Epsilon Kalkyl

Översikt

Vid sekelskiftet David Hilbert och Henri Poincaréwere erkänd som de två viktigaste matematiker av theirgeneration. Hilberts utbud av matematiska intressen var brett och inkluderade ett intresse för matematikens grundvalar: hans grundvalar för geometri publicerades 1899, och av denlista av frågor som ställdes till den internationella kongressen för matematiker 1900, tre adresserade tydligt grundläggandefrågor.,

Efter publiceringen av Russells paradox, Hilbertpresented en adress till den Tredje Internationella Kongressen ofMathematicians 1904, där det för första gången, han skissade hisplan för att ge en noggrann grunden för matematik via syntacticconsistency bevis. Men han återvände inte till ämnet på allvartills 1917, när han började en serie föreläsningar om grunden förmatematik med hjälp av Paul Bernays., Även om Hilbert påverkades av Russell och Whitehead arbete i deras PrincipiaMathematica, blev han övertygad om att logicistförsöket att minska matematiken till logik inte kunde lyckas, särskilt på grund avden icke-logiska karaktären hos deras axiom av reducerbarhet. Samtidigt bedömde han den intuitionistiska avvisandet av lagen omuteslutade mitten som oacceptabel för matematik. För att möta de farhågor som upptäckten av de logiska ochuppsättningsteoretiska paradoxerna gav upphov till behövdes därför ett nytt tillvägagångssätt för att motivera moderna matematiska metoder.,

sommaren 1920 hade Hilbert formulerat ett sådant tillvägagångssätt. För det första skulle moderna matematiska metoder representeras i formella avdragssystem. För det andra skulle dessa formella system bevisas syntaktisktkonsekvent, inte genom att visa en modell eller minska deras överensstämmelse med ett annat system, utan genom ett direkt metamatematiskt argument av anexplicit, ”finitary” karaktär. Tillvägagångssättet blev kändas Hilbert program. Epsilon-kalkylen var att tillhandahålla den första komponenten i dettaprogram, medan hans epsilon-substitutionsmetod var att tillhandahålla den andra.,

Epsilon-kalkylen är, i sin mest grundläggande form, en förlängning avförsta ordningens predikatlogik med en ”epsilon-operation”som väljer ut, för varje sann existentiell formel, ett vittne till denexistentiella kvantifieraren. Förlängningen är konservativ i sinnanatt det inte lägger till några nya första ordningens konsekvenser. Men omvänt, kvantifierare kan definieras i termer av epsilons, sofirst-order logic kan förstås i termer av kvantifier-freereasoning involverar epsilon operation. Det är denna senare funktiondet gör kalkylen bekväm för att gekonsistens., Lämpliga förlängningar av epsilon-kalkylen gör detmöjligt att bädda in starkare, kvantifierande teorier om tal ochsets i kvantifierfria beräkningar. Hilbert förväntade sig att det skulle varamöjligt att visa att sådana förlängningar är konsekventa.

Epsilon-kalkylen

i sin Hamburg-föreläsning 1921 (1922) presenterade Hilbert först idén att använda en sådan operation för att hantera principen omutesluten mitten i ett formellt system för aritmetik., Dessa idéer utvecklades till epsilon calculus och epsilon substitutionmetod i en serie föreläsningskurser mellan 1921 och 1923, och inhilberts (1923). Den slutliga presentationen av epsilon-kalkylenkan hittas i Wilhelm Ackermanns avhandling (1924).

det här avsnittet beskriver en version av kalkylen som motsvararförsta ordningslogiken, medan tillägg till första och andra ordningsmetik beskrivs nedan.

låt \(l\) vara ett första ordningsspråk, det vill säga en lista överkonstant, funktion och relationssymboler med angivna ariteter., Epsilon-termerna och uppsättningen formler av \(l\) definieras samtidigt på följande sätt:

Substitution och begreppen fri och bunden variabel definieras på vanligt sätt; i synnerhet blir variabeln \(x\) bunden i termen \(\varepsilon x a\). Den avsedda tolkningen är att\(\varepsilon X a\) betecknar vissa \(x\) tillfredsställande \(a\), omdet finns en., Således styrs epsilon-termerna av följandeaxiom (Hilberts ”transfinite axiom”): \ dessutom innehåller epsilon-kalkylen en komplett uppsättning axiom som styr klassiskapropositionskonnektiv och axiom som styr jämlikhetssymbolen.De enda reglerna för kalkylen är följande:

• Modus ponens
• Substitution: från \(A (x)\), avsluta \(a (t)\), för någon term\(t.,\)

tidigare former av Epsilon-kalkylen (som den som presenteras inHilbert 1923) använd en dubbel form av epsilon-operatören, där\(\varepsilon X a\) returnerar ett värde som förfalskar \(a(x)\). Ovanstående version användes i Ackermanns avhandling (1924), och har blivit standard.

