Epsilon Calcul

Prezentare

De la începutul secolului David Hilbert și Henri Poincaréwere recunoscut ca doi dintre cei mai importanți matematicieni din theirgeneration. Hilbert gama de matematică interese a fost largă,și a inclus un interes în bazele matematicii: hisFoundations de Geometrie a fost publicată în 1899, și de thelist de întrebări adresate Congresului Internațional ofMathematicians în 1900, trei abordate distinct foundationalissues.,

în Urma publicării paradoxul lui Russell, Hilbertpresented o adresă la cel de-al Treilea Congres Internațional ofMathematicians în 1904, în cazul în care, pentru prima dată, el a schițat hisplan pentru a oferi o fundamentare riguroasă pentru matematică prin syntacticconsistency dovezi. Dar nu sa întors la subiect cu seriozitatepână în 1917, când a început o serie de prelegeri pe temelilematematică cu ajutorul lui Paul Bernays., Deși Hilbert wasimpressed de lucrările lui Russell și Whitehead în PrincipiaMathematica, el a devenit convins că logicist încercare de a reduce matematica la logică nu ar putea reuși, datorită, în special la non-logice caracterul lor axiomă a reductibilitatea. În același timp, el a judecat respingerea intuiționistă a legiimijlocul exclus ca fiind inacceptabil pentru matematică. Prin urmare, pentru a contracara preocupările ridicate de descoperirea paradoxurilor logice și seteteoretice, a fost necesară o nouă abordare pentru a justifica metodele matematice moderne.,până în vara anului 1920, Hilbert formulase o astfel de abordare. În primul rând,metodele matematice moderne urmau să fie reprezentate în deductivitatea formalăsisteme. Al doilea rând, aceste sisteme formale au fost să fie s-au dovedit syntacticallyconsistent, nu de a expune un model sau reducerea lor consistență sistem de alta, dar printr-o direct metamathematical argument de anexplicit, „finitary” caracter. Abordarea a devenit cunoscutăca program al lui Hilbert. Epsilon calcul a fost de a oferi prima componentă a thisprogram, în timp ce lui epsilon metodei de substituție a fost de a oferi a doua.,calculul epsilon este, în forma sa cea mai de bază, o extensie a logicii predicate de ordinul întâi cu o „operație epsilon”care alege, pentru orice formulă existențială adevărată, un martor al cuantificatorului existențial. Extensia este conservatoare în sensulcă nu adaugă noi consecințe de prim ordin. Dar,în schimb, cuantificatori poate fi definită în termeni de epsilon, sofirst-logica de ordinul poate fi înțeleasă în termeni de cuantificator-freereasoning implică epsilon funcționare. Este această din urmă caracteristicăcare face calculul convenabil pentru a dovediconsistență., Potrivit extensiile de epsilon calcul a face posibil de a încorpora mai puternic, quantificational teorii de numere andsets în cuantificator-gratuit calculi. Hilbert se aștepta să fieposibil să demonstreze coerența unor astfel de extensii.în prelegerea sa de la Hamburg din 1921 (1922), Hilbert a prezentat pentru prima dată ideea utilizării unei astfel de operații pentru a face față principiului mijlocului exclus într-un sistem formal de aritmetică., Aceste idei weredeveloped în epsilon calcul și epsilon substitutionmethod într-o serie de cursuri de curs între 1921 și 1923, și inHilbert e (1923). Prezentarea finală a calculului epsilon poate fi găsită în disertația lui Wilhelm Ackermann (1924).

această secțiune va descrie o versiune a calculului corespunzătoarelogica de prim ordin, în timp ce extensiile la prima și a doua ordine aritmetică vor fi descrise mai jos.

fie \(L\) un limbaj de prim ordin, adică o listă desimboluri constante, funcționale și de relație cu arități specificate., Theset de epsilon termenii și un set de formule de \(L\) sunt definedinductively, simultan, după cum urmează:

Substituție și noțiunile de liber și legat variabilă, sunt definiteîn mod obișnuit; în special, variabil \(x\) devine obligat în termen \(\varepsilon x O\). Interpretarea intenționată este că\(\varepsilon X a\) denotă unele \(x\) satisfăcătoare \(a\), dacăexistă unul., Astfel, epsilon condiții sunt guvernate de followingaxiom (Hilbert e „transfinite axiomă”): \ În plus, epsilon calcul include un set complet de axiome care reglementează classicalpropositional conective, și axiome care reglementează egalitatea simbol.Singurele reguli ale calculului sunt următoarele:

• Modus ponens
• substituție: de la \(A(x)\), încheie \(A(t)\), pentru orice termen\(t.,\)

mai Devreme forme de epsilon calcul (cum ar fi cel prezentat inHilbert 1923) folosesc o dublă formă de epsilon operator, în care\(\varepsilon x O\) returnează o valoare falsificarea \(O(x)\). Versiunea de mai sus a fost folosită în disertația lui Ackermann (1924) și a devenit standard.

rețineți că calculul tocmai descris este fără cuantificator. Quantifierscan fi definite după cum urmează: \ De obicei cuantificator axiome și reguli pot fi derivate din acestea, astfel încât definitionsabove servi pentru a încorpora în primul rând de ordin logic în epsilon calcul., Totuși, inversul nu este adevărat: nu orice formulă din epsiloncalculus este imaginea unei formule cuantificate obișnuite în cadrul acestei nunți. Prin urmare, calculul epsilon este mai expresiv decât calculul predicat, pur și simplu pentru că termenii epsilon pot fi combinați în moduri mai complexe decât cuantificatorii.

Epsilon Teoreme

Al doilea volum de Hilbert și Bernays’ Grundlagen derMathematik (1939) oferă un cont de rezultatele pe theepsilon-calcul care au fost s-au dovedit până în acel moment., Aceasta include adiscussion de primul și al doilea epsilon teoreme cu aplicatiilor de ordinul întâi, logica, epsilon metodei de substituție pentru arithmeticwith deschide inducție, și o dezvoltare a analizei (care este,de ordinul al doilea aritmetică) cu epsilon calcul.

prima și A doua epsilon teoreme sunt după cum urmează:

În primul epsilon teorema, „cuantificator-gratuit predicatelogic” este destinat să includă înlocuirea regula de mai sus, soquantifier-gratuit axiome se comporte ca lor universal de închidere., Deoarece theepsilon calcul include în primul rând de ordin logic, prima epsilon theoremimplies că orice ocol prin ordinul întâi predicatul logic folosit toderive un cuantificator-gratuit teorema de cuantificator-gratuit axiome canultimately fi evitate. A doua teoremă epsilon arată că orice parcurgere prin calculul epsilon folosit pentru a deriva o teoremă în limba calculului predicat din axiome în limba calculului predicat poate fi, de asemenea, evitată.,în general, prima teoremă epsilon stabilește că cuantificatorii și epsilonii pot fi întotdeauna eliminați dintr-o dovadă a formulei fără aquantifier din alte formule fără cuantificator. Acest lucru estede o importanță deosebită pentru programul lui Hilbert, deoarece theepsilons joacă rolul de elemente ideale în matematică. Ifquantifier-gratuit formule corespund la „real” parte din teoria matematică, prima epsilon-teorema arată că idealelements pot fi eliminate din dovezile de real declarații, providedthe axiome sunt, de asemenea, real declarații.,

Această idee este făcută precis într-o anumită general consistență theoremwhich Hilbert și Bernays derivă din prima epsilon-teorema, whichsays următoarele: Las \(F\) să fie orice sistem formal care rezultatele de la predicatul de calcul prin adăugarea constantă, funcția, andpredicate simboluri plus adevărate axiome care sunt cuantificator – andepsilon-free, și să presupunem că adevărul de formule atomice în introducerea este decidabilă. Apoi \(F\) este consecvent în sensul puterniccă fiecare formulă cuantificabilă derivabilă și fără epsilon este adevărată.,Hilbert și Bernays folosesc această teoremă pentru a da o consistență finitarăproof geometriei elementare (1939, Sec 1.4).dificultatea de a da dovezi de coerență pentru aritmetică șianaliză constă în extinderea acestui rezultat la cazurile în care axiomele conțin, de asemenea, elemente ideale, adică Termeni epsilon.

