Curvatura (Português)

Intuitivamente, a curvatura descreve para qualquer parte da curva quanto a curva muda de direção ao longo de um pequeno distância percorrida (e.g. angular em rad/m), portanto, é uma medida da taxa instantânea de variação de direção de um ponto que se move sobre a curva: quanto maior a curvatura, maior esta taxa de variação. Em outras palavras, a curvatura mede quão rápido o vetor tangente unitário para a curva gira (rápido em termos de posição da curva). De fato, pode-se provar que esta taxa instantânea de mudança é exatamente a curvatura., Mais precisamente, suponha que o ponto está se movendo na curva a uma velocidade constante de uma unidade, isto é, a posição do ponto P(s) é uma função do parâmetro s, o que pode ser pensado como o tempo ou como o comprimento do arco de uma dada origem. Seja T(S) um vetor tangente unitário da curva em P(S), que é também a derivada de P(S) em relação a s. Então, a derivada de T (S) em relação a s é um vetor que é normal para a curva e cujo comprimento é a curvatura. ,

Para ser significativa, a definição da curvatura e suas diferentes caracterizações exigir que a curva é continuamente diferenciável perto de P, para ter uma tangente que varia continuamente; é, também, necessário que a curva é duas vezes diferenciável em P, para garantir a existência de limites, e a derivada de T(s).

a caracterização da curvatura em termos da derivada do vetor tangente unitário é provavelmente menos intuitiva do que a definição em termos do círculo osculante, mas fórmulas para calcular a curvatura são mais fáceis de deduzir., Portanto, e também por causa de seu uso em cinemática, esta caracterização é muitas vezes dada como uma definição da curvatura.historicamente, a curvatura de uma curva diferenciável foi definida através do círculo osculante, que é o círculo que melhor se aproxima da curva em um ponto. Mais precisamente, dado um ponto P em uma curva, cada outro ponto Q da curva define um círculo (ou às vezes uma linha) passando por Q e tangente à curva em P. O círculo osculante é o limite, se existir, deste círculo quando Q tende a P., Em seguida, o centro e o raio de curvatura da curva em P são o centro e o raio do círculo osculante. A curvatura é a recíproca do raio de curvatura. Isto é, a curvatura é

κ = 1 R , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}},}

, onde R é o raio de curvatura (todo o círculo tem esta curvatura, ele pode ser lido como ativar 2π sobre o comprimento 2nR).

esta definição é difícil de manipular e expressar em fórmulas. Por conseguinte, foram introduzidas outras definições equivalentes.,

In terms of arc-length parametrizationEdit

Every differentiable curve can be parametrized with respect to arc length. No caso de uma curva plana, isto significa a existência de uma parametrização γ(s) = (x(s), y(s), onde x e y são funções diferenciáveis de valor real cujos derivados satisfazem

γ γ ‘‖ = x ‘( S) 2 + y ‘ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \ / {\boldsymbol {\gamma }}} “\|={\sqrt {x”(s)^{2}+y”(s)^{2}}}=1.,}

isto significa que o vector tangente

t ( s ) = ( x ‘( s ) , y ‘( s ) ) {\displaystyle \mathbf {t} (s)={\bigl (}x”(s),y”(s){\bigr)}}}}

tem uma norma igual a um e é, portanto, um vector tangente unitário.se a curva for duas vezes diferenciável, isto é, se os segundos derivados de x e y existirem, então a derivada de T(S) existe. Este vetor é normal para a curva, sua norma é a curvatura κ (s), e é orientado para o centro da curvatura.,yle {\begin{alinhado}&\mathbf {R} (s)={\boldsymbol {\gamma }}”(s),\\&\mathbf {R} ^{2}(s)=1(constante)\implica \mathbf {T} “(s)\cdot \mathbf {R} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} “(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}””(s)\|={\sqrt {x””(s)^{2}+y””(s)^{2}}}\\\end{alinhado}}}

Além disso, como o raio de curvatura é

R ( s ) = 1 κ ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

e o centro de curvatura é a normal à curva, o centro de curvatura é o ponto

C ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T ‘ ( s ) ., {\displaystyle \mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} “(s).}

If N(s) is the unit normal vector obtained from T(s) by a counterclockwise rotation of π/2, then

T ‘ ( S ) = k ( S ) n ( s ) , {\displaystyle \mathbf {t} “(s)=k(s)\mathbf {N} (S),}

with k(s) = ± κ(s). O número real k (s) é chamado de curvatura orientada ou assinada. Depende tanto da orientação do plano (definição de anti-horário), quanto da orientação da curva fornecida pela parametrização., Na verdade, a mudança da variável S → –S fornece outra parametrização de comprimento de arco, e muda o sinal de k(s).

