Propriedade associativa
uma operação binária ∗ {\displaystyle *} em um conjunto S que não satisfaz a lei associativa é chamada não-associativa. Simbolicamente,
(x ∗ y) ≠ z ≠ x ∗ ( y z z) para alguns x , y , z ∈ s. {\displaystyle(x * y)*z\neq x*(y * z)\qquad {\mbox{for some}}} x,y,z\in S.}
para tal operação, a ordem de avaliação importa., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
note Também que o infinito somas não são geralmente associativa, por exemplo:
( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\pontos \,=\,0}
enquanto
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\pontos \,=\,1}
O estudo de não-estruturas associativas surge a partir de razões um pouco diferentes do mainstream da música clássica álgebra., Uma área dentro da álgebra não-associativa que cresceu muito grande é a das álgebras de Lie. Lá a lei associativa é substituída pela identidade Jacobi. Álgebras de Lie abstêm a natureza essencial das transformações infinitesimais, e tornaram-se onipresentes na matemática.
existem outros tipos específicos de estruturas não-associativas que foram estudadas em profundidade; estas tendem a vir de algumas aplicações específicas ou áreas como matemática combinatória. Outros exemplos são quasigroup, quasifield, anel não-associativo, álgebra não-associativa e magmas não-associativos comutativos.,
Nonassociativity of floating point calculationEdit
In mathematics, addition and multiplication of real numbers is associative. Em contraste, em Ciência da computação, a adição e multiplicação de números de ponto flutuante não é associativa, como erros de arredondamento são introduzidos quando valores de tamanho diferente são unidos.
embora a maioria dos computadores computem com 24 ou 53 bits de mantissa, esta é uma fonte importante de erro de arredondamento, e abordagens como o algoritmo de soma de Kahan são formas de minimizar os erros., Pode ser especialmente problemático em computação paralela.
Notação para não-associativa operationsEdit
Em geral, entre parênteses deve ser utilizado para indicar a ordem de avaliação, se um não-associativa operação aparece mais de uma vez em uma expressão (a menos que a notação especifica a ordem de outra maneira, como 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). No entanto, os matemáticos concordam em uma ordem particular de avaliação para várias operações não-associativas comuns. Esta é simplesmente uma convenção de notação para evitar parênteses.,
Um guarda-associativa de operação é um não-associativa operação que é convencionalmente avaliados da esquerda para a direita, por exemplo,
x ∗ y ∗ z = ( x ∗ y ) ∗ z w ∗ x ∗ y ∗ z = ( ( w ∗ x ) ∗ y ) ∗ z etc. para todos w, x, y, z ∈ s {\displaystyle \esquerda.{\begin{matrix}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{para todo }}w,x,y,z\S}
enquanto um clique com o botão direito associativo operação é convencionalmente avaliados da direita para a esquerda:
x ∗ y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) etc., para todos w, x, y, z ∈ s {\displaystyle \esquerda.{\begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \ qquad \qquad \qquad \\, \end{matrix}}}\right\} {\mbox{for all }} w,x,y, z\in S}
ambas as operações associativas à esquerda e à direita ocorrem., Guarda-associativa operações incluem o seguinte:
- Subtração e divisão de números reais:
x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}
- aplicação de Função:
( f x y ) = (f x ) y ) {\displaystyle (f\x\y)=((f\x)\y)} Esta notação pode ser motivado pela pelaria isomorfismo.,
clique com o botão Direito associativo operações incluem o seguinte:
- a Potência de números reais em sobrescrito notação:
x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} Exponenciação é comumente usado com colchetes ou clique com o botão direito associativamente porque repetida esquerda-associativa operação de exponenciação é de pouco uso. Potências repetidas seriam reescritas principalmente com multiplicação: (x y ) z = x (y z ) {\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}}} formatado correctamente, o superscript comporta-se inerentemente como um conjunto de parêntesis; e.g., na expressão 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x + 3} a adição é realizada antes da exponenciação, apesar de não haver parêntesis explícitos 2 ( x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}}} enrolados à volta dela. Assim, dada uma expressão como x y z {\displaystyle x^{Y^{z}}}, o expoente completo y z {\displaystyle y^{z}} da base x {\displaystyle x} é avaliado primeiro., No entanto, em alguns contextos, especialmente em manuscrito, a diferença entre x y z = ( x y ) z {\displaystyle {x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}} , x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}} e x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} pode ser difícil de ver. Em tal caso, a associatividade-direita é geralmente implícita.,
- definição de Função
Z → Z → Z = Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x ↦ y ↦ x − y = x ↦ ( y ↦ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)} Usando o clique com o botão direito associativo notação para essas operações podem ser motivados pelo Curry–Howard correspondência e pela pelaria isomorfismo. as operações não associativas para as quais não é definida uma ordem de avaliação convencional incluem o seguinte:,splaystyle um\seta para cima \seta para cima \seta para cima (b\seta para cima \seta para cima \seta para cima c)\neq (a\seta para cima \seta para cima \seta para cima b)\seta para cima \seta para cima \seta para cima c}
- a Tomar a cruz do produto de três vetores:
a → × b → × c → ) ≠ ( a → × b → ) × c → para alguns a → , b → , c → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ alguns }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}}
- , Tendo o par de média dos números reais:
( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 para todo x , y , z ∈ R, com x ≠ z ., {\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{para todo }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ com }}x\neq z.}