Observera att den kalkyl som just beskrivits är kvantifierfri. Kvantifierare kan definieras enligt följande: \ de vanliga kvantifieralaxiomerna och reglerna kan härledas från dessa, så definitionernaöver tjänar till att bädda in första ordningens logik i epsilon-kalkylen., Den omvända är dock inte sant: inte varje formel i epsiloncalculus är bilden av en vanlig kvantifierad formel under dettabröllop. Därför är epsilon-kalkylen mer uttrycksfull änpredikatkalkylen, helt enkelt för att epsilon-termer kan kombineras påmer komplexa sätt än kvantifierare.

Epsilon-satserna

den andra volymen av Hilbert och Bernays Grundlagen derMathematik (1939) ger en redogörelse för resultat på Epsilon-kalkylen som hade bevisats vid den tiden., Detta inkluderar endiskussion av den första och andra epsilon-satserna med applikationertill första ordningens logik, epsilon-substitutionsmetoden för aritmetik med öppen induktion och en utveckling av analys (det vill säga andra ordningens aritmetik) med epsilon-kalkylen.

den första och andra epsilon-satserna är följande:

i den första epsilon-satsen är” quantifier-free predicatelogic ” avsedd att inkludera substitutionsregeln ovan, soquantifier-free Axiom beter sig som sina universella stängningar., Eftersom Epsilon-kalkylen innehåller första ordningens logik innebär den första epsilon-satsen att varje omväg genom första ordningens predikatlogik som används för att beräkna en kvantifierfri sats från kvantifierfria Axiom kan undvikas. Den andra epsilon-satsen visar att man också kan undvika att använda vilken metod som helst genom epsilon-kalkylen som används för att härleda en sats på språket i predikatkalkylen från Axiom på predikatkalkylens språk.,

Mer Allmänt fastställs i den första Epsilon-satsen att kvantifierare och epsiloner alltid kan elimineras från ett bevis på akvantifierfri formel från andra kvantifierfria formler. Detta är av särskild betydelse för Hilberts program, eftersom deepsilons spelar rollen som ideala element i matematik. Om kvantifierfria formler motsvarar den” verkliga ” delen av den matematiska teorin visar den första epsilon-teoremen att idealelement kan elimineras från bevis på verkliga uttalanden, tillhandahållsaxiomerna är också verkliga uttalanden.,

denna idé görs exakt i en viss allmän konsistensteorem som Hilbert och Bernays härrör från det första epsilon-teoremet, vilket säger följande: Låt \(f\) vara ett formellt system som härrör från predikatkalkylen genom tillsats av konstanta, funktion ochpredikatsymboler plus sanna axiom som är kvantifier-ochepsilonfria,och anta att sanningen om atomformler i det nya språket är avgörande. Då är\ (f\) konsekvent i den starka känslan att varje härledd kvantifierare – och epsilonfri formel är sann.,Hilbert och Bernays använder detta teorem för att ge en finitary konsistenceproof av elementär geometri (1939, sek 1.4).

svårigheten att ge konsekvensbevis för aritmetik och analys består i att utvidga detta resultat till fall där axiomerna också innehåller ideala element, dvs. epsilon-termer.

Ytterligare läsning. De ursprungliga källorna på epsilon-kalkylenoch epsilon-satserna (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939)är endast tillgängliga på tyska. Leisenring 1969 är en relativmodern boklängd introduktion till epsilon calculus på engelska.,Den första och andra epsilon-teoremen beskrivs i detalj i Zach2017. Moser& Zach 2006 ger en detaljerad analys för ärendetutan jämlikhet. De ursprungliga bevisen ges för axiomatiskpresentationer av epsilon-kalkylen. Maehara 1955 var den första toconsider sekventkalkyl med epsilon villkor. Han visade hur man visade den andra epsilon-satsen med hjälp av cut elimination, och dåstärkte teoremet för att inkludera schemat för extensionalitet (Maehara 1957). Baaz et al. 2018 ger en förbättrad version av den förstaepsilon teorem., Rättelser av fel i litteraturen (includingLeisenring bok) kan hittas i Flannagan 1975; Ferrari 1987, och Yasuhara 1982. En variant av epsilon kalkyl baserad på Skolemfunctions, och därför kompatibel med första ordningens logik, isdiscussed i Davis & Fechter 1991.

