Heltal (Svenska)

i grundskolans undervisning definieras heltal ofta intuitivt som (positiva) naturliga tal, noll och negationerna av de naturliga numren., Denna typ av definition leder emellertid till många olika fall (varje aritmetisk operation måste definieras på varje kombination av typer av heltal) och gör det tråkigt att bevisa att heltal följer de olika lagarna i aritmetik. Därför används i modern set-teoretisk matematik en mer abstrakt konstruktion som gör det möjligt att definiera aritmetiska operationer utan någon skillnad i stället. Heltal kan således formellt konstrueras som ekvivalensklasser av beställda par av naturliga tal (A,b).,

intuitionen är att (a, b) står för resultatet av att subtrahera b från A. för att bekräfta vår förväntan att 1 − 2 och 4 − 5 betecknar samma nummer definierar vi ett ekvivalensförhållande ~ på dessa par med följande regel:

( a , b) (c , d ) {\displaystyle (A,B)\sim (c,d)}

exakt när

a + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+c.}

tillägg och multiplikation av heltal kan definieras i termer av ekvivalenta operationer på naturliga tal; genom att använda för att beteckna ekvivalensklassen som har (A, b) som medlem har man:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \cdot :=.}

negationen (eller additiv inversen) av ett heltal erhålls genom att vända parets ordning:

− := . {\displaystyle -:=.}

därför kan subtraktion definieras som tillsats av tillsatsen inverse:

-:=. {\displaystyle -:=.}

standardbeställningen på heltalet ges av:

< {\displaystyle <} om och endast om a + d < b + c . {\displaystyle a+d<b+c.,}

det är lätt att verifiera att dessa definitioner är oberoende av valet av representanter för ekvivalensklasserna.

således betecknas

{a − b , om A ≥ B – (b-A), om a < b . {\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b. ovan nämnda), skapar denna konvention ingen tvetydighet.,

denna notation återställer den välbekanta representationen av heltal som {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

några exempel är:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{aligned}}}

i teoretisk datavetenskap används andra metoder för konstruktion av heltal av automatiserade teoremprovers och omskrivningsmotorer.Heltal representeras som algebraiska termer byggda med några grundläggande operationer (t.ex. noll, succ, pred) och eventuellt med naturliga tal, som antas vara redan konstruerade (med hjälp av exempelvis Peano-tillvägagångssättet).

det finns minst tio sådana konstruktioner av signerade heltal., Dessa konstruktioner skiljer sig på flera sätt: antalet grundläggande operationer som används för konstruktionen, antalet (vanligtvis mellan 0 och 2) och de typer av argument som accepteras av dessa operationer; närvaron eller frånvaron av naturliga tal som argument för vissa av dessa operationer och det faktum att dessa operationer är fria konstruktörer eller inte, dvs att samma heltal kan representeras med endast en eller flera algebraiska termer.,

tekniken för konstruktion av heltal som presenteras ovan i detta avsnitt motsvarar det specifika fallet där det finns ett enda grundläggande operationspar ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} som tar som argument två naturliga tal x {\displaystyle X} och y {\displaystyle y} , och returnerar ett heltal (lika med x-y {\displaystyle x-y}). Denna operation är inte gratis eftersom heltalet 0 kan skrivas par(0,0), eller par(1,1), eller par (2,2), etc., Denna konstruktionsteknik används av proof assistant Isabelle; men många andra verktyg använder alternativa byggtekniker, anmärkningsvärda de som bygger på fria konstruktörer, som är enklare och kan implementeras mer effektivt i datorer.

---