lectură suplimentară. Sursele originale pe epsilon-calculusand epsilon teoreme (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939)rămân disponibile doar în limba germană. Leisenring 1969 este relativintroducerea modernă a cărții în calculul epsilon în limba engleză.,Prima și a doua teoremă epsilon sunt descrise în detaliu în Zach2017. Moser & Zach 2006 oferă o analiză detaliată a cazuluifără egalitate. Dovezile originale sunt date pentru axiomaticăprezentări ale calculului epsilon. Maehara 1955 a fost primulia în considerare calculul secvențial cu termeni epsilon. El a arătat cum să provethe doua epsilon teorema folosind taie eliminare, și thenstrengthened teorema de a include schema de extensionality(Maehara 1957). Baaz și colab. 2018 oferă o versiune îmbunătățită a primuluiteorema lui esilon., Corecții la erorile din literatură (inclusivcartea lui leisenring) pot fi găsite în Flannagan 1975; Ferrari 1987;și Yasuhara 1982. O variație de epsilon calcul bazat pe Skolemfunctions, și, prin urmare, compatibil cu ordinul întâi, logica, isdiscussed în Davis & Fechter 1991.

Teorema lui Herbrand

Versiunea teoremei lui Herbrand descrisă urmeazăimediat din prima teoremă Epsilon extinsă ofHilbert și Bernays., Folosind metode asociate cu dovada de doua epsilon teorema, cu toate acestea, Hilbert și Bernays derivate astronger rezultat că, la fel ca Herbrand este original formulare,oferă mai multe informații. Pentru a înțelege cele două părți ale theorembelow, ajută să ia în considerare un anumit exemplu. Fie \(a\) să fieformula

\ unde \(B\) este fără cuantificator. Negarea \(a\) este echivalentă cu \ prin Skolemizare, adică.,, usingfunction simboluri pentru a asista la cuantificatorii existențial, obținem\ Iei negarea acest lucru, vom vedea că originalformula este „echivalent” pentru a \

atunci Când ne referim la un exemplu de matrice a \(A^H\), wemean o formulă care este obținut prin substituirea termenilor în expandedlanguage în matricea \(A^H\). Acum putem stat Hilbert andBernays formularea

teorema lui Herbrand, de asemenea, pot fi obținute prin utilizarea cutelimination, prin Gentzen e „midsequent teorema.,”Cu toate acestea, dovada folosind a doua teoremă epsilon are convingerea că este prima dovadă completă și corectă a teoremei lui Herbrand. În plus, și acest lucru este rareori recunoscut,întrucât dovada bazat pe tai-eliminarea oferă un legat pe lungimea de Herbrand disjuncții doar ca o funcție a tăiat rankand complexitatea taie formule în dovada, lungimea obținute dovada bazează pe epsilon de calcul oferă un legat ca afunction de numărul de cereri de transfinite axiomă, iar rangul și gradul de epsilon-termeni care apar acestea., Cu alte cuvinte, lungimea disjuncției Herbrand depinde numai de complexitatea cuantificativă a substituțiilor implicate și, de exemplu, deloc de structura propozițională sau de lungimea rezistenței.

Versiunea teoremei lui Herbrand enunțată la începutul acestei secțiuni este în esență cazul special al lui (2) în care formula \(A\) este existențială. În lumina acestui caz special, (1) esteechivalent cu afirmația că o formulă \(a\) este derivabilă în logica predicatului de prim ordin dacă și numai dacă \(A^H\) este., La forwarddirection de această echivalență este mult mai ușor pentru a dovedi, în fapt, pentruorice formula \(O \rightarrow O^H\) este derivabile în predicatul logic.Dovedirea Direcției inverse implică eliminarea simbolurilor suplimentare ale funcției în \(A^H\) și este mult mai dificilă, mai ales în prezența egalității. Aici se joacă metodele epsilon. rolul central.o aplicație izbitoare a teoremei lui Herbrand și a metodelor conexe este găsită în analiza lui Luckhardt (1989) a teoremei lui Roth. Pentru adiscussion de extensii utile ale metodelor Herbrand, a se vedea Sieg 1991.,O versiune model-teoretică a acestui lucru este discutată în Avigad 2002a.

metoda de substituție Epsilon și aritmetica

după cum sa menționat mai sus, istoric, interesul primar în epsiloncalculus a fost ca un mijloc de obținere a dovezilor de consistență.Hilbert prelegeri din 1917-1918 deja rețineți că onecan dovedi cu ușurință coerența de logica propozitiilor, de takingpropositional variabilele și formulele pentru gama de peste adevărul valorile 0 and1, și interpretarea conective logice ca correspondingarithmetic operațiuni., În mod similar, se poate dovedi coerența logicii predicate (sau calculul pur epsilon), prin specializarea în interpretări în care universul discursului are un singur element.Aceste considerații sugerează următorul program mai general pentruîmbunătățirea consistenței:

