Curbura

Intuitiv, curbura descrie pentru orice parte dintr-o curbă cât de mult curba schimbări de direcție pe o mică distanță parcursă (de exemplu, unghiul în rad/m), deci este o măsură de rata instantanee de schimbare a direcției de un punct care se deplasează pe curba: mai mare de curbura, cu atât mai mare rata de schimbare. Cu alte cuvinte, curbura măsoară cât de repede se rotește vectorul tangent al unității la curbă (rapid în ceea ce privește poziția curbei). De fapt, se poate dovedi că această rată instantanee de schimbare este exact curbura., Mai precis, să presupunem că punctul se deplasează pe curbă la o viteză constantă a unei unități, adică poziția punctului P(s) este o funcție a parametrului s, care poate fi considerat ca timpul sau ca lungimea arcului de la o anumită origine. Fie T(s) un vector tangent unitate al curbei la P(S), care este, de asemenea, derivatul lui P(S) în raport cu s. apoi, derivatul lui T (S) în raport cu s este un vector care este normal pentru curbă și a cărui lungime este curbura.,

Pentru a fi semnificative, definiția de curbură și diferite caracterizari nevoie de acea curba este continuu diferențiabile în apropierea P, pentru a avea o tangentă care variază continuu; este nevoie, de asemenea, că curba este de doua ori derivabila la P, pentru asigurarea existenței implicate limitele, și a derivat din T(s).caracterizarea curburii în ceea ce privește derivatul vectorului tangent al unității este probabil mai puțin intuitivă decât definiția în ceea ce privește cercul osculator, dar formulele pentru calcularea curburii sunt mai ușor de dedus., Prin urmare, și datorită utilizării sale în cinematică, această caracterizare este adesea dată ca o definiție a curburii.din punct de vedere istoric, curbura unei curbe diferențiabile a fost definită prin cercul oscilant, care este cercul care aproximează cel mai bine curba la un punct. Mai precis, având în vedere un punct P pe o curbă, fiecare alt punct Q al curbei definește un cerc (sau uneori o linie) care trece prin Q și tangentă la curba de la P. cercul oscilant este limita, dacă există, a acestui cerc atunci când Q tinde spre P., Apoi, centrul și raza de curbură a curbei la P sunt centrul și raza cercului osculator. Curbura este reciproca razei de curbură. Asta este, curbura este

κ = 1 R , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}},}

în cazul în care R este raza de curbură (întregul cerc are această curbură, poate fi citit ca 2π peste lungimea 2nR).această definiție este dificil de manipulat și de exprimat în formule. Prin urmare, au fost introduse alte definiții echivalente.,

în ceea ce privește parametrizarea lungimii arculuiedit

fiecare curbă diferențiabilă poate fi parametrizată în ceea ce privește lungimea arcului. În cazul unei curbe plane, aceasta înseamnă existența unei parametrizări γ(s) = (x(s), y(s)), Unde x și y sunt funcții diferențiabile cu valoare reală ale căror derivate satisfac

γ γ ‘‖ = x ‘( S ) 2 + y ‘ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }}”\|={\sqrt {x”(s)^{2}+y”(s)^{2}}}=1.,}

Acest lucru înseamnă că tangenta vector

T ( s ) = ( x ‘( s ) , y ‘( s ) ) {\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x”(s),y”(s){\bigr )}}

are norma egală cu un an și este, astfel, o unitate de tangenta vector.dacă curba este de două ori diferențiabilă, adică dacă există al doilea derivat al lui x și y, atunci derivatul lui T(s) există. Acest vector este normal la curbă, norma sa este curbura κ(S) și este orientată spre centrul curburii.,yle {\begin{aliniat}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}”(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\implică \mathbf {T} „(s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} „(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}””(e)\|={\sqrt {x””(s)^{2}+y””(e)^{2}}}\\\end{aliniat}}}

mai Mult decât atât, ca raza de curbură este

R ( s ) = 1 κ ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

și centrul de curbură este pe normala la curba, centrul de curbură este punctul

C ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T ‘ ( s ) ., {\displaystyle \mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} „(s).}

Dacă N(s) este unitatea normal vector obținut din T(s) printr-o rotație în sens antiorar de π/2, atunci

T ‘ ( s ) = k ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} „(s)=k(s)\mathbf {N} (s)}

cu k(s) = ± κ(s). Numărul real k (s) se numește curbură orientată sau semnată. Depinde atât de orientarea planului (definiția în sens invers acelor de ceasornic), cât și de orientarea curbei furnizate de parametrizare., De fapt, schimbarea variabilei S → –s oferă o altă Parametrizare a lungimii arcului și schimbă semnul k(s).

