Pythagorean Triple (Português)

A Pythagorean triple is a triple of positive integers , , and such that a right triangle exists with legs and hypotenuse ., Pelo teorema de Pitágoras, isto é equivalente a encontrar inteiros positivos e satisfatório

a menor e A mais conhecida de Pitágoras triplo é . O triângulo direito com estes comprimentos laterais é às vezes chamado de triângulo 3, 4, 5.,

Parcelas de pontos plano tais que a é um Pitágoras triplo são mostrados acima para sucessivamente maiores limites. Estes gráficos incluem valores negativos de e, e são portanto simétricos sobre ambos os eixos x e y.

da mesma forma, a representação de pontos no plano tais que a é um Pitágoras triplo são mostrados acima para sucessivamente maiores limites.,

é usual considerar apenas primitivo de Pitágoras triplos (também chamado de “redução”triplos) em que e são relativamente primos, uma vez que outras soluções podem ser geradas trivialmente da primitiva queridos. Os triplos primitivos são ilustrados acima, e pode-se ver imediatamente que as linhas radiais correspondentes a triplos imprimitivos na parcela original estão ausentes nesta figura., Para o primitivo soluções, uma de ou deve ser o mesmo, e o outro ímpar (Shanks 1993, p. 141), com sempre ímpar.,=”7a4ddb31b8″>

Hall (1970) and Roberts (1977) prove that is a primitive Pythagorean triple iff

where is a finite product of the matrices , , .,662c5″>

Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as

for , which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case , ).,

The early Greeks gave

where and are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting and ).

Let be a Fibonacci number., Then

generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers , , and constructing the Fibonacci-like sequence with terms , , , , , …, generates distinct Pythagorean triples

(Horadam 1961), where

where is a Lucas number.

For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e.,, os dois números menores) é sempre divisível por 12, e o produto de todos os três lados é divisível por 60. Não se sabe se existem dois triplos distintos com o mesmo produto. A existência de dois triplos corresponde a um diferente de zero solução para a equação de Diophantine

(Cara 1994, p. 188).,

For a Pythagorean triple (, , ),

where is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc”>

(Robertson 1996).,

A área de um triângulo correspondente à de Pitágoras triplo é

de Fermat mostrou que um número de este formulário pode ser nunca um squarenumber.,td>

The number of such triangles is then

Then

(Beiler 1966, p., 116). Note que iff é primo ou duas vezes primo. Os primeiros números para , 2, … são 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,

Para encontrar o número de formas com em que um número pode ser a hipotenusa de um primitivo direito do triângulo, escreva a sua fatoração como

, onde s são da forma e o s são da forma .,> as a hypotenuse is

			(29)
			(30)

(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, que afirma que esta fórmula dá o número de soluções não primitivas somente), onde é a soma da função dos quadrados., em que pode ser tanto uma perna ou a hipotenusa de um triângulo é dada por

Deixe o número de quartos triplos, com hipotenusa ser indicado , o número de quartos triplos, com hipotenusa ser indicado e o número de primitivas triplos menor do que ser indicado ., Then the following table summarizes the values for powers of 10.

	OEIS	, , …
	A101929	1, 50, 878, 12467, …
	A101930	2, 52, 881, 12471, …
	A101931	1, 16, 158, 1593, ..,.

Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than satisfies

(OEIS A086201).

There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d”>

Then the right triangle generated by each triple () has common area

Right triangles whose areas consist of a single digit include (area of 6) and (area of 666666; Wells 1986, p., 89).em 1643, Fermat desafiou Mersenne a encontrar um tripleto pitagórico cuja hipotenusa e soma das pernas eram quadrados.,

A related problem is to determine if a specified integer can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3, e 4 não são as áreas de qualquer triângulos direito de lados racionais, mas 5 é (3/2, 20/3, 41/6), como é 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case

			(47)
			(48)

(Koblitz 1993)., Não há nenhum método Geral Conhecido para determinar se existe uma solução para arbitrário , mas uma técnica concebida por J. Tunnell em 1983 permite que certos valores sejam descartados (Cipra 1996).

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