Inteiro

no ensino básico da escola, os inteiros são muitas vezes intuitivamente definidos como os números naturais (positivos), zero, e as negações dos números naturais., No entanto, este estilo de definição leva a muitos casos diferentes (cada operação aritmética precisa ser definida em cada combinação de tipos de inteiros) e torna tedioso provar que os inteiros obedecem às várias leis da aritmética. Portanto, na matemática moderna da teoria dos conjuntos, uma construção mais abstrata que permite definir operações aritméticas sem qualquer distinção de caso é frequentemente usada em vez disso. Os inteiros podem, portanto, ser formalmente construídos como as classes de equivalência de pares ordenados de Números Naturais (A,b).,

A intuição é a de que (a,b) representa o resultado da subtração b a partir de uma. Para confirmar a nossa expectativa de que 1 − 2 e 4 − a 5 denotar o mesmo número, que define uma relação de equivalência ~ em pares com a seguinte regra:

( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

precisamente quando

a + d = b + c . {\displaystyle A+d=b+c.}

adição e multiplicação de inteiros pode ser definida em termos das operações equivalentes nos números naturais; usando para denotar a classe de equivalência tendo (a,b) como um membro, tem-se:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \cdot:=.}

a negação (ou inversa aditivo) de um inteiro é obtida invertendo a ordem do par:

-:=. {\displaystyle -:=.}

Hence subtraction can be defined as the additive inverse:

-:=. {\displaystyle -:=.}

O padrão de encomenda em números inteiros é dada por:

< {\displaystyle <} se, e somente se, a + d < b + c . {\displaystyle A+d <b+c.,}

verifica-se facilmente que estas definições são independentes da escolha dos representantes das classes de equivalência.

Assim, é denotado por

{ a − b , se a ≥ b − ( b − a ) , se a < b . {\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{se }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{se }}<b.\end{cases}}}

Se os números naturais são identificados com os respectivos números inteiros (usando a incorporação mencionada acima), a presente convenção não cria nenhuma ambiguidade.,esta notação recupera a representação familiar dos inteiros como {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Alguns exemplos são:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{alinhado}}}

na ciência da Computação Teórica, outras abordagens para a construção de inteiros são usadas por provadores de teorema automatizados e motores de reescrita de termos.Inteiros são representados como Termos algébricos construídos usando algumas operações básicas (por exemplo, zero, succ, pred) e, possivelmente, usando números naturais, que se supõe serem já construídos (usando, digamos, a abordagem Peano).

existem pelo menos dez construções de inteiros assinados., Estas construções diferem em vários aspectos: o número de operações básicas utilizadas para a construção, o número (geralmente, entre 0 e 2) e os tipos de argumentos aceitos por estas operações; a presença ou ausência de números naturais como argumentos de algumas dessas operações, e o fato de que essas operações são livres, construtores ou não, por exemplo, que o mesmo número inteiro pode ser representado usando apenas um ou muitos algébrica termos.,

A técnica para a construção de inteiros acima apresentadas nesta secção corresponde ao caso particular, onde há uma única operação básica par ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}, que recebe como argumentos dois números naturais x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} , e retorna um número inteiro (igual a x − y {\displaystyle x-y} ). Esta operação não é livre uma vez que o inteiro 0 pode ser escrito par(0,0), ou par(1,1), ou par(2,2), etc., Esta técnica de construção é usada pela assistente de prova Isabelle; no entanto, muitas outras ferramentas usam técnicas de construção alternativas, notáveis aquelas baseadas em construtores livres, que são mais simples e podem ser implementadas de forma mais eficiente em computadores.