• extindeți calculul epsilon astfel încât să reprezinte mai multe părți ale matematicii.
• arată, folosind metode finitary, că fiecare dovadă în extendedsystem are o interpretare consistentă.,

Să presupunem că dorim să arătăm că sistemul de mai sus este consecvent; în alte cuvinte, dorim să arătăm că nu există nici o dovadă a formulei \(0 =1\). Prin împingerea substituții la axiome și înlocuirea freevariables de constanta 0, este suficient să se arate că există nopropositional dovada de \(0 = 1\) dintr-un set finit de închis instancesof axiomele. Pentru asta, este suficient să se arate că, având în vedere orice finiteset a închis cazuri de axiome, se pot atribui valori numerice toterms în așa fel încât toate axiomele sunt adevărate sub theinterpretation., Deoarece operațiile aritmetice \ ( + \ ) și \(\times\) pot fi interpretate în mod obișnuit, singura dificultate constă îngăsirea valorilor adecvate pentru atribuirea Termenilor epsilon.metoda de substituție Epsilon a lui Hilbert poate fi descrisă, aproximativ, după cum urmează:

o dovadă de consistență finitară se obține odată ce se arată într-o manieră acceptabilă că acest proces de”reparații” succesive se termină. Dacă se întâmplă, toate formulele criticesunt formule adevărate fără termeni epsilon.,

Această idee de bază (de „Hilbertsche Ansatz”) a fost stabilit outfirst de Hilbert în 1922 vorbi (1923), și a elaborat în lecturesin 1922-23. Exemplele date acolo, cu toate acestea, face numai withproofs în care toate instanțele transfinite axiomă corespunde o singura epsilon termen \(\varepsilon x O(x)\). Provocarea a fost extinderea abordării la mai mult de un termen epsilon, la epsilon imbricate și, în cele din urmă, la epsilon de ordinul doi (pentru a obține o dovadă de coerență nu doar a aritmeticii, ci a analizei).,aceasta este doar o schiță a dificultăților implicate în extindereaideea lui Hilbert la cazul general. Ackermann (1924) providedsuch o generalizare folosind o procedură care „se abate”ori de câte ori o nouă interpretare, la o anumită etapă rezultate în nevoie tocorrect o interpretare găsit deja la o etapă anterioară.procedura lui Ackermann s-a aplicat unui sistem de a doua ordinearitmetică, în care, totuși, termenii de ordinul doi au fost restricționați pentru a exclude legarea încrucișată a epsilonilor de ordinul doi., Aceasta echivalează,aproximativ, cu o restricție la înțelegerea aritmetică ca principiu de formare a setului Disponibil (a se vedea discuția de la sfârșitul acestei secțiuni). În continuare dificultăți cu doua comanda epsilon termssurfaced, și a devenit repede evident că dovada ca stoodwas eronată. Cu toate acestea, nimeni din școala lui Hilbert nu a realizatextinderea dificultății până în 1930, când Gödel și-a anunțat rezultatele., Până atunci, se credea că dovada (cel putin cu unele modificări introduse de Ackermann, unele dintre whichinvolved idei de la von Neumann (1927) versiune a epsilonsubstitution metoda) ar trece prin cel puțin pentru primul-orderpart. Hilbert și Bernays (1939) sugerează că metodele utilizate numai oferă o dovadă de consistență pentru aritmetica de prim ordin cu openinduction. În 1936, Gerhard Gentzen reușit să dea o dovadă de theconsistency de ordinul întâi aritmetică într-o formulă bazată onpredicate logica fără epsilon simbol., Această dovadă utilizeazăinducția transfinită până la \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) waslater capabil să se adapteze Gentzen idei pentru a da o correctconsistency dovada de ordinul întâi aritmetice folosind theepsilon-metodei de substituție.

analiza, sau aritmetica de ordinul doi, este extensia primei ordinearitmetică cu schema de înțelegere pentru a doua ordine arbitrarăformule. Teoria este impredicative în faptul că ea permite oneto defini seturi de numere naturale folosind cuantificatorii că gama pe întreg univers de seturi, inclusiv, implicit, setul beingdefined., Se pot obține fragmente predicative ale acestei teoriiprin restricționarea tipului de formule permise în comprehensionaxiom. De exemplu, restricția discutat în legătură withAckermann de mai sus corespunde aritmetică comprehensionschema, în care formulele nu implica doua-orderquantifiers. Există diferite modalități de a obține fragmente mai puternice deanaliză care sunt totuși justificate în mod predicativ., De exemplu,se obține o analiză ramificată prin asocierea unui rang ordinal pentru a seta variabile; aproximativ, în definiția unui set de rang dat,cuantificatorii variază numai peste seturi de rang inferior, adică cele ale căror definiții sunt logic anterioare.

Lectură suplimentară. Hilbert și Ackermann earlyproofs sunt discutate în Zach 2003; 2004. Dovada lui Von Neumann estesubiectul lui Bellotti 2016. Dovada lui Ackermann din 1940 este discutatăîn Hilbert & Bernays 1970 și Wang 1963. O prezentare modernă estedat de Moser 2006., O aplicare timpurie a substituției epsilon esteinterpretarea no-counterexemple (Kreisel 1951).în această secțiune discutăm despre dezvoltarea metodei de substituție epsilon pentru obținerea rezultatelor de consistență pentru sistemele puternice; acestearezultatele sunt de natură matematică. Nu putem, din păcate,a discuta detaliile de dovezi aici, dar ar dori să indice că epsilon-metodei de substituție nu a murit cu Hilbert’sprogram, și că o cantitate semnificativă de cercetare actual este carriedout în epsilon-formalisme.,

Gentzen coerența dovezi pentru aritmetică a lansat un domeniu de cercetare cunoscut sub numele de ordinal analiză, și programul de măsurare putere de teorii matematice usingordinal notații este încă urmărit de azi. Acest lucru este deosebit de relevant pentru programul extins al lui Hilbert, unde obiectivul este de a justifica matematica clasică în raport cu sistemele constructive sau cvasiconstructive., Gentzen metodele detăiați-eliminarea (și extensii pentru a infinitului logica dezvoltat de PaulLorentzen, Petr Novikov, și Kurt Schütte) au, în mare parte,înlocuită epsilon metode de substituție în aceste preocupări. Dar epsiloncalculus metode oferă o abordare alternativă, și nu există stillactive cercetări privind modalități de a extinde Hilbert-Ackermann metode tostronger teorii. Modelul general rămâne același:

1. încorporați teoria investigată într-un epsiloncalculus adecvat.
2. descrie un proces pentru actualizarea atribuiri la epsilonterms.,
3. Arată că procedura este normalizare, adică, având în vedere orice set eseniale, există o secvență de actualizări care duce la o assignmentthat satisface axiomele.deoarece ultimul pas garantează coerența teoriei originale, din punct de vedere fundamental, cineva este interesat de metodefolosit pentru a dovedi normalizarea. De exemplu, se obține o ordinalanalysis prin atribuirea de ordine notații de a pași în deprocedura, în așa fel încât valoarea unei notație scade witheach pas.,

   În 1960, Tait (1960, 1965, 2010) extendedAckermann de metode de a obține un ordinal analiza extensionsof aritmetică cu principiile inducției transfinite. Versiuni mai dinamice și moderne ale acestei abordări pot fi găsite în Mints2001 și Avigad 2002b., Mai recent, bomboane Mentolate, Tupailo, și Buchholzhave considerat mai puternic, dar încă predicatively justificată,fragmente de analiză, inclusiv teorii de aritmetică comprehensionand o \(\Delta^{1}_1\)-înțelegerea regula (Mentă, Tupailo &Buchholz 1996; bomboane de Mentă & Tupailo 1999; a se vedea, de asemenea, bomboane Mentolate 2016). Arai2002 a extins epsilon metodei de substituție a teoriilor thatallow o pentru a repeta aritmetică înțelegere de-a lungul primitiverecursive bine ordonări., În special, munca lui dă ordinalanalyses pentru predicativă fragmente de analiză implică transfinitehierarchies și inducției transfinite.

   primele măsuri au fost luate în utilizarea epsilon substitutionmethod în analiza impredicative teorii (vezi Arai2003, 2006 și Mentă 2015).o variație la Pasul 3 de mai sus implică faptul că normalizareaprocedura nu este sensibilă la alegerea actualizărilor, adică orice secvență de actualizări se termină. Aceasta se numește puternicănormalizare., Monetăriile 1996 au arătat că multe dintre proceduriconsiderate au această proprietate mai puternică.

