Funcția densității de probabilitate
de Marco Taboga, Dr.
distribuția de o variabilă aleatoare continuă poate fi caracterizat prin densitate de probabilitate (pdf). Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o valoare într-un interval dat este egală cu integrala funcției sale de densitate de probabilitate pe acel interval, care la rândul său este egală cu aria regiunii din planul xy delimitat de axa x, pdf și liniile verticale corespunzătoare limitelor intervalului.,de exemplu, în imaginea de mai jos linia albastră este pdf-ul unei variabile aleatoare normale, iar aria regiunii roșii este egală cu probabilitatea ca variabila aleatorie să aibă o valoare cuprinsă între -2 și 2.
Definitie
mai jos este o definiție formală.
Definiție, densitatea De probabilitate funcția de o variabilă aleatoare continuă 
este o funcție 
astfel încât
pentru orice interval .,
setul de valori pentru care este numit sprijinul .,pentru a integra funcția densității de probabilitate peste acest interval:
densitatea De probabilitate nu este o probabilitate
este important să înțelegem o diferență fundamentală între funcția densității de probabilitate, care caracterizează distribuția de o variabilă aleatoare continuă, și funcția de masă de probabilitate, care caracterizează distribuția unei variabile aleatorii discrete (amintiți-vă: o variabilă aleatoare este discretă dacă numărul de valori poate lua este numărabilă, în timp ce numărul de valori pe care o variabilă aleatoare continuă poate lua este de nenumărate)., La funcția de masă de probabilitate a unei variabile discrete este o funcție care vă oferă, pentru orice număr real , probabilitatea ca va fi egal cu . Dimpotrivă, dacă este o variabilă continuă, își funcția densității de probabilitate evaluate la un moment dat nu este probabilitatea ca va fi egal cu ., Ca o chestiune de fapt, această probabilitate este egală cu zero pentru orice pentru
unde este orice primitivă (sau nedeterminată integral) de .dacă sunteți nedumerit de ultimul rezultat, vi se recomandă să citiți prelegerea despre evenimentele cu probabilitate zero.
Deși nu este o probabilitate, valoarea pdf la un moment dat poate fi dat la o simplă interpretare:
unde este o creștere mică.,
dovada pe care o vom da nu este riguroasă. Mai degrabă, ne concentrăm pe intuiție. Din motive de simplitate, presupunem că pdf-ul este o funcție continuă. Strict vorbind, acest lucru nu este necesar, deși majoritatea PDF-urilor întâlnite în practică sunt continue (prin definiție, un pdf trebuie să fie integrabil; cu toate acestea, în timp ce toate funcțiile continue sunt integrabile, nu toate funcțiile integrabile sunt continue)., Dacă pdf-ul este continuă și este mic, atunci este bine aproximată prin pentru orice apartenența la interval 
. Rezultă că 
În cele de mai sus egalitatea aproximativă, vom lua în considerare probabilitatea ca va fi egal cu sau la o valoare care aparțin unui interval mic de lângă . În special, considerăm intervalul ., Probabilitatea este proporțională cu lungimea din intervalul mic pe care îl considerăm. Constanta de proporționalitate este funcția densității de probabilitate de evaluate la . Astfel, cea mai mare pdf este la un moment dat , cu atât mai mare este probabilitatea că va avea o valoare de aproape .,
Legate de concepte
Legate de concepte sunt cele de:
-
în comun funcția densității de probabilitate, care caracterizează distribuția continuă vector aleator;
-
marginale funcția densității de probabilitate, care caracterizează distribuția de un subset de înregistrări a unui vector aleator;
-
condiționată funcția densității de probabilitate, care este un pdf obținute de către condiționat pe realizarea de o altă variabilă aleatoare.,
mai multe detalii
funcțiile densității de probabilitate sunt discutate mai detaliat în prelegerea intitulată variabile aleatorii.
continuați să citiți glosarul
intrarea anterioară: probabilitatea anterioară
următoarea intrare: funcția de masă de probabilitate
cum se citează
vă rugăm să citați ca: