Prawo Snella

prawo Snella można wyprowadzać na różne sposoby.

wyprowadzenie z zasady Fermata

prawo Snella może być wyprowadzone z zasady Fermata, która mówi, że światło przemierza ścieżkę, która zajmuje najmniej czasu., Biorąc pochodną długości ścieżki optycznej, punkt stacjonarny znajduje się dając ścieżkę pobraną przez światło. (Istnieją sytuacje, w których światło łamie zasadę Fermata, nie wybierając najmniejszej ścieżki czasowej, jak w odbiciu w zwierciadle (sferycznym).) W klasycznej analogii obszar o niższym współczynniku załamania jest zastępowany przez plażę, obszar o wyższym współczynniku załamania przez morze, a najszybszym sposobem na dotarcie ratownika na plaży do tonącego w morzu jest bieganie ścieżką zgodną z prawem Snella.,

jak pokazano na rysunku po prawej stronie, Załóżmy, że współczynnik załamania światła medium 1 i medium 2 wynoszą odpowiednio n 1 {\displaystyle n_{1}} i n 2 {\displaystyle n_{2}}. Światło wchodzi do medium 2 od medium 1 przez punkt O.

prędkości fazowe światła w medium 1 i medium 2 wynoszą odpowiednio

v 1 = c / n 1 {\displaystyle v_{1} = C / n_{1}} I V 2 = C / N 2 {\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}.,

C {\displaystyle c} jest prędkością światła w próżni.T = x 2 + a 2 V 1 + B 2 + ( l − x ) 2 V 2 = x 2 + a 2 V 1 + b 2 + l 2 − 2 l X + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(L-x)^{2}}} {V_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}} {v_{1}}}+{\frac {\sqrt {B^{2}+L^{2}-2LX+X^{2}}} {V_{2}}}}}}

Gdzie a, b, l i X są oznaczone na rysunku po prawej stronie, x jest zmiennym parametrem.,heta _{2}}{v_{2}}}} n 1 sin θ θ 1 c = n 2 sin θ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{C}}} n 1 sin θ θ 1 = n 2 sin θ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}

wyprowadzenie z zasady huygensaedita

alternatywnie, prawo snella może być wyprowadzone za pomocą interferencji wszystkich możliwych ścieżek fali świetlnej od źródła do obserwatora—skutkuje to destrukcyjną interferencją wszędzie poza skrajnościami fazy (gdzie interferencja jest konstruktywna)—które stają się rzeczywistymi ścieżkami.,

wyprowadzenie z równań Maxwella

innym sposobem wyprowadzenia prawa Snella jest zastosowanie ogólnych warunków brzegowych równań Maxwella dla promieniowania elektromagnetycznego.,θ 1 = n 2 do 0 sin ⁡ θ 2 {\właściwości wyświetlania stylu wartość P{1}k_{0}\sin \theta _{1}=p{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,} N 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\właściwości wyświetlania stylu wartość P{1}\sin \theta _{1}=p{2}\sin \theta _{2}\,}

wektor formEdit

dla elementu

i cos ⁡ θ 1 = − n → ⋅ l → {\właściwości wyświetlania stylu wartość \bo \theta _{1}=-{\WMC {n}}\cDOT na {\WMC {l}}} w → r e f l e K t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\właściwości styl wyświetlania wartości {\WMC {w}}_{\mathrm {odbicia} }={\WMC {l}}+2\cos \theta _{1}{\WMC {n}}}

to odzwierciedla kierunek wektora punktu w kierunku strony powierzchni, gdzie światło pochodzi od.,{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v → R e f R A c T = ( n 1 N 2 ) l → + ( n 1 N 2 cos θ θ 1 − cos θ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {V}}_{\mathrm {refract}}} =\left({\frac {n_{1}} {n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}} {n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\Right){\vec {n}}} v → r e f r A C T = R L → + ( R C − 1 − R 2 ( 1 − C 2 ) ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract}} =r{\vec {l}}+\left(RC-{\sqrt {1-R^{2}\Left(1-C^{2}\right)}}\right){\vec {N}}}

przykład:

l → = { 0.,707107, – 0.707107}, n → = { 0, 1}, r = n 1 N 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac{n_{1}} {n_ {2}}}=0.9} c = cos θ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos θ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c= \ cos \ theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-R^{2}\left(1-C^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f L e c T = { 0.707107 , 0.707107 } , v → R E f R a c T = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refract}} = \ {0.636396, -0.,771362\}}

wartości cosinusa można zapisać i wykorzystać w równaniach Fresnela do obliczenia intensywności promieni wynikowych.