The Epsilon Calculus (Português)

Overview

By the turn of the century David Hilbert and Henri Poincaréwere recognized as the two most important mathematicians of their generation. Hilbert gama de interesses matemáticos era amplo,e incluiu um interesse nos fundamentos da matemática: hisFoundations da Geometria, foi publicado em 1899, e de thelist das questões colocadas para o Congresso Internacional de ofMathematicians em 1900, três tratadas distintamente foundationalissues.,

Após a publicação do paradoxo de Russell, Hilbert apresentou um discurso ao III Congresso Internacional de matemáticos em 1904, onde, pela primeira vez, esboçou seu plano para fornecer uma fundação rigorosa para a matemática através de provas de coerência sintática. Mas ele não voltou ao assunto a sério até 1917, quando ele começou uma série de palestras sobre os fundamentos da matemática com a ajuda de Paul Bernays., Embora Hilbert tenha sido impressionado pelo trabalho de Russell e Whitehead em seu PrincipiaMathematica, ele se convenceu de que a tentativa logicista de reduçar a matemática à lógica não poderia ter sucesso, devido em particular ao caráter não-lógico de seu axioma de reducibilidade. Ao mesmo tempo, ele considerou a rejeição intuicionista da lei do meio excluído como inaceitável para a matemática. Por conseguinte, para responder às preocupações suscitadas pela descoberta dos paradoxos lógicos e teóricos, era necessária uma nova abordagem para justificar os métodos matemáticos modernos.,até o verão de 1920, Hilbert tinha formulado tal abordagem. Em primeiro lugar, os métodos matemáticos modernos deveriam ser representados em sistemas dedutivos formais. Em segundo lugar, estes sistemas formais deveriam ser provados sintaticamente existentes, não exibindo um modelo ou reduzindo a sua consistência a outro sistema, mas por um argumento metamatemático direto de um caráter explícito, “finitário”. A abordagem tornou-se o programa de knownas Hilbert. O cálculo epsilon era para fornecer o primeiro componente deste programa, enquanto seu método de substituição epsilon era para fornecer o segundo.,

o cálculo epsilon é, na sua forma mais básica, uma lógica de predicados de extensão offirst-order com uma “operação epsilon”que escolhe, para qualquer fórmula existencial verdadeira, uma testemunha para o quantificadorexistencial. A extensão é conservadora na sensação de que não adiciona quaisquer novas consequências de primeira ordem. Mas, inversamente, quantificadores podem ser definidos em termos de epsilons, lógica de ordem sofirst pode ser entendida em termos de quantificador-freereasoning envolvendo a operação epsilon. É esta última façanha que torna o cálculo conveniente com o objectivo de provocar coerência., Extensões adequadas do cálculo epsilon tornam possível incorporar teorias mais fortes e quantificacionais de Números e conjuntos em cálculo sem quantificadores. Hilbert esperava que fosse possível demonstrar a consistência de tais extensões.

o cálculo Epsilon

em sua palestra de Hamburgo em 1921 (1922), Hilbert apresentou pela primeira vez a ideia de usar tal operação para lidar com o princípio do meio excluído em um sistema formal para aritmética., Estas ideias foram desenvolvidas para o cálculo epsilon e o método de substituição epsilon em uma série de cursos de palestras entre 1921 e 1923, e inhilbert’s (1923). A apresentação final do cálculo epsilon pode ser encontrada na dissertação de Wilhelm Ackermann (1924).

Esta secção irá descrever uma versão do cálculo correspondente à lógica de primeira ordem, enquanto as extensões para a primeira e segunda ordenaritmética serão descritas abaixo.

Let \(l\) be a first-order language, which is to say, a list ofconstant, function, and relation symbols with specified arities., O conjunto de termos epsilon e o conjunto de fórmulas de \(l\) são definidos de forma indirecta, simultaneamente, da seguinte forma:

substituição e as noções de variável livre e ligada, são definidas da forma habitual; em particular, a variável \(x\) torna-se vinculada no termo \(\varepsilon x a\). A interpretação pretendida é que\(\varepsilon x a\) denota algum \(x\) satisfazendo \(a\), se existir um., Assim, os Termos epsilon são governados pelo axioma seguinte (axioma transfinita de Hilbert): \ além disso, o cálculo epsilon inclui um conjunto completo de axiomas que governam os conectivos classicais proposicionais, e axiomas que governam o símbolo de igualdade.As únicas regras do cálculo são as seguintes:

• modus ponens
• substituição: de \(A (x)\), conclude \(a (t)\), para qualquer termo\(T.,\)

formas anteriores do cálculo epsilon (tal como o apresentado emilbert 1923) usam uma forma dupla do operador epsilon, em que\(\varepsilon x a\) devolve um valor falsificando \(a (x)\). A versão acima foi usada na dissertação de Ackermann (1924), e tornou-se padrão.

Note que o cálculo apenas descrito é livre de quantificadores. Quantificadores podem ser definidos da seguinte forma: \ os axiomas e regras de quantificação usuais podem ser derivados destes, então a definição serve para incorporar a lógica de primeira ordem no cálculo epsilon., O reverso não é, no entanto, verdadeiro: nem todas as fórmulas do cálculo epsiloncalculus são a imagem de uma fórmula quantificada Ordinária sob esta data. Assim, o cálculo epsilon é mais expressivo do que o cálculo predicado, simplesmente porque os Termos epsilon podem ser combinados de formas mais complexas do que quantificadores.

The Epsilon Theorems

the second volume of Hilbert and Bernays ‘ Grundlagen dermatik (1939) provides an account of results on theepsilon-calculus that had been proved by that time., Isto inclui uma discussão do primeiro e segundo teoremas epsilon com aplicações para a lógica de primeira ordem, o método de substituição epsilon para aritmética com indução aberta, e um desenvolvimento da análise (isto é,aritmética de segunda ordem) com o cálculo epsilon.

o primeiro e O segundo epsilon teoremas são as seguintes:

No primeiro epsilon teorema, “quantificador-livre predicatelogic” destina-se a incluir a substituição de regra acima, soquantifier livre de axiomas, comportam-se como seus universal de vedantes., Uma vez que o cálculo deepsilon inclui a lógica de primeira ordem, o primeiro teorema de epsilonimpõe que qualquer desvio através da lógica de predicado de primeira ordem usada para dar vida a um teorema sem quantificadores a partir de axiomas sem quantificadores pode ser evitado. O segundo teorema de epsilon mostra que qualquer momento através do cálculo de epsilon usado para derivar um teorema na linguagem do cálculo de predicados a partir de axiomas na linguagem do cálculo predicado também pode ser evitado.,

Mais geralmente, o primeiro teorema de epsilon estabelece que quantificadores e epsilões podem sempre ser eliminados de uma prova de fórmula livre de aquantifier de outras fórmulas livres de quantificadores. Isto é de particular importância para o programa de Hilbert, uma vez que os depósitos desempenham o papel de elementos ideais na matemática. Ifquantifier livre de fórmulas correspondem ao “real” parte da teoria matemática, o primeiro epsilon-teorema mostra que idealelements pode ser eliminado de provas de reais demonstrações, providedthe axiomas são também reais instruções.,

Esta ideia é esclarecida em uma certa coerência geral theoremwhich Hilbert e Bernays derivar a partir do primeiro epsilon-teorema, whichsays o seguinte: Deixar que \(F\) ser de qualquer sistema formal que resulta da predicado cálculo através da adição de uma constante, função, andpredicate símbolos mais verdadeiros axiomas que são quantificador – andepsilon-livre, e suponha que a verdade das fórmulas atômicas no newlanguage é decidível. Então \(F\) é consistente na forte sensação de que cada quantificador derivável – e fórmula livre de epsilon é verdadeira.,Hilbert and Bernays use this theorem to give a finitary consistencyproof of elementary geometry (1939, Sec 1.4).

a dificuldade para dar provas de consistência para aritmética e análise consiste em estender este resultado a casos em que o axioma contém elementos ideais, ou seja, Termos epsilon.

