The Pythagorean Theorem
The Pythagorean Theorem
Learning Objective(s)
· Use the Pythagorean Theorem to find the unknown side of a right triangle.
· Solve application problems involving the Pythagorean Theorem.,
Introdução
há muito tempo, um matemático grego chamado Pitágoras descobriu uma propriedade interessante sobre direito triângulos: soma dos quadrados dos comprimentos de cada triângulo pernas é o mesmo como o quadrado do comprimento da hipotenusa do triângulo. Esta propriedade-que tem muitas aplicações na ciência, arte, engenharia e arquitetura—é agora chamada de Teorema de Pitágoras.
vamos dar uma olhada em como este teorema pode ajudá-lo a aprender mais sobre a construção de triângulos., E a melhor parte é que nem precisas de falar grego para aplicar a descoberta de Pitágoras.
O Teorema de Pitágoras
Pitágoras estudou direito de triângulos e as relações entre as pernas e a hipotenusa de um triângulo, antes de derivar a sua teoria.,
O Teorema de Pitágoras
Se a e b são os comprimentos dos catetos de um triângulo e c é o comprimento da hipotenusa, então a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa.
Este relacionamento é representado pela fórmula: 
Na caixa acima, você pode ter notado que a palavra “quadrado”, bem como, a pequena 2s para o canto superior direito das letras ., Quadrado um número significa multiplicá-lo por si só. Então, por exemplo, para quadrado o número 5 você multiplica 5 • 5, e para quadrado o número 12, você multiplica 12 • 12. Alguns quadrados comuns são mostrados na tabela abaixo.,5″>
52 = 5 • 5
25
10
102 = 10 • 10
100
Quando você vê a equação , você pode pensar nisso como “o comprimento do lado de um tempos de si, mais o comprimento do lado b vezes a si é o mesmo como o comprimento do lado c vezes a si próprio.,”
let’s try out all of the Pythagorean Theorem with an actual right triangle.
Este teorema é verdadeiro para o direito do triângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos de ambas as pernas é o mesmo como o quadrado do comprimento da hipotenusa. E, na verdade, é verdade para todos os triângulos.
O Teorema de Pitágoras também pode ser representado em termos de área. Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado desenhado a partir da hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que são desenhados a partir das duas pernas., Você pode ver isso ilustrado abaixo no mesmo triângulo direito 3-4-5.
Note que o Teorema de Pitágoras só funciona com o direito de triângulos.
Encontrar o Comprimento da Hipotenusa
Você pode usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa de um triângulo se você sabe o comprimento do triângulo outros dois lados, chamados de pernas. De outra forma, se souberes o comprimento de A E b, podes encontrar C.,
No triângulo acima, são apresentadas medidas para pernas e b: 5 e 12, respectivamente. Você pode usar o teorema de Pitágoras para encontrar um valor para o comprimento de c, a hipotenusa.
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O Teorema de Pitágoras. |
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Suplente conhecidos os valores de a e b., |
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a Avaliar. |
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Simplificar. Para encontrar o valor de c, pense em um número que, multiplicado por si mesmo, é igual a 169. 10 funciona? Que tal 11? 12? 13? (Você pode usar uma calculadora para multiplicar se os números não são familiares.) |
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13 = c |
A raiz quadrada de 169 13., |
Usando a fórmula, você encontrar que o comprimento de c, a hipotenusa, é 13.
neste caso, você não sabia o valor de c-você recebeu o quadrado do comprimento da hipotenusa, e teve que descobrir a partir daí. Quando lhe é dada uma equação como 
e é pedido para encontrar o valor de c, isto é chamado de encontrar a raiz quadrada de um número. (Notice you found a number, c, whose square was 169.,)
encontrar uma raiz quadrada requer alguma prática, mas também requer conhecimento de multiplicação, divisão e um pouco de tentativa e erro. Olha para a tabela abaixo.,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., Se você pode lembrar esses números quadrados—ou se você pode usar uma calculadora para encontrá—los-então encontrar muitas raízes quadradas comuns será apenas uma questão de recordar.
For which of these triangles is 
?,
A)
B)
C)
D)
Encontrar o Comprimento de uma Perna
Você pode usar a mesma fórmula para encontrar o comprimento de um triângulo a perna se está a tomar medidas para os comprimentos da hipotenusa e a outra perna. Considere o exemplo abaixo.,
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Example |
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Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
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a = ?, b = 6 c = 7 |
neste triângulo, são apresentadas as medidas para a hipotenusa, c, e uma perna, b. A hipotenusa é sempre oposto ao ângulo reto, e é sempre o maior lado do triângulo. |
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Para encontrar o comprimento de perna, substitua os valores conhecidos para o Teorema de Pitágoras., |
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Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
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Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055…, que pode arredondar para 3,6. (Já que você está se aproximando, você usa o símbolo |
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Resposta |
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.)
Qual das seguintes usa corretamente o Teorema de Pitágoras para encontrar a falta de lado, x?,
A) 
B) x + 8 = 10
C) 
D) 
Usando o Teorema para Resolver Problemas do Mundo Real
O Teorema de Pitágoras é, talvez, um dos mais úteis fórmulas que você vai aprender em matemática porque existem muitas aplicações no mundo real configurações., Arquitetos e engenheiros usam esta fórmula extensivamente quando constroem rampas, pontes e edifícios. Veja os seguintes exemplos.
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Exemplo |
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Problema |
Os donos de uma casa que deseja converter uma escada que conduz da terra ao seu quintal em uma rampa. O alpendre está a 3 pés do chão, e devido aos regulamentos de construção, a rampa deve começar a 12 pés de distância da base do alpendre. Quanto tempo demora a rampa?, Use uma calculadora para encontrar a raiz quadrada, e arredondar a resposta para o décimo mais próximo. |
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Para resolver um problema como este, muitas vezes, faz sentido para desenhar um diagrama simples que mostra para onde as pernas e a hipotenusa do triângulo mentira., |
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a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., Você sabe que o triângulo é um triângulo direito já que o chão e a parte levantada do alpendre são perpendiculares—isso significa que você pode usar o teorema de Pitágoras para resolver este problema. Identificar a, b, e c. |
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Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento de c., |
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12.4 = c |
Use uma calculadora para encontrar c. A raiz quadrada de 153 é 12.369, (…) então você pode arredondar para que 12.4. |
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Resposta |
A rampa será de 12,4 metros de comprimento., |
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Exemplo |
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Problema |
Um veleiro tem uma grande vela em forma de um triângulo. A borda mais longa da vela mede 17 jardas, e a borda inferior da vela é de 8 jardas. Qual é a altura da vela?, |
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Desenhar uma imagem para ajudar você a visualizar o problema. Num triângulo retângulo, a hipotenusa será sempre o lado mais longo, por isso aqui deve ter 17 metros. O problema também diz que a borda inferior do triângulo é de 8 jardas., |
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Setup the Pythagorean Theorem. |
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a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
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Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
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Resumo
O Teorema de Pitágoras diz que, em qualquer triângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos do triângulo pernas é o mesmo como o quadrado do comprimento da hipotenusa do triângulo. Este teorema é representado pela fórmula . Simplificando, se você sabe o comprimento de dois lados de um triângulo direito, você pode aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do terceiro lado. Lembrem-se, este teorema só funciona para triângulos direitos.