The Epsilon Calculus (Polski)

Overview

na przełomie wieków David Hilbert i Henri Poincaré byli uznawani za dwóch najważniejszych matematyków swojej generacji. Zakres zainteresowań matematycznych Hilberta był szeroki i obejmował podstawy matematyki: jego fundacje geometrii zostały opublikowane w 1899 roku, a z listy pytań postawionych Międzynarodowemu Kongresowi matematyków w 1900 roku, trzy dotyczyły wyraźnie fundamentalnych kwestii.,

Po opublikowaniu paradoksu Russella Hilbert wygłosił przemówienie na trzecim Międzynarodowym Kongresie matematyków w 1904 roku, gdzie po raz pierwszy naszkicował swój plan, aby zapewnić rygorystyczne podstawy matematyki za pomocą dowodów składniowych. Ale nie powrócił do tematu na poważnie aż do 1917 roku, kiedy rozpoczął serię wykładów na temat podstawmatematyki z pomocą Paula Bernaysa., Chociaż Hilbert był pod wrażeniem pracy Russella i Whiteheada w ich PrincipiaMathematica, stał się przekonany, że logiczna próba przekształcenia matematyki w logikę nie może się udać, w szczególności ze względu na nieinteligentny charakter ich aksjomatu redukcyjności. W tym samym czasie uznał intuicjonistyczne odrzucenie prawa zamkniętego środka za niedopuszczalne dla matematyki. Dlatego też, aby rozwiać obawy związane z odkryciem paradoksów logiczno-teoretycznych, potrzebne było nowe podejście, aby uzasadnić nowoczesne metody matematyczne.,

latem 1920 roku Hilbert sformułował takie podejście. Po pierwsze,nowoczesne metody matematyczne miały być reprezentowane w formalnych dedukcjach. Po drugie, te systemy formalne miały być udowodnione składniowo, nie poprzez wykazanie modelu lub zmniejszenie ich spójności do innego systemu, ale przez bezpośredni argument metamatematyczny o wyraźnym, „skończonym” charakterze. Podejście to stało się znane jako program Hilberta. Rachunek epsilona miał stanowić pierwszy składnik tego programu, podczas gdy jego metoda substytucji epsilona miała dostarczać tę drugą.,

rachunek epsilona jest, w swojej najbardziej podstawowej formie, rozszerzeniem logiki predykatu pierwszego rzędu z „operacją epsilona”, która wybiera, dla każdej prawdziwej formuły egzystencjalnej, świadka kwantyfikatora existencjalnego. Rozszerzenie jest konserwatywne w sensie, że nie dodaje żadnych nowych konsekwencji pierwszego rzędu. Ale odwrotnie, kwantyfikatory można zdefiniować w kategoriach epsilonów, logikę sofirst-order można zrozumieć w kategoriach kwantyfikatorów-freereasoning z udziałem operacji epsilon. To właśnie ta ostatnia cecha sprawia, że rachunek jest wygodny w celu udowodnieniakonsystencja., Odpowiednie rozszerzenia rachunku epsilona sprawiają, że możliwe jest osadzenie silniejszych, kwantyfikacyjnych teorii liczb i zestawów w obliczeniach wolnych od kwantyfikatorów. Hilbert oczekiwał, że będzie możliwe wykazanie spójności takich rozszerzeń.

The Epsilon Calculus

w swoim wykładzie w Hamburgu w 1921 (1922) Hilbert po raz pierwszy przedstawił ideę wykorzystania takiej operacji do radzenia sobie z zasadą zamkniętego środka w formalnym systemie arytmetyki., Idee te zostały rozwinięte w rachunku epsilona i podstawieniu epsilona w serii wykładów w latach 1921-1923, a także w dziele Hilberta (1923). Ostateczną prezentację Epsilon-Calculus można znaleźć w dysertacji Wilhelma Ackermanna (1924).

w tej sekcji opiszemy wersję rachunku odpowiadającą logice pierwszego rzędu, natomiast rozszerzenia do pierwszego i drugiego rzędu zostaną opisane poniżej.

niech \(L\) będzie językiem pierwszego rzędu, czyli listą symboli stałych, funkcji i Relacji z podanymi arytmetykami., Zbiór terminów epsilon i zbiór formuł \(L\) są definiowane jednocześnie w następujący sposób:

substytucja oraz pojęcia zmiennej wolnej i związanej są definiowane w zwykły sposób; w szczególności zmienna \(x\) staje się związana w termie \(\varepsilon x a\). Zamierzona interpretacja jest taka, że\(\varepsilon x A\) oznacza pewne\ (x\) spełniające \(a\), jeśli istnieje., Tak więc terminy epsilon są regulowane przez następujący aksjomat (aksjomat Hilberta „transfinite”): \ ponadto rachunek epsilona zawiera kompletny zestaw aksjomatów rządzących klasycznymi koneksjami i aksjomaty rządzące symbolem równości.Jedyne Zasady rachunku są następujące:

• Modus ponens
• Podstawienie: from \(a(x)\), conclude \(a(t)\), for any term\(t.,\)

wcześniejsze formy rachunku epsilona (takie jak przedstawione w 1923) używają podwójnej formy operatora epsilona, w której \ (\varepsilon x a\) Zwraca wartość \ (a (x)\). Powyższa wersja została wykorzystana w dysertacji Ackermanna (1924) i stała się standardem.

zauważ, że właśnie opisany rachunek jest kwantyfikatorowy. Kwantyfikatory mogą być zdefiniowane w następujący sposób: \ zwykłe aksjomaty i reguły kwantyfikatorów mogą być wyprowadzone z nich, więc definicje służą do osadzenia logiki pierwszego rzędu w rachunku epsilona., Nie jest to jednak prawda: nie każda formuła w epsiloncalculusie jest obrazem zwykłej wymiernej formuły pod tym względem. Stąd rachunek epsilona jest bardziej ekspresyjny niż rachunek predykcyjny, ponieważ terminy epsilona można łączyć na bardziej złożone sposoby niż kwantyfikatory.

The Epsilon Theorems

drugi tom Hilberta i Bernaysa Grundlagen derMathematik (1939) zawiera opis wyników rachunku epsilona, które zostały udowodnione do tego czasu., Obejmuje todyskusję pierwszego i drugiego twierdzenia epsilona z zastosowaniem logiki pierwszego rzędu, metodę substytucji epsilona dla arytmetyki z indukcją otwartą oraz rozwój analizy (tj. arytmetyki drugiego rzędu) z rachunku epsilona.

pierwsze i drugie twierdzenie epsilona są następujące:

w pierwszym twierdzeniu epsilona, „quantifier-free predicatelogic” ma na celu włączenie powyższej zasady substytucji, więc aksjomaty bez kwantyfikatorów zachowują się jak ich uniwersalne zamknięcia., Ponieważ rachunek epsilona obejmuje logikę pierwszego rzędu, pierwsze twierdzenie epsilona zakłada, że każdy objazd przez logikę predykatu pierwszego rzędu używaną do stworzenia twierdzenia wolnego od kwantyfikatora z aksjomatów wolnych od kwantyfikatora może być uniknięty. Drugie twierdzenie epsilona pokazuje, że można również uniknąć wykorzystania rachunku epsilona do wyprowadzenia twierdzenia w języku rachunku predykatów z aksjomatów w języku rachunku predykatów.,

ogólniej, pierwsze twierdzenie epsilona zakłada, że kwantyfikatory i epsilony można zawsze wyeliminować z dowodu formuły wolnej od aquantifiera z innych formuł wolnych od kwantyfikatorów. Jest to szczególnie ważne dla programu Hilberta, gdyż w matematyce rolę elementów idealnych pełnią Jeśli formula_10 są zgodne z „rzeczywistą” częścią teorii matematycznej, pierwsze twierdzenie epsilona pokazuje, że ideały można wyeliminować z dowodów twierdzeń rzeczywistych, pod warunkiem, że aksjomaty są również twierdzeniami rzeczywistymi.,

ta idea jest precyzyjna w pewnym ogólnym twierdzeniu o konsystencji, które Hilbert i Bernays wywodzą się z pierwszego twierdzenia epsilona, które głosi: niech \(F\) będzie dowolnym systemem formalnym, który wynika z Rachunku Predykatów przez dodanie stałych, funkcji i symboli predykatowych oraz prawdziwych aksjomatów, które są kwantyfikatorami andepsilon – free, i załóżmy, że prawda wzorów atomowych w nowym języku jest definiowalna. Wtedy \(F\) jest spójna w silnym sensie, że każdy wymierny kwantyfikator – a formuła wolna od epsilonu jest prawdziwa.,Hilbert i Bernays używają tego twierdzenia do uzyskania skończonej konsystencji geometrii elementarnej (1939, s. 1.4).

trudność w podawaniu dowodów spójności dla arytmetyki i analizy polega na rozszerzeniu tego wyniku na przypadki, w których aksjomaty zawierają elementy idealne, tj. terminy epsilon.

Czytaj dalej Oryginalne źródła dotyczące obliczeń epsilona i twierdzeń epsilona (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939)pozostają dostępne tylko w języku niemieckim. Leisenring 1969 jest relatywnie nowoczesnym wstępem do rachunku epsilona w języku angielskim.,Pierwsze i drugie twierdzenie epsilona zostały szczegółowo opisane w Zach2017. Moser & Oryginalne dowody są podane dla aksjomatycznychprezentacje rachunku epsilona. Maehara w 1955 roku była pierwszą metodą obliczania sekwencyjnego z terminami epsilon. Pokazał, jak udowodnić drugie twierdzenie epsilona za pomocą eliminacji cięcia, a następnie wzmocnił twierdzenie, aby włączyć schemat rozszerzalności (Maehara 1957). Baaz et al. 2018 podaj ulepszoną wersję twierdzenia firstepsilon., Poprawki błędów w literaturze (w tym książki leisenringa) można znaleźć w Flannagan 1975; Ferrari 1987;i Yasuhara 1982. Odmiana rachunku epsilona oparta na Skolemfunkcjach, a zatem zgodna z logiką pierwszego rzędu, została opisana w Davisie & Fechter 1991.

twierdzenie Herbranda

właśnie opisana wersja twierdzenia Herbranda pochodzi z rozszerzonego pierwszego twierdzenia Epsilona Hilberta i Bernaysa., Stosując metody związane z dowodem drugiego twierdzenia epsilona, Hilbert i Bernays uzyskali jednak lepszy wynik, który, podobnie jak oryginalne sformułowanie Herbranda,dostarcza więcej informacji. Aby zrozumieć dwie części teorii, warto rozważyć konkretny przykład. Niech \(A\) będzie formulą

\ Gdzie\ (B\) jest kwantyfikatorem wolnym. Negacja \(A\) jest równoważna \ przez Skolemizowanie, tzn., używając symboli funkcyjnych, aby świadczyć o kwantyfikatorach egzystencjalnych, otrzymujemy\ biorąc negację tego, widzimy, że oryginalna Formula jest „równoważna” \

gdy odnosimy się do instancji macierzy \(A^H\), otrzymujemy wzór, który otrzymuje się przez zastąpienie terminów w rozszerzonym języku w macierzy \ (A^H\). Możemy teraz stwierdzić sformułowanie Hilberta Andbernaysa

twierdzenia Herbranda można również uzyskać za pomocą cuteliminacji, za pomocą „twierdzenia Midsequent” Gentzena.,”Jednak dowód z użyciem drugiego twierdzenia epsilona ma historyczną opinię, że jest pierwszym kompletnym i poprawnym dowodem twierdzenia herbranda. Co więcej,jest to rzadko uznawane, podczas gdy dowód oparty na eliminacji przecięcia zapewnia Wiązanie na długości dysjunkcji Herbranda tylko jako funkcja rangi przecięcia i złożoności formuł przecięcia w dowodzie, długość uzyskana z dowodu opartego na rachunku epsilona zapewnia Wiązanie jako funkcja liczby zastosowań aksjomatu transfinitu oraz rangi i stopnia pojęć epsilona występujących w tym dowodzie., Innymi słowy, długość dysjunkcji Herbranda zależy tylko od złożoności podstawników, a np. wcale nie od struktury podstawników czy długości podstawników.

wersja twierdzenia Herbranda podana na początku tej sekcji jest zasadniczo szczególnym przypadkiem (2), w którym formula_1 \(A\) jest egzystencjalna. W świetle tego szczególnego przypadku(1) jest równoważny z twierdzeniem, że formuła \(A\) jest pochodna w logice predykatu pierwszego rzędu wtedy i tylko wtedy, gdy \(A^H\) jest., Twierdzenie o tej równoważności jest znacznie łatwiejsze do udowodnienia; w rzeczywistości forany wzór \(A, A \rightarrow A^H\) jest wyprowadzalny w logice predykatu.Udowodnienie odwrotnego kierunku polega na wyeliminowaniu dodatkowych symboli funkcji w \(A^H\) i jest znacznie trudniejsze, zwłaszcza w przypadku równości. To tutaj metody epsilon odgrywają centralną rolę.

uderzające zastosowanie twierdzenia Herbranda i pokrewnych metod znajduje się w analizie twierdzenia Rotha (1989). Aby zapoznać się zdyskusją przydatnych rozszerzeń metod Herbranda, zobacz Sieg 1991.,Modelowo-teoretyczna wersja tego jest omawiana w Avigad 2002a.

metoda podstawienia Epsilona i arytmetyka

jak wspomniano powyżej, historycznie, głównym interesem w epsiloncalculus był jako środek do uzyskania dowodów spójności.Wykłady Hilberta z lat 1917-1918 zauważają już, że on może łatwo udowodnić spójność logiki propositionalnej, przyjmując zmienne propositionalne i formuły, aby przechodziły przez wartości prawdy 0 i 1, i interpretując koneksje logiczne jako odpowiadające im operacje arytmetyczne., Podobnie można udowodnić spójność logiki (lub czystego rachunku epsilona), specjalizując się w interpretacjach, w których wszechświat dyskursu ma jeden element.Rozważania te sugerują następujący, bardziej ogólny program poprawy spójności:

• Rozszerz rachunek epsilona w taki sposób, aby reprezentował większe dziedziny matematyki.
• Pokaż, używając metod finitarnych, że każdy dowód w rozszerzonym systemie ma spójną interpretację.,

Załóżmy, że chcemy pokazać, że powyższy system jest spójny; innymi słowy, chcemy pokazać, że nie ma dowodu na wzór \(0 =1\). Przesuwając wszystkie podstawienia do aksjomatów i zastępując zmienne swobodne stałą 0, wystarczy pokazać, że nie ma dowodu \(0 = 1\) ze skończonego zbioru domkniętych instancji aksjomatów. W tym celu wystarczy pokazać, że biorąc pod uwagę dowolny skończony zbiór domkniętych instancji aksjomatów, można przypisać wartości liczbowe w taki sposób, że wszystkie aksjomaty są prawdziwe pod interpretacją., Ponieważ operacje arytmetyczne \ ( + \ ) i \ (\times\) mogą być interpretowane w zwykły sposób, jedyną trudnością jest nieskończenie odpowiednie wartości do przypisania terminom epsilon.

metodę substytucji Epsilonu Hilberta można z grubsza opisać następująco:

dowód konsystencji finitarnej otrzymuje się,gdy zostanie wykazane w sposób akceptowalny, że ten proces kolejnych”napraw” kończy się. Jeśli tak, to wszystkie formula_1 są prawdziwymi formułami bez terminów epsilon.,

ta podstawowa idea („Hilbertsche Ansatz”) została sformułowana przez Hilberta w jego przemówieniu z 1922 r. (1923) i rozwinięta w wykładach w latach 1922-1923. Podane tam przykłady dotyczą jednak tylko dowodów, wktórych wszystkie instancje aksjomatu transfinitu odpowiadają jednemu terminowi epsilona \(\varepsilon x A(x)\). Wyzwaniem było rozszerzenie podejścia do więcej niż jednego terminu epsilon, do zagnieżdżonych epsilonterm, a ostatecznie do epsilonów drugiego rzędu (w celu uzyskania dowodu zgodności nie tylko arytmetyki, ale także analizy).,

to tylko szkic trudności związanych z poszerzeniem pomysłu Hilberta do ogólnej sprawy. Ackermann (1924) przedstawił takie uogólnienie, stosując procedurę „cofającą”, ilekroć nowa interpretacja na danym etapie powoduje konieczność skorygowania interpretacji już znalezionej na poprzednim etapie.

procedura Ackermanna dotyczyła systemu epsilonów drugiego rzędu, w którym jednak terminy drugiego rzędu zostały ograniczone tak, aby wykluczyć Wiązanie krzyżowe epsilonów drugiego rzędu., Jest to w przybliżeniu ograniczenie do rozumienia arytmetycznego jako zasady tworzenia zbioru (zob. dyskusja na końcu tej sekcji). Pojawiły się kolejne trudności z terminami epsilon drugiego rzędu i szybko stało się jasne, że dowód ten stał się błędny. Jednak nikt w szkole Hilberta nie zdawał sobie sprawy z trudności aż do 1930 r., kiedy Gödel ogłosił swoje wyniki., Do tego czasu uważano, że dowód (przynajmniej z pewnymi modyfikacjami wprowadzonymi przez Ackermanna, z których część zawierała idee z wersji epsilonsubstytucji von Neumanna (1927)) przejdzie przynajmniej do części pierwszego rzędu. Hilbert i Bernays (1939) sugerują, że stosowane tylko metody dają dowód spójności arytmetyki pierwszego rzędu z openduction. W 1936 roku Gerhardowi Gentzenowi udało się przedstawić dowód zgodności arytmetyki pierwszego rzędu w sformułowaniu opartym na logice bez symbolu epsilona., Ten dowód wykorzystuje indukcję transfinite do \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) był w stanie zaadaptować idee Gentzena, aby dać poprawny dowód arytmetyki pierwszego rzędu za pomocą metody podstawienia Epsilon.

Analiza, czyli arytmetyka drugiego rzędu, jest rozszerzeniem pierwszego rzędu o schemat rozumienia dla dowolnych formuł drugiego rzędu. Teoria jest impredykatywna, ponieważ pozwala na definiowanie zbiorów liczb naturalnych za pomocą kwantyfikatorów, które rozciągają się na całym wszechświecie zbiorów, w tym, w domyśle, zbiór jest zdefiniowany., Można uzyskać predykatywne fragmenty tej teorii, ograniczając rodzaj wzorów dozwolonych w ujęciu całościowym. Na przykład ograniczenie omawiane w związku z powyższym odpowiada całościom arytmetycznym, w których formula_10 nie występują kwantyfikatory drugiego rzędu. Istnieją różne sposoby uzyskiwania silniejszych fragmentów analizy, które są jednak prognostycznie uzasadnione., Na przykład,można uzyskać analizę ramową poprzez powiązanie rangi Porządkowej z ustalonymi zmiennymi; z grubsza, w definicji zbioru danej rangi,kwantyfikatory obejmują tylko zbiory niższej rangi, tj. te, których definicje są logicznie wcześniejsze.

Czytaj dalej Wczesne prace Hilberta i Ackermanna zostały omówione w Zach 2003; 2004. Dowód Von Neumanna jest tematem Bellotti 2016. Dowód Ackermanna z 1940 roku omawia Hilbert & Bernays 1970 i Wang 1963. Nowoczesną prezentację zaprezentował Moser 2006., Wczesne zastosowanie substytucji epsilonu jest interpretacją bezkontraktową (Kreisel 1951).