Herbrands Sats

versionen av Herbrands teorem som just beskrivits följer omedelbart från den utökade första Epsilon-satsen avhilbert och Bernays., Med hjälp av metoder som är förknippade med beviset på dessandra epsilon-teorem, men Hilbert och Bernays härledda astronger resultat som, liksom Herbrands ursprungliga formulering, ger mer information. För att förstå de två delarna av teoremnedan hjälper det att överväga ett visst exempel. Låt \(A\) vara theformula

\ där \(B\) är mätning-gratis. Negationof \(a\) motsvarar \ genom Skolemizing, dvs,, med hjälp av funktionssymboler för att bevittna de existentiella kvantifierarna, får vi \ ta negationen av detta, vi ser att originalformeln är ”ekvivalent” med \

När vi hänvisar till en instans av matrisen av \(A^H\), wemean en formel som erhålls genom att ersätta termer i det expanderade språket i matrisen av \(A^H\). Vi kan nu ange Hilbert andBernays formulering av

Herbrands teorem kan också erhållas genom att använda cutelimination, via Gentzen ’ s ”midsequent theorem.,”Beviset som använder det andra epsilon-teoremet har dockstått att vara det första fullständiga och korrekta beviset på hennes varumärkes teorem. Dessutom,och detta är sällan erkänt, medan beviset baserat på cut-eliminering ger en bunden pålängden av Herbrand disjunction endast som en funktion av cut rank och komplexiteten hos de skurna formlerna i beviset, längden erhållenfrån beviset baserat på epsilon calculus ger en bunden som en funktion av antalet tillämpningar av transfinitaxiom, ochrankningen och graden av epsilon-termer som förekommer däri., I andra ord, längden på Herbrand disjunction beror endast på den kvantifierande komplexiteten hos de substitutioner som är inblandade, och, t. ex., inte alls på den propositionala strukturen eller längden på denproof.

versionen av Herbrands teorem som anges i början av detta avsnitt är i huvudsak det speciella fallet med (2) där formula \(a\) är existentiell. Mot bakgrund av detta specialfall är (1) likvärdigt med påståendet att en formel \(A\) är härledd för första ordningens predikatlogik om och endast om \(A^H\) är., Framåtriktningen av denna ekvivalens är mycket lättare att bevisa; i själva verket är forany formula \(a, a \rightarrow a^h\) härledd i predikatlogik.Att bevisa omvänd riktning innebär att eliminera ytterligarefunktionssymboler i \(A^H\), och är mycket svårare, särskilt iFörekomsten av jämlikhet. Det är här som epsilon-metoder spelar encentral Roll.

en slående tillämpning av Herbrand”s teorem och relaterade metoder finns i Luckhardt”s (1989) analys av Roth”s teorem. För endiskussion av användbara förlängningar av Herbrands metoder, se Sieg 1991.,En modell-teoretisk version av detta diskuteras i avigad 2002a.

Epsilon substitutionsmetoden och aritmetik

som nämnts ovan, historiskt var det primära intresset för epsiloncalculus som ett medel för att erhålla konsistensproofs.Hilberts föreläsningar från 1917-1918 noterar redan att onekan enkelt bevisa konsistensen av propositionslogik, genom att tapropositionsvariabler och formler för att sträcka sig över sanningsvärden 0 och1 och tolka de logiska connectives som korrespondentmetiska operationer., På samma sätt kan man bevisa konsistensen avpredikatlogik (eller den rena epsilon-kalkylen), genom att specialisera sig på tolkningar där diskursens universum har ett enda element.Dessa överväganden föreslår följande mer allmänna program förprovning av konsistens:

• utöka epsilon-kalkylen på ett sådant sätt att det representerar störredelar av matematik.
• visa, med hjälp av ändliga metoder, att varje bevis i extendedsystemet har en konsekvent Tolkning.,