   În plus față de tradițional, fundamentale ramură de dovada teorie,astăzi există o afacere bună de interes structurale prooftheory, o ramură a subiectului, care se concentrează pe logică deductivecalculi și proprietățile lor. Această cercetare este strâns legată de aspecte relevante pentru informatică, având legătură cu deducția automată, programarea funcțională și verificarea asistată de calculator.Tot aici, metodele în stil Gentzen tind să domine (vezi din nou intrarea pe teoria dovezilor)., Dar calculul epsilon poate oferi, de asemenea, informații valoroase; cf. forexample Aguilera & Baaz 2019, sau discuția despre teorema lui Herbrand de mai sus.în afară de investigațiile calculului epsilon în teoria probei, ar trebui menționate două aplicații. Unul este utilizarea de epsilonnotation în Bourbaki este Theorie des ansambluri (1958).Cea de-a doua, probabil de mare interes actual, este utilizarea de theepsilon-operator în teorema-dovedind sisteme HOL și Isabelle, în cazul în care puterea expresivă a epsilon-termeni randamentele significantpractical avantaje.,

   Epsilon Operatorii în Lingvistică, Filozofie, și Non-clasice Logica

   Citirea epsilon operator ca un nedeterminată alegerea operatorului(„un \(x\) astfel încât \(O(x)\)”) sugerează că acesta poate fi un instrument util în analiza nedeterminată și certă substantiv phrasesin semantică formală. Notația epsilon a fost de fapt atât de utilizată,iar această aplicație sa dovedit utilă în special în tratarea referinței anaforice.

   luați în considerare exemplul familiar

   1. fiecare fermier care deține un măgar îl bate.,ns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Bate}(x, y))\)

   dezavantajul este că „un măgar” sugerează o existentialquantifier, și, astfel, analiza ar trebui, cumva, în paralel formthe analiza de propoziție 3 dat de 4:

   dar cel mai apropiat posibil de formalizare,

   1. \(\pentrutoate x ((\mathrm{Fermier}(x) \wedge \există y(\mathrm{Măgar}(y) \wedge \mathrm{Detine}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Bate}(x, y))\)

   după Cum a subliniat de către von Heusinger (1994), acest lucru sugerează că Neale iscommitted la pronumele fiind ambiguă între certă descrieri\((\iota\)-expresii) și whe-expresii., Heusinger sugereazăîn loc să utilizeze operatori epsilon indexați prin funcții de alegere (caredepind de context). În conformitate cu această abordare, analiza(1) este

   Această abordare de a face cu pronumele folosind epsilon operatorii indexedby alegerea funcții permite von Heusinger de-a face cu o gamă largă de diverse circumstanțe (a se vedea Egli și von Heusinger, 1995; von Heusinger,2000).aplicațiile operatorului epsilon în semantica formală și alegereafuncțiile în general, au primit un interes semnificativ în ultimii aniani., Von Heusinger și Egli (2000a) lista, printre altele, următoarele: reprezentări de întrebări (Reinhart, 1992), specificindefinites (Reinhart 1992; 1997; Iarna 1997), E-tip de pronume(Hintikka și Culele 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli și vonHeusinger 1995) și certă expresii substantivale (von Heusinger 1997,2004).

   pentru discutarea problemelor și aplicațiilor operatorului epsilon în lingvistică și Filosofia limbajului, vezi B. H., Slater’sarticle pe epsilon calculi (citată în Alte Internet Resourcessection de mai jos), și colecțiile von Heusinger și Egli 2000 andvon Heusinger și Kempson 2004.

   Meyer Viol (1995a, 1995b) conțin o dovadă în plus – și modelul-theoreticstudies de epsilon calcul; în mod special intuiționistă epsiloncalculi. Aici, teoremele epsilon nu mai dețin, adică introducerea Termenilor epsilon produce extensii non-conservatoare ofintuitionistic logic. Alte investigații de epsilon operatorii inintuitionistic logica pot fi găsite în Shirai (1971), Bell (1993a,1993b) și DeVidi (1995)., Pentru epsilon-operatori în multe valori logice,a se vedea Mostowski (1963), pentru modal epsilon calculus, montare (1975).

   Lectură suplimentară. Următoarea este o listă a unor publicațiiîn domeniul limbajului și lingvisticii relevante pentru epsiloncalculus și aplicațiile sale. Cititorul este direcționat în special lacolecțiile von Heusinger & Egli (eds.) 2000 și von Heusinger& Kempson (eds.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

---