Właściwość asocjacyjna
operacja binarna ∗ {\displaystyle *} na zbiorze S, która nie spełnia prawa asocjacyjnego, nazywana jest nie asocjacyjną. Symbolicznie,
(x ∗ y ) ∗ z z x ∗ (y ∗ z) dla niektórych x , y , z ∈ S . {\displaystyle (x * y) * Z \ neq x*(y*z) \ qquad {\mbox {dla niektórych }}x, y, Z\in S.}
dla takiej operacji kolejność oceny ma znaczenie., 1) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
zauważ również, że sumy nieskończone nie są ogólnie asocjacyjne, na przykład:
( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\kropki \,=\, 0}
natomiast
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\kropki \,=\, 1}
badanie struktur nieasocjacyjnych wynika z przyczyn nieco odmiennych od głównego nurtu algebry klasycznej., Jednym z obszarów algebry nie asocjacyjnej, który rozwinął się bardzo mocno, jest Algebra Liego. Tam prawo asocjacyjne zostaje zastąpione tożsamością Jacobiego. Algebry Lie abstrakcyjne istotą przekształceń nieskończoności i stały się wszechobecne w matematyce.
istnieją inne specyficzne typy struktur nieasocjacyjnych, które zostały dogłębnie zbadane; te zwykle pochodzą z pewnych specyficznych zastosowań lub obszarów, takich jak matematyka kombinatoryczna. Inne przykłady to kwazigroup, quasifield, pierścień nie asocjacyjny, algebra nie asocjacyjna i komutatywne magmy nie asocjacyjne.,
Nieasocjatywność obliczania zmiennoprzecinkowego
w matematyce dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych jest asocjacyjne. Natomiast w informatyce dodawanie i mnożenie liczb zmiennoprzecinkowych nie jest asocjacyjne, ponieważ błędy zaokrąglania są wprowadzane, gdy wartości o różnych rozmiarach są połączone ze sobą.
mimo że większość komputerów oblicza z 24 lub 53 bitami mantissy, jest to ważne źródło błędu zaokrąglania, a podejścia takie jak algorytm sumowania Kahan są sposobami na zminimalizowanie błędów., Może to być szczególnie problematyczne w obliczeniach równoległych.
notacja dla operacji nieasocjacyjnychedytuj
ogólnie rzecz biorąc, nawiasy muszą być używane do wskazania kolejności oceny, jeśli operacja nieasocjacyjna pojawia się więcej niż raz w wyrażeniu (chyba że notacja określa kolejność w inny sposób, np. 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Matematycy zgadzają się jednak na konkretną kolejność ewaluacji dla kilku wspólnych operacji nie asocjacyjnych. Jest to po prostu konwencja notacyjna, aby uniknąć nawiasów.,Operacja w lewo-asocjacyjna jest operacją nie-asocjacyjną, która jest zwykle oceniana od lewej do prawej, tj. x * y * Z = ( x * Y) * Z w * x * Y * Z = ((W * X ) * y ) * Z itp. dla wszystkich w, x, y, z ∈ S {\displaystyle \ left.{\begin{matrix} x*y*Z=(x*y)*Z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*Z=((w * x) * y) * Z \ quad \\{\MBOX{etc.}} \ qquad \qquad \ qquad \ qquad \ qquad\\\, \ end{matrix}} \ right\} {\mbox{for all }} w,x,y,Z\in S}
natomiast operacja prawo-asocjacyjna jest warunkowo oceniana od prawej do lewej:
x * Y * Z = x * ( Y * Z ) w * x * Y * Z = W * ( x * ( Y * z ) ) itd., dla wszystkich w, x, y, z ∈ S {\displaystyle \ left.{\begin{matrix} x*y*Z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*Z=W*(x*(y * z))\quad \\{\MBOX{etc.}}\qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad\\\, \ end{matrix}} \ right\} {\MBOX{for all }} w, x, y ,Z \ in S}
występują zarówno operacje lewo-asocjacyjne, jak i prawoasocjacyjne., Operacje lewostronnie asocjacyjne obejmują:
- odejmowanie i dzielenie liczb rzeczywistych:
x-y − Z = ( X − y) − Z {\displaystyle x − y-Z=(X-y)-Z} x / y / Z = ( X / y ) / Z {\displaystyle x/y/Z=(X/y)/Z}
- zastosowanie funkcji:
( f X Y ) = ( ( F X ) Y ) {\displaystyle (F\,X\,Y)=((F\,X)\,Y)} zapis ten może być motywowany izomorfizmem currying.,
operacje prawostronnie asocjacyjne obejmują:
- Wykładnictwo liczb rzeczywistych w notacji górnej:
x y Z = x ( y z ) {\displaystyle x^{Y^{Z}}=x^{(y^{Z})}} Wykładnictwo jest powszechnie używane z nawiasami lub prawostronnie asocjacyjnie, ponieważ powtarzająca się operacja lewostronnie asocjacyjna jest mało użyteczna. Powtarzające się potęgi najczęściej zapisywane są mnożeniem: (x y) z = x (y Z ) {\displaystyle (X^{Y})^{Z}=x^{(yz)}} poprawnie sformatowany indeks górny zachowuje się z natury jako zbiór nawiasów; np., w wyrażeniu 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x+3}} Dodawanie jest wykonywane przed wykładnikiem, mimo że nie ma wyraźnego nawiasu 2 ( x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}} owiniętego wokół niego. W ten sposób, mając takie wyrażenie jak x y Z {\displaystyle x^{Y^{Z}}}, obliczany jest pierwszy wykładnik y z {\displaystyle y^{z}} bazy x {\displaystyle x}., Jednak w niektórych kontekstach, zwłaszcza w piśmie ręcznym, różnica między x y Z = (x y ) Z {\displaystyle {X^{Y}}^{Z}=(x^{Y})^{Z}}, x y Z = x ( y Z ) {\displaystyle x^{yz} = x^{YZ)} i x Y Z = x(y Z) {\displaystyle x^{y^{Z}}=x^{(y^{Z})}} może być trudna zobaczyć. W takim przypadku zwykle zakłada się asocjację prawa.,
- definicja funkcji
Z → Z → Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} = \mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x ↦ y ↦ x − Y =x ↦ ( y ↦ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y = X\mapsto (y\mapsto x-y)} użycie prawa-asocjacyjnej notacji dla tych operacji może być motywowane korespondencją Curry 'ego–Howarda i izomorfizmem Curry' ego.
operacje Pozasocjacyjne, dla których nie zdefiniowano konwencjonalnego porządku oceny, obejmują następujące czynności.,splaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b) \uparrow\uparrow \uparrow c}
- biorąc iloczyn krzyżowy trzech wektorów:
a → × ( b → × c → ) ≠ ( a → × b → ) × c → dla niektórych A → , b → , c → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {a}} \times ({\vec {B}} \times {\vec {C}}) \neq ({\vec {a}} \times {\vec {B}}) \times {\vec {C}} \qquad {\MBOX{ for some}} {\vec {a}}, {\vec {B}}, {\vec {c}}\in\mathbb {R} ^{3}}
- biorąc Para liczb rzeczywistych:
( X + Y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 dla wszystkich X , Y , Z ∈ R Z X ≠ z ., {\displaystyle {(x + y) / 2 + Z \ over 2} \ neq {x+(y + z) / 2 \over 2}\qquad {\mbox{dla wszystkich }}x,y,Z\in \mathbb {R} {\mbox{ z}} x \ neq z.}