Leitura Adicional. As fontes originais sobre o cálculo epsilon e os teoremas epsilon (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939)permanecem disponíveis apenas em alemão. Leisenring 1969 é uma introdução relativamente moderna ao cálculo epsilon em inglês.,O primeiro e o segundo teorema de epsilon são descritos em detalhes em Zach2017. Moser & Zach 2006 dar uma análise detalhada para o caso sem igualdade. As provas originais são dadas para axiomas do cálculo epsilon. Maehara 1955 foi o primeiro cálculo de sequentes toconsider com termos epsilon. He showed how to provet The second epsilon theorem using cut elimination, and then strengthened the theorem to include the schema of extensionality(Maehara 1957). Baaz et al. 2018 give an improved version of the firstepsilon theorem., Correções a erros na literatura (incluindo o livro de Leisenring) podem ser encontradas em Flannagan 1975; Ferrari 1987;e Yasuhara 1982. A variation of the epsilon calculus based on Skolemfunctions, and therefore compatible with first-order logic, isdiscused in Davis & Fechter 1991.

Herbrand’s Theorem

the version of Herbrand’s theorem just described followsimmediately from the Extended First Epsilon Theorem ofHilbert and Bernays., Usando métodos associados com a prova do teorema de epsilon, no entanto, Hilbert e Bernays derivaram um resultado maior que,como a formulação original de Herbrand, fornece mais informações. Para entender as duas partes do teorema, ele ajuda a considerar um exemplo particular. Deixe \(a\) ser aformula

\ Onde \(B\) é livre de quantificadores. A negação de \(A\) é equivalente a \ por Skolemizing, i.e.,, usingfunction símbolos para testemunhar os quantificadores existencial, obtemos\ Levando a negação desta, vemos que o originalformula é “equivalente” a \

Quando nos referimos a uma instância da matriz \(A^H\), wemean uma fórmula que é obtido substituindo termos do expandedlanguage na matriz de \(A^H\). Podemos agora afirmar que a formulação de Hilbert andBernays de

O teorema de Herbrand também pode ser obtida usando a eliminação de cortes, através do teorema de Gentzen.,No entanto, a prova usando o segundo teorema de epsilon tem a teoria de ser a primeira prova completa e correta do teorema deherbrand. Além disso, e isto é raramente reconhecido,considerando que a prova baseada em corte de eliminação fornece um limite para thelength de Herbrand disjunção apenas como uma função do corte rankand complexidade do corte fórmulas na prova, o comprimento obtainedfrom a prova com base no epsilon cálculo fornece uma vinculado como afunction do número de aplicações do total de axioma, a classificação e o grau de epsilon-termos que ocorrem nele., Em outras palavras, o comprimento da disjunção de Herbrand depende apenas da complexidade Quantificacional das substituições envolvidas, e,por exemplo, não em tudo sobre a estrutura proposicional ou o comprimento da prova.

a versão do teorema de Herbrand indicado no início desta seção é essencialmente o caso especial de(2) em que aformula \(a\) é existencial. À luz deste caso especial, (1) é equivalente à afirmação de que uma fórmula \(A\) é derivável lógica de predicados de primeira ordem se e somente se \(a^H\) é., A orientação para a frente desta equivalência é muito mais fácil de provar; de facto, para qualquer fórmula \(a, a \rightarrow A^H\) é derivável na lógica de predicados.Provar a direcção inversa implica eliminar os símbolos de função adicional em \(A^H\) e é muito mais difícil, especialmente na presença da igualdade. É aqui que os métodos epsilon desempenham um papel central.

a striking application of Herbrand “s theorem and related methods isfound in Luckhardt “s (1989) analysis of Roth”s theorem. Para a discussão de extensões úteis dos métodos de Herbrand, ver Sieg 1991.,Uma versão model-theoretic disto é discutida em Avigad 2002a.

o método de substituição Epsilon e aritmética

como observado acima, historicamente, o interesse primário no cálculo epsiloncalculus foi como um meio para obter provas de consistência.As palestras de Hilbert de 1917-1918 já notam que onecan facilmente provar a consistência da lógica proposicional, tomando variáveis proposicionais e fórmulas para variar sobre os valores de verdade 0 e 1, e interpretando os conectivos lógicos como as operações correspondentes., Da mesma forma, pode-se provar a consistência da lógica predicada (ou o cálculo epsilon puro), especializando-se eminterpretações onde o universo de discurso tem um único elemento.Estas considerações sugerem o seguinte programa mais geral para a obtenção de consistência:

