Liczba całkowita
czerwone punkty reprezentują uporządkowane pary liczb naturalnych. Połączone czerwone punkty są klasami równoważności reprezentującymi niebieskie liczby całkowite na końcu linii.
w nauczaniu w szkole podstawowej liczby całkowite są często intuicyjnie definiowane jako (dodatnie) liczby naturalne, zero i negacje liczb naturalnych., Jednak ten styl definicji prowadzi do wielu różnych przypadków (każda operacja arytmetyczna musi być zdefiniowana na każdej kombinacji typów liczb całkowitych) i sprawia, że żmudne jest udowodnienie, że liczby całkowite są zgodne z różnymi prawami arytmetyki. Dlatego we współczesnej matematyce set-theoretic często stosuje się bardziej abstrakcyjną konstrukcję pozwalającą na definiowanie operacji arytmetycznych bez rozróżniania przypadków. Liczby całkowite mogą więc być formalnie skonstruowane jako klasy równoważności uporządkowanych par liczb naturalnych (a, b).,
intuicja jest taka, że (A, b) oznacza wynik odejmowania b od a. aby potwierdzić nasze oczekiwanie, że 1 − 2 i 4 − 5 oznaczają tę samą liczbę , definiujemy relację równoważności ~ dla tych par z następującą regułą:
( a , b) ∼ (c,d) {\displaystyle (A,b)\sim (c, d)}
dokładnie wtedy, gdy
A + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+c.}
dodawanie i mnożenie liczb całkowitych można zdefiniować w kategoriach równoważnych operacji na liczbach naturalnych; używając do oznaczenia klasy równoważności mającej (a,b) jako element, mamy:
+:= . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \ cdot}.}
negacja (lub addytywna odwrotność) liczby całkowitej jest otrzymywana przez odwrócenie kolejności pary:
−:=. {\displaystyle -:}.}
stąd odejmowanie można zdefiniować jako dodanie odwrotności addytywnej:
-:=. {\displaystyle -:}.{\displaystyle {div id=”547180cb69″>
{\displaystyle <} wtedy i tylko wtedy, gdy A + d < b + c . {\displaystyle a + d<b + c.,}
łatwo zweryfikować, że definicje te są niezależne od wyboru przedstawicieli klas równoważności.
zatem oznacza się przez
{A − B , if a ≥ b − ( b − a ) , if a < b . {\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\MBOX{if }}a<B.\end{cases}}
Jeśli liczby naturalne są identyfikowane z odpowiadającymi im liczbami całkowitymi (przy użyciu osadzenia wspomnianego powyżej), konwencja ta nie tworzy dwuznaczności.,
ta notacja odzyskuje znaną reprezentację liczb całkowitych jako {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
niektóre przykłady to:
0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{aligned}}}
w informatyce teoretycznej inne podejścia do budowy liczb całkowitych są używane przez automatyczne udowodnienia twierdzeń i silniki do przepisywania terminów.Liczby całkowite są reprezentowane jako terminy algebraiczne zbudowane za pomocą kilku podstawowych operacji (np. zero, succ, pred) i, być może, za pomocą liczb naturalnych, które zakłada się, że są już skonstruowane (np. za pomocą podejścia Peano).
istnieje co najmniej dziesięć takich konstrukcji liczb całkowitych., Konstrukcje te różnią się pod wieloma względami: liczbą podstawowych operacji użytych do budowy, liczbą (zwykle od 0 do 2) i typami argumentów akceptowanych przez te operacje; obecnością lub brakiem liczb naturalnych jako argumentów niektórych z tych operacji oraz faktem, że operacje te są wolnymi konstruktorami lub nie, tzn. że ta sama liczba całkowita może być reprezentowana za pomocą tylko jednego lub wielu terminów algebraicznych.,
technika budowy liczb całkowitych przedstawiona powyżej w tej sekcji odpowiada szczególnemu przypadkowi, w którym istnieje jedna podstawowa para operacji (x, y) {\displaystyle (X, y)}, która przyjmuje jako argumenty dwie liczby naturalne x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} i zwraca liczbę całkowitą (równą x − y {\displaystyle x-y}). Operacja ta nie jest wolna, ponieważ liczbę całkowitą 0 można zapisać jako pair(0,0), pair(1,1), pair(2,2), itd., Ta technika konstrukcji jest wykorzystywana przez asystenta proof, jednak wiele innych narzędzi wykorzystuje alternatywne techniki budowlane, szczególnie te oparte na darmowych konstruktorach, które są prostsze i mogą być efektywniej wdrażane w komputerach.