Krzywizna

intuicyjnie krzywizna opisuje dla dowolnej części krzywej, jak bardzo zmienia się kierunek krzywej na małej odległości (np. kąt w rad/m), więc jest miarą chwilowej szybkości zmiany kierunku punktu, który porusza się po krzywej: im większa krzywizna, tym większa szybkość zmiany. Innymi słowy, krzywizna mierzy jak szybko obraca się wektor styczny jednostki do krzywej (szybko pod względem położenia krzywej). W rzeczywistości można udowodnić, że ta chwilowa szybkość zmian jest dokładnie krzywizną., Dokładniej, Załóżmy, że punkt porusza się po krzywej ze stałą prędkością jednej jednostki, czyli położenie punktu P (s) jest funkcją parametru s, którą można traktować jako czas lub jako długość łuku od danego początku. Niech T (s) będzie jednostkowym wektorem stycznym krzywej w P(s), który jest również pochodną P(s) w odniesieniu do s. wtedy pochodna T(s) w odniesieniu do S jest wektorem normalnym dla krzywej i którego długość jest krzywizną.,

definicja krzywizny i jej różne charakterystyki wymagają, aby krzywa była stale różniczkowalna w pobliżu P, ponieważ ma styczną, która zmienia się w sposób ciągły; wymaga również, aby krzywa była dwukrotnie różniczkowalna w P, dla zapewnienia istnienia zaangażowanych granic i pochodnej T (s).

charakterystyka krzywizny pod względem pochodnej wektora stycznego jednostki jest prawdopodobnie mniej intuicyjna niż definicja pod względem okręgu oscylacyjnego, ale wzory do obliczania krzywizny są łatwiejsze do wydedukowania., Dlatego też, a także ze względu na jego zastosowanie w kinematyce, charakterystyka ta jest często podawana jako definicja krzywizny.

okrąg Oscylacyjny

historycznie krzywizna krzywej różniczkowalnej została zdefiniowana przez okrąg oscylacyjny, który jest okręgiem, który najlepiej przybliża krzywą w punkcie. Dokładniej, biorąc pod uwagę punkt P na krzywej, każdy inny punkt Q krzywej definiuje okrąg (lub czasami linię) przechodzący przez Q i styczny do krzywej w P. okrąg oscylacyjny jest granicą, jeśli istnieje, tego okręgu, gdy Q ma tendencję do P., Wówczas środek i promień krzywizny krzywej w punkcie P są środkiem i promieniem okręgu oscylacyjnego. Krzywizna jest odwrotnością promienia krzywizny. Oznacza to, że krzywizna jest

κ = 1 R, {\displaystyle \ kappa ={\frac {1} {R}},}

Gdzie R jest promieniem krzywizny (cały okrąg ma tę krzywiznę, można ją odczytać jako obrót 2π na długości 2nR).

ta definicja jest trudna do manipulowania i wyrażania w formułach. W związku z tym wprowadzono inne równoważne definicje.,

pod względem parametryzacji długości łuku

każda różniczkowalna krzywa może być parametryzowana pod względem długości łuku. W przypadku krzywej płaszczyznowej oznacza to istnienie parametryzacji γ(s) = (x(s), y (s)), gdzie x i y są funkcjami różniczkowalnymi o wartości rzeczywistej, których pochodne spełniają

γ γ '‖ = x '( S) 2 + y ' ( s) 2 = 1. {\displaystyle \ / {\boldsymbol {\gamma}} „\|={\sqrt {x „(s)^{2}+y ” (s)^{2}}}=1.,

oznacza to , że wektor styczny

T ( S ) = ( x '( s), y '( s ) ) {\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x”(s), y”(s){\bigr )}}

ma normę równą jedynce i dlatego jest jednostkowym wektorem stycznym.

jeśli krzywa jest dwukrotnie różniczkowalna, tzn. jeśli istnieją drugie pochodne X i y, to istnieje pochodna T (s). Wektor ten jest normalny dla krzywej, jego normą jest krzywizna κ (s)i jest zorientowany w kierunku środka krzywizny.,yle {\begin{aligned}&\mathbf {t} (s)={\boldsymbol {\gamma }}”(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\mathbf {t} „(s) \cdot\mathbf {T S)=0 \\&)^{2}}}\\\ end{aligned}}}

Ponadto, ponieważ promień krzywizny wynosi

R ( s ) = 1 κ ( s ) , {\displaystyle R(S)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

a środek krzywizny znajduje się na normalnej do krzywej, środkiem krzywizny jest punkt

C ( S ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 t ' ( s ) ., {\displaystyle \ mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma}} (s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} ” (s).{\displaystyle\mathbf {T} „(s) = K(S) \mathbf {N} (s) {\displaystyle K ( S) \ mathbf {N} (s)}}

Z k(s)= ± κ(s). Liczbę rzeczywistą k (s) nazywa się krzywizną zorientowaną lub podpisaną. Zależy to zarówno od orientacji płaszczyzny (definicja przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), jak i od orientacji krzywej podanej przez parametryzację., W rzeczywistości zmiana zmiennej s → – S zapewnia inną parametryzację długości łuku i zmienia znak k (s).

pod względem ogólnej parametryzacji

niech γ(t) = (x(T), y (T)) będzie właściwą parametryczną reprezentacją dwukrotnie różniczkowalnej płaszczyzny krzywej. Tutaj właściwe oznacza, że na polu definicji parametryzacji pochodna dy / dtis zdefiniowana, różniczkowalna i nigdzie równa wektorowi zerowemu.,

przy takiej parametryzacji krzywizna podpisana wynosi

k = x ' y „-y 'X”(x '2 + y' 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x”y”” – Y”x””} {\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

gdzie liczby pierwsze odnoszą się do pochodnych w odniesieniu do t. krzywizna κ jest zatem κ = / X ' y „− Y ' X „/ (x '2 + y' 2 ) 3 2 . {\displaystyle \ kappa ={\frac {/x ” y „”-y „x””|} {\left ({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.

można je wyrazić w sposób wolny od współrzędnych jako K = det ( γ ', γ”) γ γ '‖ 3 , κ = | det ( γ ', γ”) / γ γ ' γ 3 ., {\displaystyle k = {\frac {\det ({\boldsymbol {\gamma}}}”, {\boldsymbol {\gamma }}””)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}},\qquad \ kappa ={\frac {/\det ({\boldsymbol {\gamma}}}”, {\boldsymbol {\gamma }}””)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}}.}

te formuły mogą być wyprowadzone ze specjalnego przypadku parametryzacji długości łuku w następujący sposób. Powyższy warunek parametryzacji zakłada, że długość łuku s jest różniczkowalną funkcją monotoniczną parametru t i odwrotnie, że t Jest funkcją monotoniczną s., Co więcej, zmieniając, w razie potrzeby, s NA-s, można przypuszczać, że funkcje te rosną i mają dodatnią pochodną. Korzystając z zapisu sekcji poprzedzającej i reguły łańcuchowej, mamy

D γ D T = D s D t T , {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {t} ,}

i tak, przyjmując normę obu stron

d T D s = 1 γ γ’‖, {\displaystyle {\frac {dt}{DS}={\frac {1} {\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|}},}

gdzie pierwszy oznacza pochodną w odniesieniu do t.

krzywizna jest normą pochodnej T w odniesieniu do s., Korzystając z powyższego wzoru i reguły łańcuchowej pochodna ta i jej norma mogą być wyrażone tylko w kategoriach γ 'i γ”, przy czym parametr długości łuku s jest całkowicie wyeliminowany, dając powyższe wzory dla krzywizny.

wykres funkcji

wykres funkcji y = f(x) jest szczególnym przypadkiem parametryzowanej krzywej o postaci

x = T y = f ( t ) . {\displaystyle {\begin {aligned}x&=t\ \ y&=f(t).,\end{aligned}}}

ponieważ pierwsza i druga pochodna X to 1 i 0, poprzednie formuły upraszczają do

κ = | y „| ( 1 + y '2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y””|}{\left(1+{y”}^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}},}

dla krzywizny i do

k = y „(1 + y '2 ) 3 2, {\displaystyle k = {\frac {y””} {\left(1+{y”}^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}},}

dla podpisanej krzywizny.

w ogólnym przypadku krzywej znak krzywizny jest niejako arbitralny, gdyż zależy od orientacji krzywej., W przypadku wykresu funkcji istnieje naturalna orientacja poprzez zwiększenie wartości x. to sprawia, że znak krzywizny jest znaczący.

znak krzywizny jest taki sam jak znak drugiej pochodnej f. jeśli jest dodatnia, to Graf ma wklęsłość w górę, a jeśli jest ujemna, Graf ma wklęsłość w dół. Jest to zero, wtedy jeden ma punkt przegięcia lub punkt falowania.

gdy nachylenie wykresu (czyli pochodnej funkcji) jest małe, krzywizna podpisana jest dobrze przybliżona przez drugą pochodną., Dokładniej, używając notacji big O, mamy

k (x) = Y „+ O (y ' 2 ) . {\displaystyle k (x)=y „”+O \ left ({y”}^{2} \ right).}

często w fizyce i inżynierii przybliża się krzywiznę z drugą pochodną, na przykład w teorii wiązki lub do wyprowadzania równania falowego napiętego ciągu i innych zastosowań, w których występują małe nachylenia. Pozwala to często rozpatrywać jako układy liniowe, które inaczej są nieliniowe.,

współrzędne Biegunoweedytuj

jeśli krzywa jest zdefiniowana we współrzędnych biegunowych przez promień wyrażony jako funkcja kąta biegunowego, czyli R jest funkcją θ, to jej krzywizna wynosi

κ ( θ ) = | r 2 + 2 R '2 − R r” | ( r 2 + R '2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|R^{2}+2{R”}^{2}-r\,r””\right|}{\left(R^{2}+{R”}^{2}\Right)^{\frac {3}{2}}}}}

gdzie pierwsza odnosi się do różnicowania względem θ.,

wynika to ze wzoru na ogólne parametryzacje, biorąc pod uwagę parametryzację

x = R ( θ ) cos θ θ y = r ( θ ) sin θ θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \y&=r (\\theta )\sin \Theta \End{aligned}}}

implicit curveedit

κ = | f y 2 F X X − 2 F X F Y X Y + F X 2 F Y Y | ( F X 2 + F Y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \ kappa ={\frac {\left / F_ {y}^{2} F_ {xx}-2f_ {x} F_ {y} f_{XY}+F_ {x}^{2} F_ {YY}\right|} {\left (F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

krzywizna nie jest zdefiniowana, ponieważ zależy od orientacji krzywej, która nie jest określona przez równanie niejawne. Również zmiana F na –F nie zmienia krzywej, ale zmienia znak licznika, jeśli wartość bezwzględna jest pominięta w poprzednim wzorze.

punkt krzywej, w którym Fx = Fy = 0 jest punktem pojedynczym, co oznacza, że krzywa nie jest różniczkowalna w tym punkcie ,a tym samym krzywizna nie jest zdefiniowana (najczęściej punkt jest punktem przecięcia lub punktem zwrotnym).,

powyższy wzór na krzywiznę można wyprowadzić z wyrażenia krzywizny wykresu funkcji za pomocą twierdzenia funkcji implicit oraz faktu, że na takiej krzywej mamy

d y D x = − F x F y . {\displaystyle {\frac {dy} {dx}}=-{\frac {F_ {x}} {F_ {y}}}.}

Przykładyedytuj

na prostych przykładach można sprawdzić, czy różne formuły podane w poprzednich sekcjach dają ten sam wynik.

CircleEdit

wspólną parametryzacją okręgu o promieniu R jest γ(t) = (r cos T, R sin t)., Wzór na krzywiznę daje

k (t) = r 2 sin 2 ⁡ T + R 2 cos 2 ⁡ T (R 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sin 2 ⁡ t ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle k (t)={\frac {r^{2} \ sin ^{2} t + R^{2}\cos ^{2} T} {(R^{2}\cos ^{2} T+R^{2}\sin ^{2} t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1} {r}}.}

wynika, zgodnie z oczekiwaniami, że promień krzywizny jest promieniem okręgu, a środek krzywizny jest środkiem okręgu.

okrąg jest rzadkim przypadkiem, w którym parametryzacja długości łuku jest łatwa do obliczenia, ponieważ jest

γ ( S ) = ( R cos ⁡ S R , R sin ⁡ S r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac{s} {r}},r\sin {\frac{s} {r}} \ right).

jest parametryzacją długości łuku , ponieważ norma

γ '( s ) = ( − sin ⁡ S r, cos ⁡ S R ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}} ” (s)=\left (- \sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {S}{R}}\right)}

jest równa 1. Parametryzacja ta daje tę samą wartość dla krzywizny, ponieważ jest równa dzieleniu przez r3 zarówno w liczniku, jak i mianowniku w poprzednim wzorze.

ten sam okrąg można również zdefiniować za pomocą równania implicit F(x, y) = 0 z F(x, y) = x2 + y2 – r2., Wtedy, wzór dla krzywizny w tym przypadku daje

κ = | f y 2 F X X − 2 F X F y F X Y + F X 2 F Y Y | ( F X 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 R 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2f_{x}F_{y}f_{XY}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|} {\left(F_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{\frac {{3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}} {\left (4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1} {r}}.,\end{aligned}}}

ParabolaEdit

rozważmy parabolę y = ax2 + bx + c.

jest to wykres funkcji, z pochodną 2AX + b, a drugą pochodną 2A. tak więc krzywizna podpisana wynosi

k ( x ) = 2 a ( 1 + ( 2 A x + b ) 2) 3 2 . {\displaystyle k (x)={\frac {2A}{\left(1+(2ax+b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

ma znak a dla wszystkich wartości x., Oznacza to, że jeśli a > 0, wklęsłość jest wszędzie skierowana w górę; Jeśli a < 0, wklęsłość jest skierowana w dół; dla a = 0 krzywizna jest wszędzie równa zeru, potwierdzając, że parabola degeneruje się do linii w tym przypadku.

krzywizna (niepodpisana) jest maksymalna dla x = – b/2A, czyli w punkcie stacjonarnym (pochodna zerowa) funkcji, która jest wierzchołkiem paraboli.

rozważmy parametryzację γ (t) = (T, at2 + bt + c) = (x, y). Pierwsza pochodna x wynosi 1, a druga zero., Podstawianie do wzoru dla ogólnych parametryzacji daje dokładnie taki sam wynik jak powyżej, z X zastąpionym przez t. jeśli użyjemy liczb pierwszych dla pochodnych w odniesieniu do parametru t.

ta sama parabola może być również zdefiniowana przez niejawne równanie F(x, y) = 0 z F(X, y) = ax2 + bx + c – y. jako Fy = -1 i Fyy = Fxy = 0, otrzymamy dokładnie taką samą wartość dla (niepodpisanej) krzywizny. Jednak krzywizna podpisana jest tutaj bez znaczenia, ponieważ-F (x, y) = 0 jest poprawnym równaniem implicit dla tej samej paraboli, która daje przeciwny znak dla krzywizny.,

wzory Freneta–Serretaedytuj

wyrażenie krzywizny w parametryzacji długości łuku jest zasadniczo pierwszym wzorem Freneta-Serreta

T ' ( S ) = κ ( S ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} „(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (S),}

gdzie liczby pierwsze odnoszą się do pochodnych w odniesieniu do długości łuku s, A N(s) wektor jednostkowy w kierunku t'(s).

ponieważ krzywe planarne mają zerową skręcalność, drugi wzór Freneta–Serreta podaje relację

d N D s = − κ t , = − κ D γ D s ., {\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {d \ mathbf {N}} {ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}}

dla ogólnej parametryzacji przez parametr t, potrzebne są wyrażenia obejmujące pochodne w odniesieniu do t. ponieważ są one otrzymywane przez pomnożenie przez DS / dt pochodnych w odniesieniu do s, mamy, dla każdej właściwej parametryzacji

n '(t) = – κ ( t ) γ ' ( t ) . {\displaystyle \ mathbf {N} „(t)= – \ kappa (t) {\boldsymbol {\gamma}} ” (t).}

---