Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa
cele uczenia się
· użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć Nieznany bok trójkąta prostokątnego.
· Rozwiązywanie problemów aplikacji związanych z twierdzeniem Pitagorasa.,
wprowadzenie
dawno temu grecki matematyk Pitagoras odkrył interesującą właściwość dotyczącą trójkątów prostych: suma kwadratów długości każdej z nóg trójkąta jest taka sama jak kwadrat długości przeciwprostokątnej trójkąta. Ta właściwość-która ma wiele zastosowań w nauce, sztuce, inżynierii i architekturze-jest obecnie nazywana twierdzeniem Pitagorasa.
przyjrzyjmy się, jak to twierdzenie może pomóc ci dowiedzieć się więcej o budowie trójkątów., A co najlepsze-nie trzeba nawet mówić po grecku, aby zastosować odkrycie Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa
Pitagoras badał Trójkąty proste i związki między nogami a przeciwprostokątną trójkąta prostego, zanim sformułował swoją teorię.,
Twierdzenie Pitagorasa
Jeśli a i b są długościami nóg trójkąta prostego, A c jest długością przeciwprostokątnej, to suma kwadratów długości nóg jest równa Kwadratowi długości nogi.przeciwprostokątna.
ta relacja jest reprezentowana przez formułę: 
w powyższym polu możesz zauważyć słowo” kwadrat”, a także małe 2s w prawym górnym rogu liter ., Kwadratowanie liczby oznacza mnożenie jej przez siebie. Tak więc, na przykład, aby kwadrat liczby 5 pomnożyć 5 • 5, a kwadrat liczby 12, pomnożyć 12 * 12. Niektóre wspólne kwadraty są pokazane w poniższej tabeli.,5″>
52 = 5 • 5
25
iv id=”717834fb74″
10
102 = 10 • 10
100
Kiedy widzisz równanie , możesz myśleć o tym jako „długość samej strony a razy, plus długość samej strony b razy jest taka sama jak długość boku c razy się.,”
wypróbujmy wszystkie twierdzenia Pitagorasa z rzeczywistym trójkątem prostym.
to twierdzenie jest prawdziwe dla tego trójkąta prostokątnego—suma kwadratów długości obu nóg jest taka sama jak kwadrat długości przeciwprostokątnej. W rzeczywistości dotyczy to wszystkich trójkątów prawych.
Twierdzenie Pitagorasa może być również reprezentowane pod względem powierzchni. W dowolnym trójkącie prostym pole kwadratu narysowanego z przeciwprostokątnej jest równe sumie obszarów kwadratów narysowanych z dwóch nóg., Możesz to zobaczyć poniżej w tym samym trójkącie prostokątnym 3-4-5.
zauważ, że twierdzenie Pitagorasa działa tylko z trójkątami prostymi.
znajdowanie długości przeciwprostokątnej
Możesz użyć twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć długość przeciwprostokątnej trójkąta prostego, jeśli znasz długość pozostałych dwóch boków trójkąta, zwanych nogami. Mówiąc inaczej, jeśli znasz długości a i b, możesz znaleźć c.,
w powyższym trójkącie podano miary dla nóg a i b: odpowiednio 5 i 12. Możesz użyć twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć wartość długości C, przeciwprostokątnej.
|
|
Twierdzenie Pitagorasa. |
|
|
zastępuj znane wartości dla a i b., |
|
|
Oceń. |
|
|
Uprość. Aby znaleźć wartość c, pomyśl o liczbie, która po pomnożeniu przez siebie równa się 169. Czy 10 działa? Może 11? 12? 13? (Możesz użyć kalkulatora, aby pomnożyć, jeśli liczby są nieznane.) |
|
13 = C |
pierwiastek kwadratowy z 169 wynosi 13., |
używając wzoru, można stwierdzić, że długość C, przeciwprostokątnej, wynosi 13.
w tym przypadku nie znałeś wartości c—otrzymałeś kwadrat długości przeciwprostokątnej i musiałeś go stamtąd rozgryźć. Gdy otrzymasz równanie takie jak 
I zostaniesz poproszony o znalezienie wartości c, nazywa się to znalezieniem pierwiastka kwadratowego liczby. (Zauważ, że znalazłeś liczbę c, której kwadrat to 169.,)
znalezienie pierwiastka kwadratowego wymaga trochę praktyki, ale wymaga również wiedzy na temat mnożenia, dzielenia i trochę prób i błędów. Spójrz na poniższą tabelę.,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., Jeśli możesz zapamiętać te liczby kwadratowe—lub jeśli możesz użyć kalkulatora, aby je znaleźć—znalezienie wielu wspólnych pierwiastków kwadratowych będzie tylko kwestią przypomnienia.
