Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Marco Taboga, PhD
rozkład ciągłej zmiennej losowej można scharakteryzować za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa (pdf). Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmuje wartość w danym przedziale jest równa całce jego funkcji gęstości prawdopodobieństwa w tym przedziale, który z kolei jest równy obszar regionu w płaszczyźnie xy ograniczony osią x, pdf i pionowe linie odpowiadające granic przedziału.,
na przykład na obrazku poniżej niebieskiej linii znajduje się pdf normalnej zmiennej losowej, a obszar czerwonego regionu jest równy prawdopodobieństwu, że zmienna losowa przyjmuje wartość z zakresu -2 i 2.
definicja
poniżej znajduje się formalna definicja.
definicja funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej 
jest funkcją 
taką, że
dla dowolnego przedziału .,
zestaw wartości dla których jest nazywany wsparciem.,aby zintegrować funkcję gęstości prawdopodobieństwa w tym przedziale:
gęstość prawdopodobieństwa nie jest prawdopodobieństwem
ważne jest, aby zrozumieć zasadniczą różnicę między funkcją gęstości prawdopodobieństwa, która charakteryzuje rozkład ciągłej zmiennej losowej, a funkcją masy prawdopodobieństwa, która charakteryzuje rozkład dyskretnej zmiennej losowej (pamiętaj: zmienna losowa jest dyskretna, jeśli liczba wartości, które może przyjąć, jest policzalna, podczas gdy liczba wartości, które ciągła zmienna losowa może zmienna może przyjmować jest niepoliczalna)., Funkcja masy prawdopodobieństwa zmiennej dyskretnej jest funkcją , która daje, dla dowolnej liczby rzeczywistej , prawdopodobieństwo, że będzie równe . Przeciwnie, jeśli jest zmienną ciągłą, jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa oceniana w danym punkcie nie jest prawdopodobieństwem, że będzie równa ., W rzeczywistości prawdopodobieństwo to jest równe zero dla dowolnego ponieważ
gdzie jest dowolną prymitywną (lub nieokreśloną całką).
Jeśli jesteś zaskoczony tym drugim wynikiem, zalecamy przeczytanie wykładu o zdarzeniach z zerowym prawdopodobieństwem.
chociaż nie jest to prawdopodobieństwo, wartość pliku pdf w danym punkcie można podać prostą interpretację:
gdzie jest małym przyrostem.,
dowód, który mamy zamiar dać, nie jest rygorystyczny. Skupiamy się raczej na intuicji. Dla uproszczenia Zakładamy, że pdf jest funkcją ciągłą. Ściśle mówiąc, nie jest to konieczne, chociaż większość dokumentów PDF, które są spotykane w praktyce, jest ciągła(z definicji pdf musi być całkowalny; jednak podczas gdy wszystkie funkcje ciągłe są całkowalne, nie wszystkie funkcje całkowite są ciągłe)., Jeśli plik pdf jest ciągły i jest mały, to jest dobrze przybliżony przez dla dowolnego należącego do interwału 
. Wynika z tego, że 
w powyższej przybliżonej równości rozważamy prawdopodobieństwo, żebędzie równelub wartości należącej do małego przedziału w pobliżu. W szczególności rozważamy interwał ., Prawdopodobieństwo jest proporcjonalne do długości małego interwału, który rozważamy. Stała proporcjonalności jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa ocenianą w. Tak więc, im wyższa wartość pliku pdf jest w danym punkcie , tym większe jest prawdopodobieństwo, że przyjmie wartość w pobliżu .,
pojęcia pokrewne
pojęcia pokrewne to:
-
wspólna funkcja gęstości prawdopodobieństwa, która charakteryzuje rozkład ciągłego wektora losowego;
-
marginalna funkcja gęstości prawdopodobieństwa, która charakteryzuje rozkład podzbioru wpisów wektora losowego;
-
warunkowa funkcja gęstości prawdopodobieństwa, która jest plikiem pdf uzyskanym przez uwarunkowanie realizacji innej zmiennej losowej.,
więcej szczegółów
funkcje gęstości prawdopodobieństwa omówiono bardziej szczegółowo w wykładzie zatytułowanym zmienne losowe.
Czytaj dalej słownik
poprzedni wpis: prawdopodobieństwo wstępne
następny wpis: funkcja masy prawdopodobieństwa
jak przytoczyć
proszę przytoczyć jako: