence 
with terms 
, 
, 
, 
, 
, …, generates distinct Pythagorean triples
 |
(13)
|
(Horadam 1961), where
 |
(14)
|
where 
is a Lucas number.
For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e., de to mindre tall) er alltid delelig med 12, og produktet av alle tre sidene er delelig med 60. Det er ikke kjent om det er to forskjellige tremannsrom å ha samme produkt. Eksistensen av to slike tripler tilsvarer en ikke-null-løsning til Diophantine ligningen
 |
(15)
|
(Fyr 1994, s. 188).,
For a Pythagorean triple (
, 
, 
),
 |
(16)
|
where 
is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc»>
(Robertson 1996).,
arealet av en trekant tilsvarende Pytagoreisk trippel 
er
 |
(20)
|
Fermat ‘ viste seg at en rekke av dette skjemaet kan aldri bli en squarenumber.,td>
The number of such triangles is then
 |
(22)
|
 |
(23)
|
Then
 |
(24)
|
(Beiler 1966, p., 116). Merk at 
iff 
er prime eller to ganger i prime. Først noen tall for 
, 2, … er 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,
for Å finne flere måter 
der et antall 
kan være hypotenuse av en primitiv høyre trekant, skrive sin primtallsfaktorisering som
 |
(25)
|
hvor 
s er på formen 
og 
s er på formen 
.,> as a hypotenuse is
 |
 |
 |
(29)
|
 |
 |
 |
(30)
|
(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, som sier at denne formelen gir antall ikke-primitive løsninger bare), der 
er summen av kvadrater funksjon., der 
kan enten være en etappe eller hypotenuse av en høyre-trekanten er gitt ved
 |
(32)
|
La antall tremannsrom med hypotenuse 
angi 
, antall tremannsrom med hypotenuse 
angi 
, og nummer av primitive tripler mindre enn 
angi 
., Then the following table summarizes the values for powers of 10.
 |
OEIS |  ,  , … |
 |
A101929 | 1, 50, 878, 12467, … |
 |
A101930 | 2, 52, 881, 12471, … |
 |
A101931 | 1, 16, 158, 1593, ..,. |
Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than 
satisfies
 |
(33)
|
(OEIS A086201).
There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d»>
Then the right triangle generated by each triple (
) has common area
 |
(40)
|
Right triangles whose areas consist of a single digit include 
(area of 6) and 
(area of 666666; Wells 1986, p., 89).
I 1643, Fermat ‘ utfordret Mersenne å finne et Pytagoreisk trilling hvis hypotenuse og summen av bein ble rutene.,
A related problem is to determine if a specified integer 
can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3, og 4 er ikke de områdene av enhver rasjonell-sidig høyre trekanter, men 5 er (3/2, 20/3, 41/6), som er 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case
 |
 |
 |
(47)
|
 |
 |
 |
(48)
|
(Koblitz 1993)., Det er ingen kjente generell metode for å avgjøre om det er en løsning for vilkårlig 
, men en teknikk utviklet av J. Tunnell i 1983 tillater visse verdier som skal utelukkes (Cipra 1996).