dla którego z tych trójkątów jest
?,
A)
B)
C)
D)
znajdowanie długości nogi
możesz użyć tej samej formuły, aby znaleźć Długość nogi trójkąta prostokątnego, jeśli biorąc pod uwagę pomiary długości przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Rozważ poniższy przykład.,
|
Example |
||
|
Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
|
|
|
a = ?, b = 6 c = 7 |
w tym trójkącie prostokątnym podano wymiary przeciwprostokątnej c i jednej nogi b. przeciwprostokątna jest zawsze przeciwległa od prawej strony.kąt i jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta. |
|
|
|
aby znaleźć długość nogi a, zastąp znane wartości twierdzeniem Pitagorasa., |
|
|
|
|
Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
|
|
|
Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055…, które można zaokrąglić do 3,6. (Ponieważ jesteś przybliżony, używasz symbolu |
|
Odpowiedz |
|
|
.)
który z poniższych elementów poprawnie wykorzystuje twierdzenie Pitagorasa, aby znaleźć brakującą stronę, x?,
A) 
B) x + 8 = 10
C) 
d) 
używanie twierdzenia do rozwiązywania rzeczywistych problemów świata
twierdzenie Pitagorasa jest być może jedna z najbardziej przydatnych formuł, których nauczysz się w matematyce, ponieważ jest tak wiele zastosowań w rzeczywistych warunkach., Architekci i inżynierowie wykorzystują tę formułę szeroko przy budowie ramp, mostów i budynków. Spójrz na poniższe przykłady.
|
przykład |
||
|
Problem |
właściciele domu chcą przekształcić klatkę schodową prowadzącą z ziemi do ich tylnego ganku w rampę. Ganek znajduje się 3 metry od ziemi, a ze względu na przepisy budowlane rampa musi zaczynać się 12 stóp od podstawy ganku. Jak długo będzie rampa?, użyj kalkulatora, aby znaleźć pierwiastek kwadratowy i zaokrąglić odpowiedź do najbliższej dziesiątej. |
|
|
aby rozwiązać taki problem, często warto narysować prosty diagram pokazujący, gdzie leżą nogi i przeciwprostokątna trójkąta., |
||
|
|
||
|
|
a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., Wiesz, że trójkąt jest trójkątem prostopadłym, ponieważ ziemia i podniesiona część ganku są prostopadłe—oznacza to, że możesz użyć twierdzenia Pitagorasa, aby rozwiązać ten problem. Identyfikacja a, b i c. |
|
|
|
użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć długość c., |
|
|
12.4 = c |
użyj kalkulatora, aby znaleźć C. pierwiastek kwadratowy z 153 wynosi 12.369…, więc możesz zaokrąglić go do 12.4. |
|
Odpowiedz |
rampa będzie miała 12.4 stóp długości., |
|
|
przykład |
||
|
problem |
żaglówka ma duży żagiel w kształcie trójkąta prostokątnego. Najdłuższa krawędź żagla mierzy 17 jardów, a dolna krawędź żagla wynosi 8 jardów. Jak wysoki jest żagiel?, |
|
|
|
narysuj obrazek, który pomoże Ci zwizualizować problem. W trójkącie prostym przeciwprostokątna zawsze będzie najdłuższą stroną, więc tutaj musi być 17 jardów. Problem mówi również, że dolna krawędź trójkąta wynosi 8 jardów., |
|
|
|
Setup the Pythagorean Theorem. |
|
|
|
a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
|
Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
|
podsumowanie
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w dowolnym trójkącie prostym suma kwadratów długości nóg trójkąta wynosi taki sam jak kwadrat długości przeciwprostokątnej trójkąta. Twierdzenie to jest reprezentowane przez wzór . Mówiąc prościej, jeśli znasz długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, możesz zastosować Twierdzenie Pitagorasa, aby znaleźć Długość trzeciego boku. Pamiętaj, że to twierdzenie działa tylko dla trójkątów prostych.