Khan Academy stöder inte den här webbläsaren. [close]
en av er alla skickade ett rättvisaintressant problem, så jag trodde att jag skulle räkna ut det. Problemet är att jag har en grupp på 30 personer, så 30 personer i ett rum. De är slumpmässigt utvalda 30 personer. Och frågan är vad som ärsannolikt att minst 2 personer har samma födelsedag? Det här är en rolig frågaeftersom det är storleken på många klassrum. Vad är sannolikheten att åtminstone någon i klassrummet delar en födelsedag med någonhjälp i klassrummet?, Det är också ett bra sätt att formulera. Det här är samma sak som hävdar, vad är sannolikheten att någon delar medåtminstone någon annan. De kunde dela den med 2andra personer eller 4 andra personer på födelsedagen. Och först verkar detta problemverkligen svårt eftersom det finns många omständighetersom gör detta sant. Jag kunde ha exakt två människorhar samma födelsedag. Jag kunde ha exakt 3 människorhar samma födelsedag. Jag kunde ha exakt 29 människorhar samma födelsedag och alla dessa gör detta sant, så lägger jag till sannolikheten för var och en av dessa omständigheter?, Och sedan lägga upp dem och dådet blir riktigt svårt. Och då skulle jag behöva säga, OK, vems födelsedagar och jag jämföra? Och jag skulle ha todo kombinationer. Det blir ett riktigt svårt problem om du inte gör typ av en mycket förenklingta på problemet. Det här är motsatsen till … Låt mig rita sannolikhetsutrymmet. Låt oss säga att detta äralla resultat. Låt mig rita den meden tjockare linje. Så låt oss säga att ” s allof resultaten av min Sannolikhet utrymme. Så det är 100% av resultaten. Vi vill veta-låt mig rita den i en färg som inte kommer att vara stötande för dig., Det ser inte så bra ut, men ändå. Låt oss säga att detta är sannolikheten, detta område här — och jag vet inte hur stor det verkligen är, vi kommer att räkna ut det. Låt oss säga att det här ärsannolikt att någon delar en födelsedag medåtminstone någon annan. Vad är det här för område? Vad är det här gröna området? Tja, det betyder att om det här äralla fall där någon delar en födelsedag med någon annan, är det här hela området där ingen delar enfödelsedag med någon. Eller man kan säga, alla 30 människorhar olika födelsedagar. Det här är vad vi”försöker räkna ut., Jag ska bara kalla det för den Sannolikhet som någon delar. I”ll kallar det probabilityof dela, sannolikheten för er. Om området i sin helhet är området 1 orarea 100%, detta grönområde just här, detta är goingto vara 1 minus p s. Detta kommer att be1 minus p s. Eller om vi säger att detta är theprobability– eller annat sätt skulle vi kunna säga att det faktiskt det här ärden bästa sättet att tänka på det. Om detta är annorlunda, sådetta är sannolikheten för olika födelsedagar. Detta är sannolikhetenatt alla 30 personer har 30 olika födelsedagar. Ingen delar med någon., Sannolikheten att någon har med någon annan plus sannolikheten att ingen har med någon — de har alla distinkta födelsedagar — som måste vara lika med 1. Eftersom vi antingen kommer att vara i den här situationen eller vi kommer att vara i den situationen. Eller du kan säga att de ” reekval till 100%. Hur som helst, 100% och 1är samma nummer. Det är lika med 100%. Så om vi räkna ut dentroliga att alla har samma födelsedag vi couldsubtract det från 100. Så låt oss se. Vi kan skriva om det här., Sannolikheten att någonhares en födelsedag med någon annan, att ” är lika med 100% minus sannolikheten att alla har distinkta, separata födelsedagar. Och anledningen till att jag ” m göradet beror på att när jag började i videon, är det härtyp av svårt att räkna ut. Jag kan räkna ut att två personer har samma födelsedag, fem personer, och det blir väldigt förvirrande. Men här, om jag ville barafigur ut sannolikheten att alla har en distinktfödelsedag, är det faktiskt en mycket lättare sannolikhetför att lösa för. Så vad är sannolikhetenatt alla har en distinkt födelsedag?, Så låt oss tänka på det. Person ett. Bara för enkelhet, låt ” simagine fallet att vi bara har 2 personer i rummet. Vad är det förmodligen som dehar olika födelsedagar? Låt oss se, person ett, derasfödelsedag kan vara 365 dagar av 365 dagar på året. Du vet, när deras födelsedag är. Och sedan person två, om vi ville se till att de inte har samma födelsedag, hur många dagar kan person två födas på? Det kan födas när som helst den personen man inte föddes på. Så det finns 364möjlighet ut 365., Så om du hade 2 personer, det är troligt att ingen är född på samma födelsdag– detta är bara 1. Det kommer bara att vara lika med 364/365. Vad händer om vi har tre personer? Så först av alltförsta personen kunde födas på vilken dag som helst. Då kunde den andra personenföds på 364 möjliga dagar av 365. Och sedan den tredje personen,vad är sannolikheten att den tredje personen är ” tborn på någon