• estenda o cálculo epsilon de tal forma que represente maiores partes da matemática.
• mostra, usando métodos finitários, que cada prova no sistema Extended tem uma interpretação consistente.,

suponha que desejamos mostrar que o sistema acima é consistente; por outras palavras, queremos mostrar que não há prova da fórmula \(0 =1\). Ao empurrar todas as substituições para os axiomas e substituir as freevariáveis pela constante 0, é suficiente mostrar que existe uma prova soproposicional de \(0 = 1\) de um conjunto finito de instantes fechados dos axiomas. Para isso, basta mostrar que, dada qualquer conjunto finito de instâncias fechadas de axiomas, pode-se atribuir valores numéricos aos Termos de tal forma que todos os axiomas são verdadeiros sob a interpretação., Uma vez que as operações aritméticas \(+\) e \(\vezes\)podem ser interpretadas da forma habitual, a única dificuldade reside na infinição de valores apropriados para atribuir aos Termos epsilon.

O método de substituição epsilon de Hilbert pode ser descrito, grosso modo, como segue:

uma prova de consistência finita é obtida uma vez que é mostrado de maneira afinitariamente aceitável que este processo de”reparos” sucessivos termina. Se o fizer, todas as formulações críticas são fórmulas verdadeiras sem Termos epsilon.,

esta ideia básica (a “Hilbertsche Ansatz”) foi definida por Hilbert em sua palestra de 1922 (1923), e elaborada em lecturesin 1922-23. Os exemplos dados lá, no entanto, só tratam de proofs nos quais todas as instâncias do axioma transfinita correspondem a um único termo epsilon \(\varepsilon x A(x)\). O desafio era ampliar a abordagem a mais de um termo epsilon, a epsilonterms aninhados, e finalmente a epsilons de segunda ordem (a fim de obter prova de aconsistência não apenas da aritmética, mas da análise).,este é apenas um esboço das dificuldades envolvidas na ideia de extendingHilbert para o caso geral. Ackermann (1924) forneceu tal generalização usando um procedimento que “backtracks”sempre que uma nova interpretação em uma determinada fase resulta na necessidade de corrigir uma interpretação já encontrada em uma fase anterior.o procedimento de Ackermann aplicava-se a um sistema de segunda ordem, no qual, no entanto, os Termos de segunda ordem eram restritos para excluir a ligação cruzada de epsilons de segunda ordem., Isto equivale, grosso modo, a uma restrição à compreensão aritmética como princípio de formação de conjuntos Disponível (ver a discussão no final desta secção). Outras dificuldades com os Termos epsilon de segunda ordem surgiram, e rapidamente tornou-se evidente que a prova como ele era falacioso. No entanto, ninguém na escola de Hilbert percebeu a dificuldade até 1930, quando Gödel anunciou seus resultados incompletos., Até então, acreditava-se que a prova (pelo menos com algumas modificações introduzidas por Ackermann, algumas das quais envolveram ideias da versão de von Neumann (1927) do método epsilonsubstitution) iria passar pelo menos pela primeira parte. Hilbert and Bernays (1939) suggest that the methods used onlyprovides a consistency proof for first-order arithmetic with openinduction. Em 1936, Gerhard Gentzen conseguiu dar uma prova da consistência da aritmética de primeira ordem em uma formulação baseada na lógica preditiva sem o símbolo epsilon., Esta prova usa indução de transfinite até \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) waslater able to adapt Gentzen’s ideas to give a correctconsistency proof of first-order arithmetic using theepsilon-substitution method.

análise, ou aritmética de segunda ordem, é a extensão do primeiro orderaritmético com o esquema de compreensão para a arbitrariedade de segunda orderformulae. A teoria é impredicativa na medida em que permite definir conjuntos de números naturais usando quantificadores que variam ao longo de todo o universo de conjuntos, incluindo, implicitamente, o conjunto sendo definido., Pode-se obter fragmentos predicativos desta teoria restringindo o tipo de fórmulas permitidas no compreensionaxiom. Por exemplo, a restrição discutida em conexão comackermann acima corresponde ao compreensionschema aritmético, no qual fórmulas não envolvem second-orderquantificadores. Existem várias maneiras de obter fragmentos mais fortes deanálise que, no entanto, são predicativamente justificados., Por exemplo, obtém-se uma análise ramificada associando uma variável ordinal rankto; grosso modo,na definição de um conjunto de um dado rank, quantificadores variam apenas sobre conjuntos de menor rank, ou seja, aqueles cujas definições são logicamente anteriores.