Antag att vi vill visa att systemet ovan är konsekvent; i otherwords vill vi visa att det inte finns något bevis på formeln \(0 =1\). Genom att trycka alla substitutioner till axiomerna och ersätta freevariables med konstant 0, räcker det att visa att det inte finns någonpropositionsbevis på \(0 = 1\) från en ändlig uppsättning slutna instanser av axiomerna. För det räcker det att visa att man, med tanke på eventuella finiteset av slutna instanser av axiom, kan tilldela numeriska värden toterms på ett sådant sätt att alla Axiom är sanna undertolkningen., Eftersom de aritmetiska operationerna \ ( + \ ) och \(\times\)kan tolkas på vanligt sätt ligger den enda svårigheten i att hitta lämpliga värden för att tilldela epsilon-termerna.

Hilberts epsilon-substitutionsmetod kan beskrivas ungefär enligt följande:

ett slutligt konsistensbevis erhålls när det på ett slutgiltigt godtagbart sätt visas att denna process av successiva”reparationer” avslutas. Om det gör det, alla kritiska formlerär sanna formler utan epsilon-termer.,

denna grundläggande idé (”Hilbertsche Ansatz”) sattes outfirst av Hilbert i hans 1922-tal (1923) och utarbetades i föreläsningar 1922-23. De exempel som ges där handlar dock bara ombevis där alla instanser av det transfinitiska axiomet motsvarar asingle epsilon term \(\varepsilon X A (x)\). Utmaningen var att utvidga tillvägagångssättet till mer än en epsilon term, till kapslade epsilonterms, och slutligen till andra ordningens epsilons (för att få aconsistency bevis inte bara av aritmetik, men av analys).,

detta är bara en skiss av de svårigheter som är förknippade med extendinghilberts idé till det allmänna fallet. Ackermann (1924) gav en sådan generalisering med hjälp av ett förfarande som ”backtracks”när en ny tolkning i ett givet skede resulterar i behovet av att korrigera en tolkning som redan hittats i ett tidigare skede.

Ackermanns förfarande tillämpades på ett system med andra ordningsmetik, där andra ordningsvillkor dock begränsades för att utesluta korsbindning av andra ordningens epsiloner., Detta innebär i stort sett en begränsning av den aritmetiska förståelsen som den uppställningsprincip som finns tillgänglig (se diskussionen i slutet av detta avsnitt). Ytterligare svårigheter med andra ordningens epsilon terms uppstod, och det blev snabbt uppenbart att beviset som det stoodvar bedrägligt. Men ingen i Hilberts skola insåg detexten av svårigheten fram till 1930, när Gödel tillkännagav hansinkompletetetsresultat., Fram till dess trodde man att beviset (åtminstone med vissa ändringar som infördes av Ackermann, varav några innehöll idéer från von Neumanns (1927) version av epsilonsubstitutionsmetoden) skulle gå igenom åtminstone för första ordningendel. Hilbert och Bernays (1939) föreslår att de metoder som används endastger ett konsistensbevis för första ordningens aritmetik med openinduction. År 1936 lyckades Gerhard Gentzen ge ett bevis påkonsistens av första ordningens aritmetik i en formulering baserad påpredikatlogik utan epsilon-symbolen., Detta bevis usestransfinite induktion upp till \(\varepsilon_0\). Ackermann (1940) waslater kunna anpassa Gentzen idéer för att ge en korrektkonsistensbevis på första ordningens aritmetik med hjälp av theepsilon-substitutionsmetoden.

analys, eller andra ordningens aritmetik, är förlängningen av första ordningsmetik med förståelseschemat för godtyckliga andra ordningsformler. Teorin är impredikativ genom att den tillåter enatt definiera uppsättningar av naturliga tal med hjälp av kvantifierare som sträcker sig över hela universum av uppsättningar, inklusive implicit uppsättningen som definieras., Man kan få predikativa fragment av denna teorigenom att begränsa typen av formler som är tillåtna i förståelseaxiom. Till exempel, den begränsning som diskuteras i samband medackermann ovan motsvarar den aritmetiska förståelseschema, där formler inte involverar andra orderkvantifierare. Det finns olika sätt att få starkare fragment avanalys som ändå är predikativt motiverad., Till exempel får man en ramifierad analys genom att associera en ordinal rankto set variabler; ungefär, i definitionen av en uppsättning av en given rang,kvantifierare varierar endast över uppsättningar av lägre rang, dvs de somdefinitioner är logiskt tidigare.

