Legea lui Snell

Legea lui Snell poate fi derivată în diferite moduri.

derivarea din principiul lui Fermatedit

Legea lui Snell poate fi derivată din principiul lui Fermat, care afirmă că lumina parcurge calea care durează cel mai puțin timp., Prin luarea derivatului lungimii căii optice, punctul staționar este găsit dând calea luată de lumină. (Există situații de lumină care încalcă principiul lui Fermat prin faptul că nu ia cea mai mică cale de timp, ca în reflexia într-o oglindă (sferică).) Într-o analogie clasică, zona indicelui de refracție inferior este înlocuită de o plajă, zona indicelui de refracție mai mare lângă mare, iar cea mai rapidă cale pentru un salvator de pe plajă pentru a ajunge la o persoană care se îneacă în mare este să parcurgă o cale care urmează legea lui Snell.,

după Cum se arată în figura din dreapta, presupunem că indicele de refracție de mediu 1 mediu și 2 sunt n 1 {\displaystyle n_{1}} și n 2 {\displaystyle n_{2}} respectiv. Lumina intră mediu 2 mediu 1 prin punctul O.

faza vitezele luminii în mediu 1 mediu și 2 sunt

v 1 = c / n 1 {\displaystyle v_{1}=c/n_{1}} și v 2 = c / n 2 {\displaystyle v_{2}=c/n_{2}} respectiv.,

c {\displaystyle C} este viteza luminii în vid.

Să fi timpul necesar pentru ca lumina să călătorești cu trenul din punct de Q prin punctul O cu punctul P.

T = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + l 2 − 2 l x + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}

în cazul în care a, b, l și x sunt notate în partea dreaptă a figurii, x fiind o variabilă parametru.,heta _{2}}{v_{2}}}} n 1 sin ⁡ θ 1 c = n 2 sin ⁡ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}

Derivare de la Huygens”s principleEdit

Alternativ, Snell”s lege pot fi derivate folosind interferența dintre toate căile posibile de undă a luminii de la sursă la observator—rezultă în amestec distructiv peste tot, cu excepția extrema de fază (în cazul în care interferență constructivă)—care devin efective căi.,

derivarea din ecuațiile lui Maxwelledit

Un alt mod de a deriva Legea lui Snell implică o aplicare a condițiilor generale de limită ale ecuațiilor Maxwell pentru radiațiile electromagnetice.,θ 1 = n 2 k 0 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}

Vector formEdit

cos ⁡ θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} v → r e f l e c t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflecta} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}

Acest lucru se reflectă direcția vectorului de puncte înapoi spre partea de la suprafață în cazul în care lumina a venit.,{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v → r e f r a c t = ( n 1 n 2 ) l → + ( n 1 n 2 cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refracta} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r a c t = r l → + ( r c − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refracta} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}

Exemplu:

l → = { 0.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , r = n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflecta} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refracta} }=\{0.636396,-0.,771362\}}

Valorile cosinusului pot fi salvate și utilizate în ecuațiile Fresnel pentru a determina intensitatea razelor rezultate.