Khan Academy nie obsługuje tej przeglądarki. [close]
ktoś z was przesłał ciekawy problem, więc pomyślałem, że go rozwiążę. Problem w tym, że mam grupę 30 osób, więc 30 osób w pokoju. Losowo wybrali 30 osób. A pytanie brzmi, co to jestprobability, że co najmniej 2 osoby mają takie same urodziny? To zabawne pytanie, ponieważ jest to wielkość wielu sal lekcyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej ktoś w klasie dzieli urodziny z kimś w klasie?, To również dobry sposób na wyrażenie. To jest to samo assaying, jakie jest prawdopodobieństwo, że ktoś dzieli się z kimkolwiek innym. Mogli podzielić się nim z 2 innymi osobami lub 4 innymi osobami w dniu urodzin. I na początku Ten problem wydaje się naprawdę trudny, ponieważ istnieje wiele okoliczności, które sprawiają, że to prawda. Mogę mieć dokładnie 2 osoby, które mają te same urodziny. Mogę mieć dokładnie 3 osoby, które mają te same urodziny. Mogę mieć dokładnie 29 osób, które mają te same urodziny i wszystkie z nich sprawiają, że to prawda, więc dodam prawdopodobieństwo każdej z tych okoliczności?, A potem dodać je i wtedy to staje się naprawdę trudne. I wtedy musiałbym powiedzieć, OK, czyje urodziny i ja porównuję? A ja bym miał kombinacje todo. To staje się naprawdę trudnym problemem, chyba że zrobisz coś bardzo prostego w rozwiązaniu problemu. To jest przeciwieństwo … pozwól mi narysować przestrzeń prawdopodobieństwa. Powiedzmy, że jest to wszystko z wyników. Pozwól, że narysuję grubszą linię. Więc powiedzmy, że wszystkie wyniki mojej przestrzeni prawdopodobieństwa. Więc to jest 100% wyników. Chcemy wiedzieć … pozwól, że narysuję to w kolorze, który nie będzie dla Ciebie obraźliwy., To nie wygląda tak wspaniale, ale w każdym razie. Powiedzmy, że to jest szansa, ten obszar tutaj… i nie wiem, jak duży to jest, jakoś to rozwiążemy. Powiedzmy, że jest to szansa, że ktoś dzieli urodziny przynajmniej z kimś innym. Co to za teren? Co to za zielona okolica? To znaczy, że jeśli są to wszystkie przypadki, w których ktoś dzieli się urodzinami z kimś innym, to są to wszystkie obszary, w których nikt nie dzieli się dniem urodzin z nikim. Albo można powiedzieć, że wszystkie 30 osób ma różne urodziny. To jest to, co”próbuje dowiedzieć się., Po prostu nazwę to zdolnością, którą ktoś dzieli. Nazwijmy to prawdopodobieństwem dzielenia się, prawdopodobieństwem s. Jeśli cały ten obszar to Obszar 1 lub 100%, ten zielony obszar tutaj, to będzie 1 minus p z s. to będzie 1 minus p z s. lub jeśli powiedzielibyśmy, że to jest szansa-lub inny sposób możemy to powiedzieć, w rzeczywistości jest to najlepszy sposób, aby o tym myśleć. Jeśli jest inaczej, takjest prawdopodobieństwo różnych urodzin. Jest to prawdopodobieństwo, że wszystkie 30 osób ma 30 różnych urodzin. Nikt się z nikim nie dzieli., Prawdopodobieństwo, że ktoś będzie z kimś innym plus prawdopodobieństwo, że nikt z nikim nie będzie miał urodzin, to musi być równe 1. Bo albo będziemy w tej sytuacji, albo będziemy w tej sytuacji. Albo można powiedzieć, że ” wyrównują się do 100%. Tak czy inaczej, 100% i 1 to ta sama liczba. Jest równa 