Leitura Adicional. Hilbert’s and Ackermann’s earlyproofs are discussed in Zach 2003; 2004. A prova de Von Neumann é o tema de Bellotti 2016. A prova de 1940 de Ackermann é discutida em Hilbert & Bernays 1970, e Wang 1963. A modern presentation isgiven by Moser 2006., Uma aplicação precoce da substituição epsilon é a interpretação sem contraexemplo (Kreisel 1951).

desenvolvimentos mais recentes

nesta secção discutimos o desenvolvimento do método de substituição epsilon para obter resultados de consistência para sistemas fortes; estes resultados são de natureza matemática. Não podemos,infelizmente, discutir os detalhes das provas aqui, mas gostaria de indicar que o método de substituição epsilon não morreu com o programa de Hilbert, e que uma quantidade significativa da pesquisa atual é realizada em epsilon-formalismos.,as provas de consistência de Gentzen para aritmética lançaram um campo de pesquisa conhecido como análise ordinal, e o programa de medição da força das teorias matemáticas usando notações ordinais ainda é buscado hoje. Isto é particularmente relevante para o programa de Hilbert estendido, onde o objetivo é justificar a matemática clássica em relação aos sistemas construtivos, ouquasi-construtivos., Os métodos de eliminação de cortes de Gentzen (e extensões à lógica infinitária desenvolvidas por PaulLorentzen, Petr Novikov e Kurt Schütte) têm, em grande parte,suplantado os métodos de substituição de epsilon nestas atividades. Mas os métodos epsiloncalculus fornecem uma abordagem alternativa, e ainda existe uma investigação activa sobre formas de estender os métodos de Hilbert-Ackermann às teorias mais antigas. O padrão geral permanece o mesmo:

1. Embed the theory under investigation in an appropriate epsiloncalculus.
2. descreva um processo de atualização de atribuições para os epsilontérmicos.,
3. Mostrar que o procedimento de normalização, isto é, dado qualquer conjunto ofterms, há uma seqüência de atualizações que resulta em uma assignmentthat satisfaz os axiomas.

Uma vez que a última etapa garante a consistência da teoria original,de um ponto de vista fundamental, está interessado nos métodos utilizados para provar a normalização. Por exemplo, obtém-se uma ordinalanálise atribuindo notações ordinais a passos no processo, de tal forma que o valor de uma notação diminui com cada passo.,

In the 1960’s, Tait (1960, 1965, 2010) extendedackermann’s methods to obtain an ordinal analysis of extension of arithmetic with principles of transfinite induction. As versões mais recentes e modernas desta abordagem podem ser encontradas em Mints2001 e Avigad 2002b., Mais recentemente, Balas, Tupailo, e Buchholzhave considerados mais fortes, mas ainda predicatively justificável,fragmentos de análise, incluindo teorias de aritmética comprehensionand um \(\Delta^{1}_1\)-a compreensão da regra (Balas, Tupailo &Buchholz 1996; Balas & Tupailo de 1999; ver também Balas de 2016). Arai2002 alargou o método de substituição epsilon às teorias que permitem a compreensão aritmética iterada ao longo de ordenamentos de poço primitivo., In particular, his work yields ordinalanalalyses for predicative fragments of analysis involving transfinitehierarchies and transfinite induction.

alguns primeiros passos foram dados no uso do método de substituição epsilon na análise de teorias impredicativas (ver Arai2003, 2006 e Mints 2015).

uma variação no Passo 3 acima envolve mostrar que o processo de normalização não é sensível à escolha de atualizações, ou seja,qualquer sequência de atualizações termina. Isto é chamado de strongnormalização., As casas da moeda de 1996 demonstraram que muitos dos procedimentos considerados possuem esta propriedade mais forte.