najnowsze osiągnięcia

w tym dziale omawiamy rozwój metody Epsilon-substitutionmethod w celu uzyskania wyników konsystencji dla silnych systemów. wyniki te mają charakter matematyczny. Nie możemy, niestety, omawiać tutaj szczegółów dowodów, ale chcielibyśmy wskazać, że metoda podstawienia epsilonu nie umarła za pomocą programu Hilberta i że znaczna część obecnych badań jest prowadzona w formalizmach epsilonu.,

dowody konsystencji Gentzena dla arytmetyki zapoczątkowały dziedzinę badań znaną jako analiza porządkowa, a program pomiaru siły teorii matematycznych wykorzystujących notacje porządkowe jest kontynuowany do dziś. Jest to szczególnie istotne dla rozszerzonego programu Hilberta, gdzie celem jest usprawiedliwienie matematyki klasycznej względem układów konstruktywnych, orquasi-konstruktywnych., Metody gentzena (i rozszerzenia do logiki infinitalnej opracowane przez Paullorentzena, Petra Novikova i Kurta Schütte) w dużej mierze zastąpiły metody substytucji epsilona w tych poszukiwaniach. Jednak metody epsiloncalculus zapewniają alternatywne podejście i wciąż trwają badania nad sposobami rozszerzenia metod Hilberta-Ackermanna na bardziej zaawansowane teorie. Ogólny wzór pozostaje taki sam:

1. umieść badaną teorię w odpowiednim epsiloncalculusie.
2. opisz proces aktualizacji przypisań do epsilonterms.,
3. pokazują, że procedura jest normalizująca, tzn. biorąc pod uwagę dowolny zbiór wartości, istnieje Sekwencja aktualizacji, która skutkuje przypisaniem spełniającym aksjomaty.

ponieważ ostatni krok gwarantuje spójność oryginalnej teorii, z fundamentalnego punktu widzenia interesuje się metodami, które mają udowodnić normalizację. Na przykład, uzyskuje się zwykłą analizę, przypisując notacje porządkowe do kroków w procesie, w taki sposób, że wartość notacji maleje z każdym krokiem.,

w latach 60. XX wieku Tait (1960, 1965, 2010) rozszerzył metody dackermanna do uzyskania Porządkowej analizy ekstensji arytmetycznej z zasadami indukcji transfinicznej. Bardziej udoskonalone i nowoczesne wersje tego podejścia można znaleźć w Mints2001 i Avigad 2002b., Ostatnio mennice, Tupailo i Buchholzhave uważali za silniejsze, ale wciąż przewidywalnie uzasadnione, fragmenty analizy, w tym teorie arytmetycznej zrozumiałości i a \(\Delta^{1}_1\)-zasada rozumienia (mennice,Tupailo &Buchholz 1996; mennice & Tupailo 1999; patrz również mennice 2016). Arai2002 rozszerzył metodę substytucji epsilona o teorie, które pozwalają na iterację arytmetyki wzdłuż uporządkowania pierwotnego., W szczególności jego prace zawierają ordinalanalyses dla prognostycznych fragmentów analiz obejmujących transfinitehierarchie i indukcję transfinite.

pierwsze kroki poczyniono przy zastosowaniu podstawienia epsilon w analizie teorii impredikatywnych (zob. Arai2003, 2006 i Mints 2015).

zmiana w kroku 3 powyżej polega na pokazaniu, że proces normalizacji nie jest wrażliwy na wybór aktualizacji, co oznacza, że każda sekwencja aktualizacji kończy się. To się nazywa strongnormalizacja., Mennice z 1996 r. pokazały, że wiele z rozpatrywanych procedur ma tę silniejszą właściwość.

poza tradycyjną, fundamentalną gałęzią teorii dowodów,obecnie istnieje duże zainteresowanie prooftheory strukturalną, gałęzią tematu, która koncentruje się na logicznych dedukcjach i ich właściwościach. Badania te są ściśle związane z zagadnieniami związanymi z informatyką, związanymi z automatyczną redukcją, programowaniem funkcjonalnym i weryfikacją wspomaganą komputerowo.Również tutaj dominują metody w stylu Gentzena (zobacz ponownie wpis o teorii dowodów)., Ale rachunek epsilon może również dostarczyć cennych spostrzeżeń; por. na przykład Aguilera & Baaz 2019, lub omówienie powyższego twierdzenia herbranda.