100%. Więc jeśli dowiemy się, że wszyscy mają te same urodziny, możemy je zsumować ze 100. Zobaczmy. Możemy to przerobić., Prawdopodobieństwo, że ktoś ma urodziny z kimś innym, to jest równe 100% minus prawdopodobieństwo, że każdy ma odrębne, oddzielne urodziny. A powodem, dla którego to robię, jest to, że jak zaczynałem w filmie, jest to trudne do zrozumienia. Wiesz, mogę rozgryźć, że dwie osoby mają te same urodziny, pięć osób, i to staje się bardzo mylące. Ale tutaj, jeśli chciałem tylko ustalić prawdopodobieństwo, że każdy ma wyraźny dzień urodzin, to w rzeczywistości jest to znacznie łatwiejsze Prawdopodobieństwo do rozwiązania. Więc jaka jest prawdopodobieństwo, że każdy ma urodziny?, Pomyślmy o tym. Osoba pierwsza. Dla uproszczenia, niech ” simagine przypadku, że mamy tylko 2 osoby w pokoju. Co to jest prawdopodobnie, że mają różne urodziny? Zobaczmy, osoba pierwsza, ich dzień może być 365 dni z 365 dni w roku. Wiesz, kiedy są jej urodziny. A druga osoba, jeśli chcemy mieć pewność,że nie będzie miała tych samych urodzin, to ile dni może się urodzić druga osoba? Cóż, może się urodzić w każdym dniu, w którym ta osoba się nie urodziła. Więc jest 364 możliwości na 365., Więc jeśli masz 2 osoby, prawdopodobieństwo, że nikt nie rodzi się tego samego dnia … to jest tylko 1. Będzie równa 364/365. Co się stanie, jeśli będziemy mieli 3 osoby? Więc przede wszystkim pierwsza osoba może się urodzić w dowolnym dniu. Wtedy druga osoba może urodzić się na 364 możliwe dni z 365. A trzecia osoba, jakie jest prawdopodobieństwo, że trzecia osoba nie urodzi się na którymś z tych urodzin? Więc 2 dni są zajęte, więc prawdopodobieństwo wynosi 363/365. Pomnażasz je. Dostajesz 365 razy 36 … właściwie to powinieneś napisać to od nowa., Zamiast mówić,że jest to 1, napiszę to jako– licznik jest 365 razy 364 na 365 do kwadratu. Bo chcę, żebyś zobaczył wzór. Tutaj prawdopodobieństwo wynosi 365 razy 364 razy 363 na 365 do trzeciej potęgi. Tak więc, ogólnie rzecz biorąc, jeśli zrobisz to do 30, jeśli utrzymam ten proces dla 30 osób … prawdopodobieństwo, że nikt nie podzieli tego samego dnia będzie równe 365 razy 364 razy 363 … będę miał 30 terminów tutaj. Aż do czego? Aż do 336. To będzie 30 termów podzielonych przez 365 do 30 potęgi., I możesz po prostu wpisać to do swojego kalkulatora już teraz. To zajmie ci trochę czasu, aby wpisać w 30 numerów, a dostaniesz prawdopodobieństwo, że nie będzie jednego udziału w tych samych urodzinach z kimkolwiek innym. Ale zanim to zrobimy, pokażę Ci coś, co może Ci to trochę ułatwić. Czy jest jakiś sposób, abym mógł to wyrazić za pomocą faktorystów? Albo że mógłbym to matematycznie wyeksponować faktorykami? Pomyślmy o tym. 365 factorial to co? 365 razy równa się 365 razy 364 razy 363 razy-aż do 1. Pomnażasz się. To ogromna liczba., Teraz, jeśli chcę tylko 365 razy 364 w tym przypadku, muszę pozbyć się tych wszystkich numerów z powrotem tutaj. Mógłbym podzielić to przez te wszystkie liczby. Więc 363 razy 362 … aż do 1. / Align = „center” / 3,0633 365 factorial podzielony przez 363factorial jest zasadniczo to, ponieważ wszystkie te określenia anulować. Jest to więc równe 365factorial over 363factorial over 365 squared. I oczywiście, w tym przypadku,to niemądre martwić się faktorykami, ale przydaje się, gdy mamy coś większego niż dwa terminy tutaj., Tak więc zgodnie z tą samą logiką, to prawo będzie równe 365 czynnikowemu przez 362 czynnikowemu przez 365 do kwadratu. I właściwie, to tylko kolejny interesujący punkt. Skąd mamy to 365? Przepraszam, skąd wzięliśmy ten 363? 365 minus 2 to 363, prawda? A to ma sens, bo chcieliśmy tylko dwóch terminów. Chcieliśmy tu tylko dwa. Więc chcieliśmy podzielić przez afaktorial, że ” s dwa mniej. A więc mamy tylko dwie najlepsze kadencje., To jest również równe– można napisać to jako 365 czynnikowe podzielone przez 365 minus2 czynnikowe 365 minus 2 jest 363 czynnikowe i wtedy wystarczy znieść z tych dwóch terminów i to jest to, że tam. I tak samo, to prawo, ten licznik można by przepisać jako 365 factorialdivided przez 365 minus 3 — i mieliśmy 3 osoby — factorial. I to powinno mieć sens, prawda? To jest to samo co 365factorial– cóż 365 podzielony przez 3 jest 362factorial. I to jest równe 365 razy 364 razy 363 w dół. / Align = „left” / , I to anuluje Wszystko inne, a Ty zostaniesz z tym. I to jest to. Więc według tej samej logiki, ten toppart tutaj może być zapisany jako 365 factorial nad czym? 365 minus 30%. I zrobiłem to wszystko tylko po to, aby pokazać ci wzór, a ponieważ jest to bardzo łatwiejsze do wpisania w kalkulatorze, jeśli wiesz, gdzie jest przycisk czynnikowy. Więc zastanówmy się, jakie jest to całe prawdopodobieństwo. Włączmy Kalkulator, więc zróbmy licznik. 365 dzielone przez … co 365 minus 30? To 335., Podzielony przez 335 czynnikow i caly licznik. A teraz chcemy podzielić licznik przez 365 do 30 potęgi. Niech Kalkulator pomyśli i otrzymamy 0,2936. / Align = „center” / 2,2936 W rzeczywistości 37, jeśli zaokrąglone, co jest równe 29.37%. Dla przypomnienia, co robiliśmy przez cały czas, to było prawdopodobieństwo, że nikt nie będzie miał urodzin z nikim. To było prawdopodobieństwo, że każdy będzie miał różne urodziny od wszystkich innych., I powiedzieliśmy, cóż, prawdopodobieństwo, że ktoś dzieli urodziny z kimś innym, a może więcej niż jedną osobą, jest równe wszystkim możliwościom– rodzaj 100%, przestrzeń prawdopodobieństwa, minus prawdopodobieństwo, że nikt nie dzieli się urodzinami z nikim. Czyli 100% minus 29,37%. Albo w inny sposób można napisać, że ” s 1 minus 0.2937, który jest równy– więc jeśli chcę odjąć to od 1. 1 minus – to tylko odpowiedź. To oznacza 1 minus 0.29. Dostajesz 0,7063. Więc prawdopodobieństwo, że ktoś będzie miał urodziny z kimś innym wynosi 0,7063 … , Co stanowi około 70,6%. Co jest dość dobrym wynikiem, ponieważ jeśli masz 30 osób w pokoju, możesz powiedzieć: Och wow, jakie są szanse, że ktoś ma ten sam dzień urodzin, co ktoś inny? Jest dość wysoka. 70% czasu, jeśli masz grupę 30 osób, co najmniej 1 osoba dzieli urodziny z co najmniej jedną inną osobą w pokoju. Więc to niezły problem. I trochę schludny wynik w tym samym czasie. Do zobaczenia w następnym filmiku.