além dos tradicionais, fundamentais ramo da prova de teoria,hoje em dia há uma boa dose de interesse estrutural prooftheory, um ramo do assunto que se concentra na lógica deductivecalculi e suas propriedades. Esta investigação está estreitamente ligada a questões relevantes para a Ciência da computação, tendo a ver com a redução automatizada, a programação funcional e a verificação assistida por computador.Aqui, também, os métodos do estilo Gentzen tendem a dominar (veja Novamente a entrada sobre a teoria da prova)., Mas o cálculo epsilon também pode fornecer insights valiosos; cf. forexample Aguilera & Baaz 2019, or the discussion ofherbrand’s theorem above.além das investigações do cálculo epsilon na teoria da prova,duas aplicações devem ser mencionadas. Um deles é o uso da epsilonnotation na teoria dos conjuntos de Bourbaki (1958).O segundo, talvez de maior interesse atual, é o uso do operador do Epsilon nos sistemas de prova de teorema HOL e Isabelle, onde o poder expressivo dos Termos epsilon produz vantagens práticas significativas.,operadores Epsilon em Linguística, Filosofia e lógicas não-clássicas

lendo o operador epsilon como um operador de escolha indefinida(“an \(x\) tal que \(a(x)\)”) sugere que pode ser uma ferramenta útil na análise de frases de substantivos indefinidos e definidos na semântica formal. A notação epsilon foi,de facto, utilizada desta forma, e esta aplicação revelou-se útil, em particular, no tratamento da referência anafórica.considere o exemplo familiar: cada agricultor que possui um burro bate-lhe.,ns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Batidas}(x, y))\)

A desvantagem é que “um asno” sugerem uma existentialquantifier, e, portanto, a análise deve, de alguma forma, em paralelo formthe análise da frase 3 4:

mas o mais próximo possível da formalização,

1. \(\forall x ((\mathrm{Agricultor}(x) \wedge \existe y(\mathrm{Burro}(y) \wedge \mathrm{Dona}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Batidas}(x, y))\)

Conforme apontado por von Heusinger (1994), isso sugere que Neale iscommitted para pronomes de ser ambígua entre definitiva descrições\((\iota\)-expressões) e s-expressões., Heusinger sugere, em vez disso, a utilização de operadores epsilon indexados por funções de escolha (que se estendem no contexto). De acordo com esta abordagem, a análise de(1)

Esta abordagem para lidar com pronomes usando epsilon operadores indexedby funções escolha activar von Heusinger para lidar com uma ampla varietyof circunstâncias (ver Egli e von Heusinger, 1995; von Heusinger,2000).as aplicações do operador epsilon na semântica formal, e as funções de escolha em geral, têm recebido um interesse significativo nos últimos anos., Von Heusinger e Egli (2000a) lista, entre outros, os seguintes: representações de perguntas (Reinhart, 1992), specificindefinites (Reinhart, 1992; 1997; Inverno De 1997), E do tipo de pronomes(Hintikka e Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli e vonHeusinger 1995) e definitiva substantivo (von Heusinger 1997,2004).

para discussão das questões e aplicações do epsilon operatorin linguistics and philosophy of language, ver B. H., O artigo de Slater sobre o cálculo epsilon (citado na outra seção de recursos da Internet abaixo), e as coleções von Heusinger e Egli 2000 Evon Heusinger e Kempson 2004.

Meyer Viol (1995a, 1995b) contain further proof – and model-theoreticstudies of the epsilon calculus; specifically intuitionistic epsiloncalci. Aqui, os teoremas de epsilon já não possuem, ou seja,a introdução dos Termos de epsilon produz extensões não-conservadoras da lógica intuicionista. Outras investigações sobre operadores epsilon na lógica intuicionista podem ser encontradas em Shirai (1971), Bell (1993a,1993b) e DeVidi (1995)., Para operadores epsilon em lógicas de muitos valores,ver Mostowski (1963), para cálculo Epsilon modal, Fitting (1975).

Leitura Adicional. Segue-se uma lista de algumas publicações na área da linguagem e da linguística de relevância para o cálculo epsiloncalculus e suas aplicações. The reader is directed in particular to collections von Heusinger & Egli (eds.) 2000 and von Heusinger& Kempson (eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

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