pomijając badania rachunku epsilona w teorii dowodów, należy wspomnieć o dwóch zastosowaniach. Jednym z nich jest użycie epsilonnotacji w Theorie des ensembles Bourbakiego (1958).Drugim, być może większym obecnie zainteresowaniem, jest zastosowanie operatora epsilona w systemach dowodzenia twierdzeń HOL i Isabelle, gdzie moc ekspresyjna terminów epsilon daje znaczne korzyści praktyczne.,

operatory Epsilon w lingwistyce, Filozofii i nieklasycznej logice

odczytanie operatora epsilon jako operatora wyboru nieokreślonego(„an \(x\) takie, że \(A(x)\)”) sugeruje, że może on być użytecznym narzędziem w analizie nieokreślonych i określonych fraz rzeczowników w semantyce formalnej. Notacja epsilon w rzeczywistości została tak wykorzystana,a aplikacja ta okazała się przydatna w szczególności w radzeniu sobie z odniesieniem anaforycznym.

rozważ znany przykład

1. każdy rolnik, który posiada osła, bije go.,NS}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

wadą jest to, że „osioł” sugeruje istnienie quantifier, a zatem analiza powinna być w jakiś sposób równoległa w formieanaliza zdania 3 podanego przez 4:

ale najbliższa możliwa formalizacja,

1. \(\forall x ((\mathrm{Farmer}(x) \wedge \exists y(\mathrm{Farmer}(x) \wedge \exists y (\mathrm{Donkey} (y)\Wedge\mathrm{owns} (x, y))\rightarrow\mathrm {Beats} (X, Y))\)

jak zauważył von Heusinger (1994), sugeruje to, że Neale jest przypisywany do zaimków dwuznacznych między określeniami \ ((\iota\)-wyrażenia) i whe-wyrażenia., Heusinger sugeruje, aby zamiast tego używać operatorów epsilon indeksowanych przez funkcje wyboru (które zależą od kontekstu). Zgodnie z tym podejściem analiza(1) jest

to podejście do radzenia sobie z zaimkami za pomocą operatorów epsilon indeksowanych przez funkcje wyboru umożliwia von Heusingerowi radzenie sobie z szeroką gamą okoliczności (zob. Egli and von Heusinger, 1995; von Heusinger,2000).

zastosowania operatora epsilon w semantyce formalnej, jak i w ogóle wyboru, cieszyły się w ostatnich latach dużym zainteresowaniem., Von Heusinger i Egli (2000A) wymieniają m.in. następujące: reprezentacje pytań (Reinhart, 1992), specyficzne definicje (Reinhart 1992; 1997; Winter 1997), zaimki typu E(Hintikka and Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli and vonHeusinger 1995) oraz zwroty rzeczownikowe określone (von Heusinger 1997,2004).

w celu omówienia zagadnień i zastosowań Epsilon operatorin lingwistyki i filozofii języka zob. B. H., Artykuł Slatera na temat kalkulacji epsilon (cytowany w innym rozdziale Internet Resourcessection poniżej) oraz zbiory von Heusinger and Egli 2000 i Von Heusinger and Kempson 2004.

Meyer Viol (1995a, 1995b) zawiera dalsze dowody i modele teorii rachunku epsilona; w szczególności intuicjonistyczne epsiloncalculi. W tym przypadku twierdzenia epsilona przestają istnieć, tzn. wprowadzenie terminów epsilona powoduje niekonserwatywne rozszerzenia logiki intuicjonistycznej. Inne badania operatorów epsilon inintuicjonistycznych można znaleźć w Shirai (1971), Bell (1993a, 1993b) i DeVidi (1995)., Dla operatorów epsilona w logice wielowartościowej, patrz Mostowski (1963), dla rachunku epsilona modalnego, Fitting (1975).

Czytaj dalej Poniżej znajduje się lista niektórych publikacji w dziedzinie języka i lingwistyki mających znaczenie dla epsiloncalculus i jego zastosowań. Czytelnik jest skierowany w szczególności do zbiorów von Heusingera & Egli (eds.) 2000 i von Heusinger& Kempson (eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

---