Associativ egenskap

en binär operation {\displaystyle *} på en uppsättning s som inte uppfyller associativ lag kallas icke-associativ. Symboliskt,

( x ∗ y ) ∗ z ≠ x ∗ ( y ∗ z ) för vissa x , y , z ∈ S . {\displaystyle(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{for some }}X,y,z\In S.}

för en sådan operation spelar utvärderingsordningen Roll., 1) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}

Observera också att oändliga summor inte i allmänhet är associativa, till exempel:

( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dots\,=\, 0}

medan

1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots \,=\, 1}

studien av icke-associativa strukturer härrör från orsaker som skiljer sig något från det vanliga i klassisk algebra., Ett område inom icke-associativa algebra som har vuxit mycket stor är det av Lie algebras. Där ersätts den associativa lagen av Jacobi-identiteten. Lie algebras abstrakt den väsentliga karaktären av infinitesimal transformationer, och har blivit allestädes närvarande i matematik.

det finns andra specifika typer av icke-associativa strukturer som har studerats på djupet; dessa tenderar att komma från vissa specifika tillämpningar eller områden som kombinatorisk matematik. Andra exempel är quasigroup, quasifield, icke-associativ ring, icke-associativ algebra och kommutativa icke-associativa magmer.,

nonassociativity of floating point calculationEdit

i matematik är tillägg och multiplikation av reella tal associativa. I datavetenskap är däremot tillägg och multiplikation av flyttal inte associativ, eftersom avrundningsfel införs när olika värden sammanfogas.

Även om de flesta datorer beräknar med en 24 eller 53 bitar av mantissa, är detta en viktig källa till avrundningsfel, och tillvägagångssätt som Kahan summeringsalgoritmen är sätt att minimera felen., Det kan vara särskilt problematiskt vid parallell databehandling.

Notation för icke-associativa operationsEdit

i allmänhet måste parenteser användas för att ange utvärderingsordningen om en icke-associativ operation visas mer än en gång i ett uttryck (om inte notationen anger ordningen på ett annat sätt, som 2 3 / 4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Matematiker är dock överens om en viss utvärderingsordning för flera vanliga icke-associativa operationer. Detta är helt enkelt en notationskonvention för att undvika parentes.,

En vänster-associativ operation är en icke-associativ operation som är konventionellt utvärderas från vänster till höger, dvs.

x ∗ y ∗ z = ( x ∗ y ) ∗ z w ∗ x ∗ y ∗ z = ( ( w ∗ x ) ∗ y ) ∗ z etc. } för alla w , x , y, z, s {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x * y * z=(x*y)*z \ qquad \ qquad \ quad\, \ \ w * x * y * z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matris}}\right\}{\mbox{alla }}w,x,y,z\i S}

medan en höger-associativ operation är konventionellt evalueras från höger till vänster:

x ∗ y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) osv., } för alla w , x , y, z, s {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x * y * z=X*(y * z) \qquad \qquad \quad\, \\w*x*y*z=w*(x*(y*z)) \quad \\{\mbox{etc.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad\\\, \ end{matrix}} \ right\} {\MBOX{for all }}W,x,y, z\in S}

både vänster-associativa och höger-associativa operationer uppstår., Vänster-associativa operationer inkluderar följande:

• subtraktion och uppdelning av reella tal:

x − y − z = ( x − y ) − Z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-Z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/Z}

• funktion ansökan:

( f X y) = ((((F X y ) F X) Y) {\displaystyle(F\,x\,y)=((f\,x)\, y)} denna notation kan motiveras av currying isomorfism.,

höger-associativa operationer inkluderar följande:

• exponentiering av reella tal i superscript notation:

X y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} Exponentiation används vanligen med parentes eller höger-associativt eftersom en upprepad vänster-associativ exponentiationsoperation är till liten nytta. Upprepade krafter skulle mestadels skrivas om med multiplikation: (x Y ) z = x (y z) {\displaystyle (x^{y})^{z}=X^{(yz)}} formaterad korrekt, superscript beter sig i sig som en uppsättning parenteser; t. ex., i uttrycket 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x + 3}} utförs tillägget före exponentiationen trots att det inte finns några uttryckliga parenteser 2(x + 3 ) {\displaystyle 2^{(x+3)}} lindade runt den. Således ges ett uttryck som x Y z {\displaystyle x^{y^{z}}}, utvärderas den fullständiga exponenten y z {\displaystyle y^{z}} av basen x {\displaystyle X} först., Men i vissa sammanhang, särskilt i handstil, skillnaden mellan X y z = ( x Y ) Z {\displaystyle {X^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}}, X y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}} och X y z = x ( y z ) {\displaystyle x^{y^{Z}}=X^{(y^{Z})} kan var svår att se. I ett sådant fall är rätten-associativitet vanligtvis underförstådd.,

• funktionsdefinition

z → z → Z = z → ( Z → Z ) {\rightaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} X Y y Y X − y = X ( Y X − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto X-y=X\mapsto (y\mapsto x-y)} användning av höger-associativ notation för dessa operationer kan motiveras av curry–Howard korrespondensen och av currying Isomorfismen.

icke-associativa operationer för vilka ingen konventionell utvärderingsordning definieras inkluderar följande.,splaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow C)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow C}

• tar korsprodukten av tre vektorer:

a → × ( b → × c→) (a → × b → ) × c → för vissa a → , b → , c → R 3 {\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow displaystyle {\vec {a}} \times ({\vec {B}} \Times {\vec {c}}) \neq ({\vec {a}} \times {\vec {B}})\Times {\vec {C}}\qquad {\MBOX{ for some}} {\vec {a}}, {\vec {b}}, {\vec {C}} \ in \ mathbb {R} ^{3}}

• tar det parvisa genomsnittet av reella tal:

( x + y ) / 2 + z 2 x + ( y + z ) / 2 2 för alla x , y , z r med xöster ., {\displaystyle {(x + y) / 2 + z \ över 2} \ neq {x+(y + z) / 2\över 2} \qquad {\mbox{för alla }}X,y,z \in\mathbb {R} {\mbox{ med }}x \ neq z.}

---