Ytterligare läsning. Hilberts och Ackermanns earlyproofs diskuteras i Zach 2003; 2004. Von Neumanns bevis ärämnet för Bellotti 2016. Ackermanns 1940 bevis diskuterasi Hilbert & Bernays 1970 och Wang 1963. En modern presentation isgiven av Moser 2006., En tidig tillämpning av epsilon-substitution är den icke-motstridiga tolkningen (Kreisel 1951).

nyare utveckling

i det här avsnittet diskuterar vi utvecklingen av epsilon-substitutionmetoden för att få konsekvensresultat för starka system; dessa resultat är av matematisk karaktär. Vi kan tyvärr inte diskutera detaljerna i bevisen här, men skulle vilja ange att epsilon-substitutionsmetoden inte dog med Hilberts program, och att en betydande del av den nuvarande forskningen är riedout i epsilon-formalismer.,

Gentzen ’ s consistency proofs for aritmetic lanserade ett forskningsområde som kallas ordinal analysis, ochprogrammet för att mäta styrkan hos matematiska teorier med hjälp avordina noteringar fortsätter fortfarande idag. Detta är särskiltrelevant för det utvidgade Hilberts program, där goal är att motivera klassisk matematik i förhållande till konstruktiva, orquasi-konstruktiva system., Gentzen metoder förcut-eliminering (och förlängningar till infinitär logik som utvecklats av PaulLorentzen, Petr Novikov och Kurt Schütte) har till stor del ersatt epsilon substitutionsmetoder i dessa sysselsättningar. Men epsiloncalculus metoder ger ett alternativt tillvägagångssätt, och det finns fortfarandeaktiv forskning om sätt att förlänga Hilbert-Ackermann metoder tostronger teorier. Det allmänna mönstret förblir detsamma:

1. bädda in den teori som undersöks i en lämplig epsiloncalculus.
2. Beskriv en process för att uppdatera tilldelningar till epsilonterms.,
3. visar att förfarandet normaliseras, dvs med tanke på en uppsättning ofterms, finns det en sekvens av uppdateringar som resulterar i en överlåtelse som uppfyller axiomerna.

sedan det sista steget garanterar konsistensen av den ursprungliga teorin, från en grundläggande synvinkel är man intresserad av metodernaanvänds för att bevisa normalisering. Till exempel får man en vanlig analys genom att tilldela ordinära noteringar till steg i förfarandet, på ett sådant sätt att värdet av en notation minskar med varje steg.,

på 1960-talet förlängde Tait (1960, 1965, 2010) kackermanns metoder för att erhålla en ordinär analys av extensionerof aritmetik med principer för transfinitinduktion. Morestreamlined och moderna versioner av detta tillvägagångssätt kan hittas i Mints2001 och Avigad 2002b., Mer nyligen, Myntverk, Tupailo, och Buchholzhave anses starkare, men fortfarande predicatively försvarbar,fragment av analys, inklusive teorier om aritmetiska comprehensionand en \(\Delta^{1}_1\)-förståelse-regeln (Myntverk, Tupailo &Buchholz 1996; Myntverk & Tupailo 1999; se också Myntverk 2016). Arai2002 har utvidgat epsilon substitutionsmetoden till teorier som gör att man kan iterera aritmetisk förståelse längs primitiverekursiva välsorder., I synnerhet ger hans arbete ordinalanalyser för predikativa analysfragment som involverar transfinitehierarkier och transfinitinduktion.

några första steg har tagits i användningen av epsilon substitutionmetod i analysen av impredikativa teorier (se Arai2003, 2006 och Mints 2015).

en variant på Steg 3 ovan innebär att det visar att normalizationproceduren inte är känslig för valet av uppdateringar, vilket innebär att någon sekvens av uppdateringar avslutas. Detta kallas starktnormalisering., Mints 1996 har visat att många av förfarandenaanses ha denna starkare egenskap.

förutom den traditionella, grundläggande grenen av bevis teori, idag finns det en hel del intresse för strukturell korrekturläsning, en gren av ämnet som fokuserar på logisk deductivecalculi och deras egenskaper. Denna forskning är nära kopplad tillfrågor som är relevanta för datavetenskap, som har att göra med automatiserad minskning, funktionell programmering och datorstödd verifiering.Även här tenderar Gentzen-stilmetoder att dominera (se igen posten på proof theory)., Men epsilon-kalkylen kan också ge värdefulla insikter; se. till exempel Aguilera & Baaz 2019, eller diskussionen omherbrands teorem ovan.

