Proprietate asociativă
o operație binară ∗ {\displaystyle*} pe un set S care nu satisface legea asociativă se numește non-asociativă. Simbolic,
( x ∗ y ) ∗ z ≠ x ∗ ( y ∗ z ) pentru un x , y , z ∈ S . {\displaystyle(x * y) * z\neq x*(y * z) \qquad {\mbox{pentru unii }}x,y,z \ în S.}
pentru o astfel de operație, ordinea evaluării contează., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
de Asemenea, rețineți că infinit sume nu sunt, în general, asociativ, de exemplu:
( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\puncte \,=\,0}
în timp
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\puncte \,=\,1}
studiu de non-structuri asociative apare din motive oarecum diferit de masă de algebra clasică., O zonă din algebra non-asociativă care a crescut foarte mare este cea a algebrelor Lie. Acolo legea asociativă este înlocuită de identitatea Jacobi. Algebrele Lie abstractizează natura esențială a transformărilor infinitezimale și au devenit omniprezente în matematică.există și alte tipuri specifice de structuri non-asociative care au fost studiate în profunzime; acestea tind să provină din anumite aplicații sau domenii specifice, cum ar fi matematica combinatorie. Alte exemple sunt quasigrup, quasifield, inel non-Asociativ, algebră non-asociativă și magme non-asociative comutative.,
Nonassociativity virgulă calculationEdit
În matematică, adunare și înmulțire a numerelor reale este asociativă. În schimb, în informatică, adăugarea și înmulțirea numerelor în virgulă mobilă nu este asociativă, deoarece erorile de rotunjire sunt introduse atunci când valorile de dimensiuni diferite sunt unite.
chiar dacă majoritatea computerelor calculează cu 24 sau 53 de biți de mantisa, aceasta este o sursă importantă de eroare de rotunjire, iar abordări precum algoritmul de însumare Kahan sunt modalități de a minimiza erorile., Poate fi deosebit de problematic în calculul paralel.în general, parantezele trebuie utilizate pentru a indica ordinea evaluării dacă o operație non-asociativă apare de mai multe ori într-o expresie (cu excepția cazului în care notația specifică ordinea într-un alt mod, cum ar fi 2 3/4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Cu toate acestea, matematicienii sunt de acord cu o anumită ordine de evaluare pentru mai multe operații comune non-asociative. Aceasta este pur și simplu o convenție notațională pentru a evita parantezele.,
Un stânga-asociativ operațiunea este un non-asociativ operațiune care este în mod convențional sunt evaluate de la stânga la dreapta, de exemplu,
x ∗ y ∗ z = ( x ∗ y ) ∗ z w ∗ x ∗ y ∗ z = ( ( w ∗ x ) ∗ y ) ∗ z etc. } pentru toate w , x , y, Z ∈ s {\displaystyle \stânga.{\begin{matrix}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\\dreapta}{\mbox{pentru }}w,x,y,z\în S}
în timp ce o operație asociativă este convențional evaluate de la stânga la dreapta:
x ∗ y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) etc., } pentru toate w , x , y, Z ∈ s {\displaystyle \stânga.{\begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad\\\, \ end{matrix}} \ right\} {\mbox{pentru toți }}w, x,y, z\in S}
apar ambele operații asociative la stânga și la dreapta., Stânga-asociativ operațiuni includ următoarele:
- Scădere și împărțire de numere reale:
x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}
- Funcția de aplicare:
( f x, y ) = ( ( f x ) y ) {\displaystyle (f\x\,y)=((f\,x)\,y)} Această notație poate fi motivată de prelucrare izomorfism.,
Dreapta-asociativ operațiuni includ următoarele:
- Exponentiala de numere reale în exponent notație:
x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} Exponentiala este frecvent utilizat cu paranteze sau dreapta-associatively pentru un repetată a lăsat-asociativ exponentiala funcționare este de folos. Repetate puteri vor fi rescrise cu înmulțirea: ( x y ) z = x ( y z ) {\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}} Formatat corect, exponent, în mod inerent, se comportă ca un set de paranteze; de exemplu,, în expresia 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x+3}} adăugarea se efectuează înainte de exponentiere în ciuda faptului că există nu există paranteze 2 ( x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}} înfășurat în jurul valorii de ea. Astfel, având o expresie, cum ar fi x y z {\displaystyle x^{y^{z}}} , complet exponentul y z {\displaystyle y^{z}} de bază x {\displaystyle x} este evaluată prima., Cu toate acestea, în anumite contexte, mai ales în scrisul de mână, diferența dintre x y z = ( x y ) z {\displaystyle {x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}} , x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}} și x y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} poate fi greu pentru a vedea. Într-un astfel de caz, asociativitatea corectă este de obicei implicată.,
- definitie
Z → Z → Z = Z → ( Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x ↦ y ↦ x − y = x ↦ ( y ↦ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)} Folosind drept-asociativ notație pentru aceste operațiuni pot fi motivați de Curry–Howard corespondență și de prelucrare izomorfism.
operațiunile non-asociative pentru care nu este definită o ordine de evaluare convențională includ următoarele.,splaystyle o\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (o\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c}
- de a Lua produs vectorial a trei vectori:
a → × ( b → × c → ) ≠ ( a → × b → ) × c → o → a , b → , c → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\ori {\vec {c}}\qquad {\mbox{ pentru unele }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}}
- de a Lua perechi medie de numere reale:
( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 pentru orice x , y , z ∈ R cu x ≠ z ., {\displaystyle {(x+y)/2+z \peste 2}\neq {x+(y+z)/2 \peste 2}\qquad {\mbox{pentru }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ cu }}x\neq z.}