în termeni de parametrizare generalăedit

fie γ (t) = (x(t), y(t)) o reprezentare parametrică adecvată a unei curbe plane de două ori diferențiabile. Aici propriu-zis înseamnă că în domeniul definirii parametrizării, derivatul dy/deste definit, diferențiabil și nicăieri egal cu vectorul zero.,

Cu o astfel de parametrizare, semnat curbură

k = x ‘ y „− y ‘ x „( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {x”y”,”y”x””}{\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

în cazul în care numerele se referă la derivați cu privire la t. Curbura κ este, prin urmare,

κ = | x ‘ y „− y ‘ x „| ( x ‘2 + y’ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|x”y”,”y”x””|}{\left({x”}^{2}+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

acestea pot fi exprimate într-un mod fără coordonate ca

k = det ( γ ‘, γ „) ‖ γ ‘‖ 3 , κ = | det ( γ ‘, γ „) | ‖ γ ‘ ‖ 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}}.}

aceste formule pot fi derivate din cazul special al parametrizării lungimii arcului în felul următor. Condiția de mai sus privind parametrizarea implică faptul că lungimea arcului s este o funcție monotonă diferențiabilă a parametrului t și, invers, că t este o funcție monotonă a lui s., Mai mult decât atât, prin schimbarea, dacă este necesar, s la –s, se poate presupune că aceste funcții sunt în creștere și au un derivat pozitiv. Folosind notația din secțiunea anterioară și lanțul de regulă, trebuie

d γ d t = d s d t T , {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\mathbf {T} ,}

și astfel, luând norma de ambele părți,

d t d s = 1 ‖ γ ‘ ‖ , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|}},}

în cazul în care prim-denotă derivare cu privire la t.

curbura este norma de derivata T cu privire la s., Folosind formula de mai sus și regula lanțului, acest derivat și norma sa pot fi exprimate numai în termeni de γ’ și γ”, cu parametrul de lungime a arcului s complet eliminat, dând formulele de mai sus pentru curbură.

graficul unei funcțiiedit

graficul unei funcții y = f ( x), este un caz special al unei curbe parametrizate, de forma

x = t y = f (t ) . {\displaystyle {\begin{aliniat}x&=t\\y&=f(t).,\end{aliniat}}}

Ca prima și a doua derivată a lui x sunt 1 și 0, formulele anterioare pentru a simplifica

κ = | y „| ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y””|}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

pentru curbura, și să

k = y „( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

pentru semnat curbură.

în cazul general al unei curbe, semnul curburii semnate este oarecum arbitrar, ca în funcție de o orientare a curbei., În cazul graficului unei funcții, există o orientare naturală prin creșterea valorilor lui x. Acest lucru face semnificativ semnul curburii semnate.semnul curburii semnate este același cu semnul celui de-al doilea derivat al lui f. dacă este pozitiv, atunci graficul are o concavitate ascendentă și, dacă este negativ, graficul are o concavitate descendentă. Este zero, atunci unul are un punct de inflexiune sau un punct de ondulare.când panta graficului (adică derivatul funcției) este mică, curbura semnată este bine aproximată de al doilea derivat., Mai exact, folosind notația mare O, unul are

k ( x ) = y „+ o ( y ‘ 2 ) . {\displaystyle k (x) = y „”+o \ left ({y”}^{2}\right).}

este obișnuit în fizică și Inginerie să aproximăm curbura cu al doilea derivat, de exemplu, în teoria fasciculului sau pentru derivarea ecuației undelor unui șir tensionat și alte aplicații în care sunt implicate pante mici. Acest lucru permite de multe ori în considerare ca sisteme liniare, care sunt neliniare altfel.,

Polar coordinatesEdit

Dacă o curbă este definită în coordonate polare prin raza exprimat ca o funcție a unghiului polar, care este r este o funcție de θ, atunci curbura sa este

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r ‘2 − r r” | ( r 2 + r ‘ 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\stânga|r^{2}+2{r”}^{2}-r\,r””\drept|}{\left(r^{2}+{r”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

în cazul în care prim se referă la o diferențiere cu privire la θ.,

Acest lucru rezultă din formula generală parametrizations, prin luarea în considerare a parametrizare

x = r ( θ ) cos ⁡ θ y = r ( θ ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aliniat}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aliniat}}}

Implicit curveEdit

κ = | F y 2 F x x − 2 F x F y F x y + F 2 x F y y | ( F x 2 + F y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\stânga|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{aa}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

curbura semnată nu este definită, deoarece depinde de o orientare a curbei care nu este furnizată de ecuația implicită. De asemenea, schimbarea F în –F nu schimbă curba, ci schimbă semnul numărătorului dacă valoarea absolută este omisă în formula precedentă.

un punct al curbei unde Fx = Fy = 0 este un punct singular, ceea ce înseamnă că curba nu este diferențiabilă în acest punct și astfel că curbura nu este definită (cel mai adesea, punctul este fie un punct de trecere, fie un vârf).,

formula de mai sus pentru curbură poate fi derivată din expresia curburii graficului unei funcții folosind teorema implicită a funcției și faptul că, pe o astfel de curbă, cineva are

d y d x = − f x f y . {\displaystyle {\frac {u}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

Exempleedit

poate fi util să verificați pe exemple simple că diferitele formule date în secțiunile precedente dau același rezultat.

CircleEdit

o Parametrizare comună a unui cerc de rază r este γ(t) = (R cos t, r sin t)., Formula de curbura oferă

k ( t ) = r 2 sin 2 ⁡ t + r 2 cos 2 ⁡ t ( r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sin 2 ⁡ t ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

rezultă, așa cum era de așteptat, că raza de curbură este raza cercului și că centrul curburii este centrul cercului.

cercul este un caz rar în care arc-lungime parametrizare este ușor pentru a calcula, așa cum este

γ ( s ) = ( r cos ⁡ s r , r sin ⁡ s r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\pentru {\frac {s}{r}},r\sin {\frac {s}{r}}\right).}

Acesta este un arc de cerc de lungime parametrizare, deoarece norma de

γ ‘ ( s ) = ( − sin ⁡ s r , cos ⁡ s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}”(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

este egal cu unu. Această Parametrizare dă aceeași valoare pentru curbură, deoarece se ridică la împărțirea cu r3 atât în numărător, cât și în numitor în formula precedentă.

același cerc poate fi definit și prin ecuația implicită F (x, y) = 0 cu F(x, y) = x2 + y2 – r2., Apoi, formula pentru curbură în acest caz dă

κ = | f y 2 f x x − 2 F X F Y F X y + F x 2 F y y | ( F x 2 + F Y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 ( 4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{aliniat}\kappa &={\frac {\stânga|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{aa}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\end{aliniat}}}

ParabolaEdit

să ne gândim la parabolă y = ax2 + bx + c.

Acesta este graficul unei funcții, derivate 2ax + b, și al doilea derivat 2a. Deci, semnat de curbură

k ( x ) = 2 a ( 1 + ( 2 a x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k(x)={\frac {2a}{\left(1+(2ax+b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

are semnul a pentru toate valorile lui x., Acest lucru înseamnă că, dacă un > 0, concavitatea este îndreptate în sus peste tot; dacă un < 0, concavitatea este îndreptate în jos; pentru a = 0, curbura este zero peste tot, confirmând faptul că parabola degenerează într-o linie în acest caz.

curbura (nesemnată) este maximă pentru x = –b/2a, adică la punctul staționar (derivat zero) al funcției, care este vârful parabolei.

luați în considerare parametrizarea γ(t) = (t, at2 + bt + c) = (x, y). Primul derivat al lui x este 1, iar al doilea derivat este zero., Înlocuind în formula generală parametrizations oferă exact același rezultat ca mai sus, cu x înlocuiește cu t. Dacă vom folosi numere prime pentru instrumente financiare derivate în raport cu parametrul t.

aceeași parabolă, de asemenea, poate fi definită prin ecuația implicită F(x, y) = 0 cu F(x, y) = ax2 + bx + c – y. Ca Fy = -1, și Fyy = Fxy = 0, se obține exact aceeași valoare pentru (nesemnat) curbură. Cu toate acestea, curbura semnată nu are sens aici, deoarece-F (x, y) = 0 este o ecuație implicită validă pentru aceeași parabolă, care dă semnul opus pentru curbură.,

Frenet–Serret formule de avion curvesEdit

expresia de curbură În termeni de arc-lungime parametrizare este, în esență, prima Frenet–Serret formula

T ‘ ( s ) = κ ( s ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {T} „(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s)}

în cazul în care numerele se referă la instrumente financiare derivate în raport cu lungimea arcului s, și N(s) este normal vector unitate în direcția de T'(s).deoarece curbele plane au torsiune zero, a doua formulă Frenet–Serret asigură relația

d N d s = − κ t, = − κ D γ D s ., {\displaystyle {\begin{aliniat}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\ end{aligned}}}

pentru o Parametrizare generală cu un parametru t, este nevoie de expresii care implică derivate cu privire la t. deoarece acestea sunt obținute prin înmulțirea cu DS/dt a derivatelor cu privire la s, pentru orice Parametrizare corespunzătoare

n ‘( t ) = − κ ( t ) γ ‘ ( t ) . „(t) = -\kappa (t) {\boldsymbol {\gamma }}”(t).}

---