förutom undersökningarna av epsilon-kalkylen i proof theory bör två ansökningar nämnas. En är användningen av epsilonnotation i Bourbakis Theorie des ensembles (1958).Den andra, av kanske större nuvarande intresse, är användningen avepsilon-operatören i teorem-proving systems HOL och Isabelle, där den uttrycksfulla kraften i epsilon-terms ger betydandepraktiska fördelar.,

Epsilon-operatörer inom lingvistik, filosofi och icke-klassisk logik

läser epsilon-operatören som en obestämd valoperatör(”an \(x\) så att \(A(x)\)”) föreslår att det kan varaett användbart verktyg i analysen av obestämda och bestämda substantivfraseri formella semantik. Epsilon-notationen har i själva verket använts så,och denna ansökan har visat sig vara användbar i synnerhet när det gäller att hantera anaforireferens.

Tänk på det välbekanta exemplet

1. varje bonde som äger en åsna slår den.,ns}(x, y)) \rightarrow\mathrm{Beats}(x, y))\)

nackdelen är att ”en åsna” föreslår en existentialquantifier, och sålunda bör analysen på något sätt parallell i formanalysen av meningen 3 som ges av 4:

men närmaste möjliga formalisering,

1. \(\forall x (((\mathrm{Farmer} (x) \wedge \exists y (\mathrm{Farmer} (x) \wedge \exists y (\mathrm{Donkey} (y)\wedge\mathrm{owns} (x, y))\rightarrow\mathrm {Beats} (X, Y))\)

som påpekats av von Heusinger (1994), tyder detta på att Neale ärkommit att pronomen är tvetydiga mellan bestämda beskrivningar \ (((\IOTA\)-uttryck) och whe-uttryck., Heusinger föreslår att man använder epsilon-operatörer som indexeras av valfunktioner (vilketberor på sammanhanget). Enligt detta tillvägagångssätt är analysen av(1)

detta tillvägagångssätt för att hantera pronomen med hjälp av epsilon-operatörer som indexeras av valfunktioner gör det möjligt för von Heusinger att hantera en stor variation av omständigheter (se Egli och von Heusinger, 1995; von Heusinger, 2000).

epsilon-operatörens tillämpningar inom formell semantik och valfunktioner i allmänhet har fått ett betydande intresse under de senaste åren., Von Heusinger och Egli (2000a) – listan, bland andra, thefollowing: representationer av frågor (Reinhart, 1992), specificindefinites (Reinhart 1992; 1997; Vintern 1997), E-type pronomen(Hintikka och Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli och vonHeusinger 1995) och bestämd substantivfraser (von Heusinger 1997,2004).

för diskussion av frågor och tillämpningar av epsilon operatorin lingvistik och språkfilosofi, se B. H., Slater’sarticle på epsilon calculi (som nämns i den Andra Internet Resourcessection nedan), och souvenir von Heusinger och Egli 2000 andvon Heusinger och Kempson 2004.

Meyer Viol (1995a, 1995b) innehåller ytterligare bevis – och modellteoretiska studier av epsilon calculus; specifikt intuitionistiska epsiloncalculi. Här håller epsilon-teoremerna inte längre, dvs införandet av epsilon-termer ger icke-konservativa förlängningar avintuitionistisk logik. Andra undersökningar av epsilon aktörer inintuitionistic logik kan hittas i Shirai (1971), Bell (1993a,1993b) och DeVidi (1995)., För epsilon-operatörer i många värderade logiker,se Mostowski (1963), för modal epsilon kalkyl, Montering (1975).

Ytterligare läsning. Följande är en lista över vissa publikationeri språk – och språkvetenskapens betydelse för epsiloncalculus och dess tillämpningar. Läsaren riktas särskilt tillsamlingarna von Heusinger & Egli (eds.) 2000 och von Heusinger& Kempson (red.,) 2004 for further discussion and references: Bell1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995;Egli & von Heusinger1995; Fine 1985; Fitting 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004;von Heusinger & Egli (eds.) 2000; von Heusinger & Kempson(eds.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, &Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963;Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; and Winter1997.

---