Função de densidade de probabilidade
por Marco Taboga, PhD
A distribuição de uma variável aleatória contínua pode ser caracterizada através de sua função de densidade de probabilidade (pdf). A probabilidade de que uma variável aleatória contínua tem um valor em um determinado intervalo é igual à integral de sua função de densidade de probabilidade durante esse intervalo, que por sua vez é igual à área da região do plano xy delimitada pelo eixo x, o pdf e as linhas verticais correspondentes aos limites do intervalo.,
Por exemplo, na figura abaixo, a linha azul é o pdf de uma variável aleatória normal e a área da região do vermelho é igual à probabilidade de que a variável aleatória assume um valor compreendido entre -2 e 2.
Definição
A seguir está uma definição formal.
Definição A função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua 
é uma função 
tais que
para qualquer intervalo de .,
O conjunto de valores para que é chamado o apoio da .,para integrar a função de densidade de probabilidade sobre esse intervalo:
A densidade de probabilidade não é uma probabilidade
é importante compreender a diferença fundamental entre a função densidade de probabilidade, o que caracteriza a distribuição de uma variável aleatória contínua, e a probabilidade de massa de função, o que caracteriza a distribuição de uma variável aleatória discreta (lembre-se: uma variável aleatória é discreta se o número de valores que pode assumir é contável, enquanto o número de valores que uma variável aleatória contínua pode assumir é incontável)., A probabilidade de massa de função de uma variável discreta é uma função que dá a você, para qualquer número real , a probabilidade de que vai ser igual a . Ao contrário, se a é uma variável contínua, a sua função de densidade de probabilidade avaliados em um determinado ponto não é a probabilidade de que vai ser igual a ., Como uma questão de fato, esta probabilidade é igual a zero para qualquer porque
onde é qualquer primitiva (ou integral indefinida) de .
Se está intrigado com o último resultado, é aconselhado a ler a leitura sobre eventos de probabilidade zero.
Apesar de não ser uma probabilidade, o valor de pdf em um determinado ponto pode ser dada uma simples interpretação:
onde é um pequeno incremento.,a prova que vamos dar não é rigorosa. Pelo contrário, estamos focados na intuição. Por uma questão de simplicidade, assumimos que o pdf é uma função contínua. Estritamente falando, isso não é necessário, embora a maioria dos pdfs que são encontradas na prática são contínuas (por definição, um pdf deve ser integráveis; no entanto, enquanto todas as funções contínuas são integráveis, nem todas as funções integráveis são contínuas)., Se o pdf é contínua e é pequeno, então é bem aproximada por qualquer pertencentes ao intervalo de 
. Segue-se que 
No exemplo acima aproximada igualdade, consideramos a probabilidade de que vai ser igual a ou para um valor pertencente a um intervalo pequeno perto de . Em particular, consideramos o intervalo ., A probabilidade é proporcional ao comprimento do pequeno intervalo que estamos considerando. A constante de proporcionalidade é a função densidade de probabilidade avaliado em: . Assim, a maior pdf é um , maior é a probabilidade de que terá um valor próximo de .,
conceitos Relacionados
conceitos Relacionados são os de:
-
conjunta função de densidade de probabilidade, o que caracteriza a distribuição de uma aleatória contínua vetor;
-
marginal função de densidade de probabilidade, o que caracteriza a distribuição de um subconjunto de entradas de um vetor aleatório;
-
condicional função de densidade de probabilidade, que é um pdf obtidos por condicionado na realização de uma outra variável aleatória.,
Mais detalhes
funções de densidade de Probabilidade são discutidos em mais detalhes na palestra intitulada variáveis Aleatórias.
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