av dessa människor födelsedagar? Så 2 dagar tas upp, såsannolikheten är 363/365. Man multiplicerar dem. Du får 365 gånger 36 — faktisktjag borde skriva om den här., I stället för att säga detta är 1, Låt mig skriva detta som-täljaren är 365 times364 över 365 squared. Jag vill att du ska se mönstret. Här är sannolikheten 365times 364 gånger 363 över 365 till den tredje strömmen. Och så, i allmänhet, om du justkept gör detta till 30, om jag bara fortsatte att denna process för 30people– sannolikheten att ingen delar samma birthdaywould vara lika med 365 gånger 364 363 gånger– jag”ll have30 gäller upp här. Ända ner till vad? Ända ner till 336. Det kommer faktiskt att vara 30termer dividerat med 365 till den 30: e makten., Och du kan bara skriva in den Härdin kalkylator just nu. Det tar dig lite tid attskriva i 30 nummer, och du får sannolikheten att ingenhares samma födelsedag med någon annan. Men innan vi gör det letme bara visa dig något som kan göra det lite lättare. Kan jag uttrycka det på något sätt med factorials? Eller att jag kunde matematisktuttrycka detta med factorials? Låt oss tänka på det. 365 factorial är vad? 365 faktorförsök är lika med 365times 364 gånger 363 gånger-hela vägen ner till 1. Du håller bara multiplicera. Det är ett stort antal., Om jag bara vill ha 365 gånger 364 i det här fallet måste jag göra mig av med alla dessa siffror här. En sak jag kan göra är att dela upp den här saken med alla dessa siffror. Så 363 gånger 362 … ända ner till 1. Så det är samma sak somuppdelad av 363 factorial. 365 factorial dividerat med 363factorial är i huvudsak detta eftersom alla dessa villkor avbryter ut. Så detta är lika med 365faktoriell över 363 faktoriell över 365 kvadrat. Och för det här fallet är det nästan dumt att oroa sig för faktorierna, men det blir användbart när vi har något större äntvå termer här uppe., Så med samma logik kommer denna rätt här att vara lika med 365 factorial över 362factorial över 365 squared. Och faktiskt, bara en annanintressant punkt. Hur fick vi den här 365? Ursäkta, hur fick vi tag i den här 363 faktorialen? 365 minus 2is 363, eller hur? Och det är logiskt eftersom vi bara ville ha två termer här uppe. Vi ville bara ha två terminer här. Så vi ville dela med afaktorial som är två mindre. Och så får vi bara de högsta två villkoren kvar., Detta är också lika med– youcould skriva detta som 365 factorial dividerat med 365 minus2 factorial 365 minus 2 är 363 factorial och sedan du bara uthärda med dessa två termer och det är det där. Och på samma sätt, denna rättsinnehavare, denna täljare du kan skriva om som 365 faktorialdivided med 365 minus 3– och vi hade 3 personer — factorial. Och det borde vara helt logiskt, eller hur? Detta är samma sak som 365factorial-väl 365 dividerat med 3 är 362 factorial. Och så att ” är lika med365 gånger 364 gånger 363 hela vägen ner. Dividerat med 362 gångerhela vägen ner., Och det kommer att avbryta med allt annat och du kommer bara att vara kvar med det. Och det är det där. Så med samma logik kan denna toppart här skrivas som 365 factorial över vad? 365 minus 30 fakultet. Och jag gjorde allt det bara såJag kunde visa dig typ av mönster och eftersom det här är otroligt lättare att skriva in en kalkylator om du vet varfaktorisk knappen är. Så låt oss ta reda på vadden här sannolikheten är. Så slå på räknaren, vi vill — så låt oss göra täljaren. 365 factorial delat med … vad är 365 minus 30? Det är 335., Dividerat med 335 factorial ochDet är hela täljaren. Och nu vill vi dela upp täljaren med 365 till den 30: e makten. Låt räknaren tänkaoch vi får 0.2936. Lika med 0,2936. Egentligen 37 Om du avrundade, vilket är lika med 29,37%. Nu, bara så du kommer ihåg vad vi gjorde hela tiden, det var sannolikheten att ingenhares en födelsedag med någon. Detta var sannolikheten föralla som hade olika, olika födelsedagarfrån alla andra., Och vi sa, ja, sannolikheten att någon delar en födelsedag med någon annan, eller kanske mer än en person, är lika med alla möjligheter-typ av 100%, sannolikhetsutrymmet, minus sannolikheten att ingen delar en födelsedag med någon annan. Så det är lika med100 % minus 29,37%. Eller ett annat sätt du kan skriva som det ” s 1 minus 0.2937, vilket är lika med — så om jag vill subtrahera det från 1. 1 minus — det barabetyder svaret. Det betyder 1 minus 0,29. Du får 0,7063. Så sannolikheten att någonhares en födelsedag med någon annan är 0.7063-det fortsätter., Vilket är ungefär lika med 70,6%. Vilket är typ av ett snyggt resultateftersom om du har 30 personer i ett rum kan du säga, oh wow, vilka är oddsen att någon har sammafödelsedag som någon annan? Det är faktiskt ganska högt. 70% av tiden, om du har engrupp på 30 personer, minst 1 person delar en födelsedagmed minst en annan person i rummet. Så det är typ avett snyggt problem. