Pythagorean Triple (Polski)

A Pythagorean triple is a triple of positive integers , , and such that a right triangle exists with legs and hypotenuse ., Według twierdzenia Pitagorasa jest to równoważne znajdowaniu liczb całkowitych dodatnich , I spełniających

najmniejszy i najbardziej znany Trójnik pitagorejski to. Trójkąt prostokątny o tych długościach bocznych jest czasami nazywany trójkątem 3, 4, 5.,

wykresy punktów w-płaszczyzna taka, że jest trójką pitagorejską są pokazane powyżej dla kolejno większych granic. Wykresy te zawierają wartości ujemne I , a zatem są symetryczne względem osi x i Y.

podobnie, wykresy punktów w-płaszczyzna taka, że jest trójką pitagorejską są pokazane powyżej dla kolejno większych granic.,

Zwykle rozważa się tylko prymitywne trójki pitagorejskie (zwane również „zredukowanymi”trójkami), w których I są stosunkowo pierwsze, ponieważ inne rozwiązania mogą być generowane trywialnie z prymitywnych. Prymitywne trójki są zilustrowane powyżej i od razu widać, że promieniste linie odpowiadające imprimitywnym trójkom w oryginalnym wykresie są nieobecne na tym rysunku., W przypadku prymitywnych rozwiązań jedno z lub musi być parzyste, a drugie nieparzyste (Shanks 1993, str. 141), z zawsze nieparzyste. ,=”7a4ddb31b8″>

Hall (1970) and Roberts (1977) prove that is a primitive Pythagorean triple iff

(8)

where is a finite product of the matrices , , .,662c5″>

Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as

(10)

for , which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case , ).,

The early Greeks gave

(11)

where and are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting and ).

Let be a Fibonacci number., Then

(12)

generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers , , and constructing the Fibonacci-like sequence with terms , , , , , …, generates distinct Pythagorean triples

(13)

(Horadam 1961), where

(14)

where is a Lucas number.

For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e.,, dwie mniejsze liczby) jest zawsze podzielne przez 12, a iloczyn wszystkich trzech stron jest podzielny przez 60. Nie wiadomo, czy istnieją dwa różne potrójne posiadające ten sam produkt. Istnienie dwóch takich trójek odpowiada niezerowemu rozwiązaniu równania Diofantynowego

(15)

(Guy 1994, str. 188).,

For a Pythagorean triple (, , ),

(16)

where is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc”>

(Robertson 1996).,

obszar trójkąta odpowiadający potrójnej Trójce Pitagorasa jest

(20)

FERMAT udowodnił, że liczba w tej postaci nigdy nie może być liczbą kwadratową.,td>

The number of such triangles is then

(22)

(23)

Then

(24)

(Beiler 1966, p., 116). Zauważ, że iff jest prime lub dwa razy prime. Kilka pierwszych liczb dla , 2, … są 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,

aby znaleźć liczbę sposobów , w których liczba może być przeciwprostokątną prymitywnego trójkąta prostokątnego, napisz jego faktoryzację jako

(25)

gdzie s mają postać I s mają postać .,> as a hypotenuse is

			(29)
			(30)

(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, który stwierdza, że wzór ten podaje tylko liczbę Nie-prymitywnych rozwiązań), gdzie jest sumą funkcji kwadratów., w którym może być noga lub przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest podana przez

(32)

niech liczba potrójnych z przeciwprostokątną będzie oznaczona , liczba potrójnych z przeciwprostokątną iv id

być oznaczony , a liczba prymitywnych potrójnych mniej niż być oznaczony ., Then the following table summarizes the values for powers of 10.

	OEIS	, , …
	A101929	1, 50, 878, 12467, …
	A101930	2, 52, 881, 12471, …
	A101931	1, 16, 158, 1593, ..,.

Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than satisfies

(33)

(OEIS A086201).

There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d”>

Then the right triangle generated by each triple () has common area

(40)

Right triangles whose areas consist of a single digit include (area of 6) and (area of 666666; Wells 1986, p., 89).

w 1643 r.FERMAT wyzwał Mersenne ' a do znalezienia Trójprostka Pitagorejskiego, którego przeciwprostokątna i suma nóg były kwadratami.,

A related problem is to determine if a specified integer can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3 i 4 nie są obszarami trójkątów prawostronnych, ale 5 jest (3/2, 20/3, 41/6), podobnie jak 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case

			(47)
			(48)

(Koblitz 1993)., Nie jest znana ogólna metoda określania, czy istnieje rozwiązanie dla dowolnego , ale technika opracowana przez J. Tunnella w 1983 roku pozwala na wykluczenie pewnych wartości (Cipra 1996).