In terms of a general parametrizationEdit

Let γ(t) = (x(t), y(t)) be a proper parametric representation of a twice differentiable plane curve. Aqui apropriado significa que no domínio da definição da parametrização, a derivada dy/dtis definida, diferenciável e em nenhum lugar igual ao vetor zero.,

Com um tal de parametrização, assinado curvatura é

k = x ‘ y “− y ‘ x ‘( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x”y””y””x”””} {\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

onde primes consulte derivativos, com relação a t. A curvatura κ é assim

κ = | x ‘ y “− y ‘ x “| ( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|x”y””y””x”””|} {\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

estes podem ser expressos de forma livre de coordenadas como

k = det ( γ ‘, γ”) γ γ ‘‖ 3 , κ = | det (γ ‘, γ”) | γ γ ‘ ‖ 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}}. estas fórmulas podem ser derivadas do caso especial de parametrização de comprimento de arco da seguinte forma. A condição acima na parametrização implica que o comprimento do arco s é uma função monotônica diferenciável do parâmetro t, e inversamente que t é uma função monotônica de S., Além disso, ao mudar, se necessário, s to –S, pode-se supor que estas funções estão aumentando e têm uma derivada positiva. Usando a notação da seção anterior e a regra da cadeia, tem-se d γ d t = d a d o s t e t , {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {R} ,}

e, assim, tomando a norma de ambos os lados

d t d s = 1 ‖ γ ‘ ‖ , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|}},}

onde o primeiro-denota a derivação com respeito a t.

A curvatura é a norma da derivada de T com relação a s., Usando a fórmula acima e a regra da cadeia esta derivada e sua norma pode ser expressa em termos de γ ‘e γ” somente, com o parâmetro de comprimento de arco s completamente eliminado, dando as fórmulas acima para a curvatura.

Graph of a functionEdit

The graph of a function y = f (x), is a special case of a parametrized curve, of the form

x = t y = f ( t). {\displaystyle {\begin{alinhado}x&=t\\y&=f(t).,\end{alinhado}}}

Como a primeira e a segunda derivadas de x são 1 e 0, anterior fórmulas para simplificar

κ = | y “| ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y””|}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

para a curvatura, e para

k = y ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

para o assinado curvatura.

no caso geral de uma curva, o sinal da curvatura assinada é de alguma forma arbitrário, como dependendo de uma orientação da curva., No caso do Gráfico de uma função, existe uma orientação natural aumentando os valores de X. Isto faz significativo o sinal da curvatura assinada.

O sinal da assinatura de curvatura é o mesmo que o sinal da segunda derivada de f. Se ele for positivo, então o gráfico tem concavidade para cima, e, se for negativo, o gráfico tem concavidade para baixo. É zero, então um tem um ponto de inflexão ou um ponto de ondulação.

Quando a inclinação do grafo (que é a derivada da função) é pequena, a curvatura assinada é bem aproximada pela segunda derivada., Mais precisamente, usando a notação big o, tem-se

k ( x ) = y “+ O ( y ‘ 2 ) . {\displaystyle k(x)=y””+o\left({y”}^{2}\right). é comum em física e engenharia aproximar a curvatura com a segunda derivada, por exemplo, na teoria do feixe ou para derivar a equação de onda de uma corda tensa, e outras aplicações onde pequenas encostas estão envolvidas. Isso permite muitas vezes considerar como sistemas lineares que não são lineares de outra forma.,

Polar coordinatesEdit

Se uma curva é definida em coordenadas polares pelo raio expressa como uma função do ângulo polar, que é de r é uma função de θ, então a sua curvatura é

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r ‘2 r − r | ( r 2 + r’ 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r}^{2}-r\r””\right|}{\left(r^{2}+{r}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

, onde o primeiro refere-se a diferenciação com respeito a θ.,

Este resulta da fórmula geral parametrizações, considerando a parametrização

x = r ( θ ) cos ⁡ θ y = r ( θ ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{alinhado}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{alinhado}}}

Implícito curveEdit

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{aa}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

a curvatura assinada não é definida, pois depende de uma orientação da curva que não é fornecida pela equação implícita. Além disso, a mudança de F para –F não altera a curva, mas altera o sinal do numerador se o valor absoluto for omitido na fórmula anterior.

