Integer (Română)

în predarea școlii elementare, numerele întregi sunt adesea definite intuitiv ca numerele naturale (pozitive), zero și negările numerelor naturale., Cu toate acestea, acest stil de definiție duce la multe cazuri diferite (fiecare operație aritmetică trebuie definită pe fiecare combinație de tipuri de număr întreg) și face obositor să demonstreze că numerele întregi respectă diferitele legi ale aritmeticii. Prin urmare, în matematica set-teoretică modernă, este adesea folosită o construcție mai abstractă care permite definirea operațiilor aritmetice fără nicio distincție de caz. Numerele întregi pot fi astfel construite formal ca clase de echivalență a perechilor ordonate de numere naturale (a,b).,

intuiția este că (a,b) reprezintă rezultatul scăzând b la a. Pentru a confirma așteptările noastre că 1 − 2 și 4 − 5 denotă același număr, vom defini o relație de echivalență ~ pe aceste perechi cu următoarele reguli:

( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

tocmai atunci când

a + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+C.}

Adăugarea și înmulțirea numerelor întregi pot fi definite în termeni de operații echivalente pe numerele naturale; folosind pentru a desemna clasa de echivalență având (A,b) ca membru, unul are:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \ cdot:=.}

negarea (sau inversul aditiv) unui număr întreg este obținută prin inversarea ordinii perechii:

− := . {\displaystyle -:=.}

prin urmare, scăderea poate fi definită ca adăugarea aditivului invers:

− := . {\displaystyle -:=.}

standard comanda pe numere întregi este dat de:

< {\displaystyle <} dacă și numai dacă a + d < b + c . {\displaystyle a+d<b+c.,}

este ușor de verificat că aceste definiții sunt independente de alegerea reprezentanților claselor de echivalență.

astfel, este notat cu

{ A − b, Dacă A ≥ B – (b-a ) , dacă a < b . {\displaystyle {\begin{cazuri}a-b,&{\mbox{daca }}o\geq b\\-(b-a),&{\mbox{daca }}o<b.\end{cazuri}}}

Dacă numerele naturale sunt identificate cu cele corespunzătoare de numere întregi (folosind încorporarea menționat mai sus), această convenție nu creează ambiguitate.,această notație recuperează reprezentarea familiară a numerelor întregi ca {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

câteva exemple sunt:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\ end{aligned}}}

în Informatică Teoretică, alte abordări pentru construirea de numere întregi sunt utilizate de provers teorema automate și motoarele de rescriere termen.Numerele întregi sunt reprezentate ca algebrice termeni construit folosind câteva operații de bază (de exemplu, zero, succ, pred) și, eventual, folosind numere naturale, care se presupune a fi deja construite (folosind, să zicem, Peano abordare).există cel puțin zece astfel de construcții de numere întregi semnate., Aceste construcții diferă în mai multe moduri: numărul de operații de bază utilizate pentru construcție, număr (de obicei, între 0 și 2) și tipurile de argumente acceptate de aceste operațiuni; prezența sau absența de numere naturale ca argumente de unele dintre aceste operațiuni, precum și faptul că aceste operațiuni sunt constructori gratuite sau nu, de exemplu, același număr întreg poate fi reprezentat folosind doar unul sau mai multe algebrice termeni.,

tehnica pentru constructia de numere întregi prezentate mai sus în această secțiune corespunde cazului particular în care există o singură operație de bază pereche ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}, care are ca argumente două numere naturale x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} , și returnează un număr întreg (egal cu x − y {\displaystyle x-y} ). Această operație nu este gratuită, deoarece numărul întreg 0 poate fi scris pereche(0,0) sau pereche(1,1) sau pereche(2,2) etc., Această tehnică de construcție este folosită de asistentul proof Isabelle; cu toate acestea, multe alte instrumente folosesc tehnici alternative de construcție, notabile cele bazate pe Constructori liberi, care sunt mai simple și pot fi implementate mai eficient în computere.

---