Snell»s law

Snell»s lov kan forklares på ulike måter.

Avledning fra Fermat ‘s principleEdit

Snell»s lov kan være avledet fra Fermat’ s prinsipp, som sier at lyset reiser banen som tar minst tid., Ved å ta den deriverte av optisk banelengde, er det stasjonære punktet er funnet å gi banen tatt av lys. (Det er situasjoner i lys bryter Fermat ‘ s prinsipp ved ikke å ta minst tid på banen, som i refleksjonen i en (sfærisk) speil.) I en klassisk analogi, er det området av lavere brytningsindeks er erstattet av en strand-området i høyere brytningsindeks ved sjøen, og den raskeste måten for en redningsmann på stranden for å få til en druknet person i sjøen er å kjøre langs en sti som følger Snell»s lov.,

Som vist i figuren til høyre, forutsetter refractive index av medium 1 og middels 2 er n 1 {\displaystyle n_{1}}, og n 2 {\displaystyle n_{2}} henholdsvis. Lyset kommer inn middels 2 middels 1 via punktet O.

Den fasen fart av lys i medium 1 og middels 2

v 1 = c / n 1 {\displaystyle v_{1}=c/n_{1}} og v 2 = c / n 2 {\displaystyle v_{2}=c/n_{2}} henholdsvis.,

c {\displaystyle c} er lysets hastighet i vakuum.

La T være den tiden det tar for lyset å reise fra punkt Q gjennom sak-til-punkt S.

T = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + l 2 − 2 l x + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}

der a, b, l og x er som angitt i den høyre figuren, der x er varierende parameter.,heta _{2}}{v_{2}}}} n 1 synd ⁡ θ 1 c = n 2 synd ⁡ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\synd \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\synd \theta _{2}}{c}}} n 1 synd ⁡ θ 1 = n 2 synd ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\synd \theta _{1}=n_{2}\synd \theta _{2}}

Avledning fra Huygens»s principleEdit

Alternativt, Snell»s lov kan utledes ved hjelp av forstyrrelser av alle mulige stier av lys bølge fra kilde til observatør—det resulterer i en destruktiv interferens overalt unntatt ytterpunkter av fasen (der forstyrrelser er konstruktiv)—som blir til faktiske stier.,

Avledning fra Maxwell»s EquationsEdit

en Annen måte å identifisere Snell»s Lov innebærer en anvendelse av generelle grensebetingelser av Maxwell ligninger for elektromagnetisk stråling.,θ 1 = n 2 k 0 synd ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\synd \theta _{1}=n_{2}k_{0}\synd \theta _{2}\,} n 1 synd ⁡ θ 1 = n 2 synd ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\synd \theta _{1}=n_{2}\synd \theta _{2}\,}

Vektor formEdit

cos ⁡ θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} v → r e f l e c t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflektere} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}

Dette gjenspeiles retning vektoren peker tilbake mot siden av overflaten der lyset kom fra.,{2}={\sqrt {1-(\synd \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v → r e f r a c t = ( n-1 n-2 ) l → + ( n-1 n-2 cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r a c t = r l → + ( r − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}

Eksempel:

l → = { 0.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , r = n-1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflektere} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.,771362\}}

cosinus-verdier kan lagres og brukes i Fresnel ligninger for arbeid med intensiteten av den resulterende stråler.