Um ponto da curva onde Fx = Fy = 0 é um ponto singular, o que significa que a curva não é diferenciável nesse ponto, e, assim, que a curvatura não é definido (a maioria das vezes, o ponto é um ponto de passagem ou de uma cúspide).,

acima da fórmula para a curvatura pode ser derivada da expressão da curvatura do grafo de uma função usando o teorema implícito da função e o fato de que, em tal curva, se tem

D Y D x = − F x F Y. {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

ExamplesEdit

pode ser útil verificar com exemplos simples que as diferentes fórmulas dadas nas secções anteriores dão o mesmo resultado.

CircleEdit

uma parametrização comum de um círculo de raio R É γ(t) = (r cos t, r sin t)., A fórmula para a curvatura dá

k (t) = r 2 sin 2 ⁡ t + r 2 cos 2 ⁡ t ( r 2 cos 2 cos t + r 2 sin 2 ⁡ t) 3 2 = 1 R. {\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.

segue-se, como esperado, que o raio de curvatura é o raio do círculo, e que o centro da curvatura é o centro do círculo.

O círculo é um caso raro onde a parametrização de comprimento de arco é fácil de calcular, pois é

γ ( s ) = ( r cos ⁡ s r , r sin ⁡ s r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {s}, {r}, r\sin {\frac {s}{r}}\right).}

é um arco de comprimento parametrização, uma vez que a norma de

γ ‘ ( s ) = ( − sin ⁡ s r cos ⁡ s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}”(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

é igual a um. Esta parametrização dá o mesmo valor para a curvatura, já que ela equivale à divisão por r3 tanto no numerador quanto no denominador na fórmula anterior.

o mesmo círculo também pode ser definido pela equação implícita F(x, y) = 0 com F(x, y) = x2 + y2 – r2., Então, a fórmula para a curvatura neste caso dá

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{alinhado}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{aa}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\end{alinhado}}}

ParabolaEdit

Considere a parábola y = ax2 + bx + c.

é o gráfico de uma função com derivada 2ax + b, e a segunda derivada de 2a. Então, assinado curvatura é

k ( x ) = 2 ( 1 + ( 2 x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k(x)={\frac {2a}{\left(1+(2ax+b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.

tem o sinal de a para todos os valores de X., Isso significa que, se uma > 0, a concavidade é para cima, dirigido em qualquer lugar; se a < 0, a concavidade é para baixo dirigidos; para a = 0, a curvatura é zero em todos os lugares, confirmando que a parábola se degenera em uma linha, neste caso.

a curvatura (sem sinal) é máxima para x = –b/2a, ou seja, no ponto estacionário (derivada zero) da função, que é o vértice da parábola.

considere a parametrização γ(t) = (T, at2 + bt + C) = (x, y). A primeira derivada de x é 1, e a segunda derivada é zero., Substituindo na fórmula geral parametrizações dá exatamente o mesmo resultado acima, com x substituído por t. Se usamos primos de derivativos, com relação ao parâmetro t.

A mesma parábola também pode ser definido pela equação implícita F(x, y) = 0 com F(x, y) = ax2 + bx + c – y. Como Fy = -1, e Fyy = Fxy = 0, obtém-se exatamente o mesmo valor para o (não assinado) a curvatura. No entanto, a curvatura assinada não tem significado aqui, como –F(x, y) = 0 é uma equação implícita válida para a mesma parábola, que dá o sinal oposto para a curvatura.,

de Frenet–Serret fórmulas para o avião curvesEdit

A expressão da curvatura Em termos de arco de comprimento de parametrização é, essencialmente, o primeiro de Frenet–Serret fórmula

T ‘ ( s ) = κ ( s ) de N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} “(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s)}

, onde os primos consulte as derivadas com respeito ao comprimento de arco s, e N(s) é normal o vetor unitário na direção de T'(s).como as curvas planas têm torção zero ,a segunda fórmula Frenet-Serret fornece a relação

D N D s = – κ T, = – κ D γ D s., {\displaystyle {\begin{alinhado}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {R} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{alinhado}}}

para uma parametrização geral por um parâmetro t, é necessário expressões envolvendo derivados em relação a t. como estas são obtidas multiplicando por ds/dt os derivados em relação a s, tem − se, para qualquer parametrização adequada

n ‘( t) = – κ ( t ) γ ‘ ( t ) . {\displaystyle \mathbf {n} “(t)=-\kappa(t){\boldsymbol {\gamma}} “(t).}

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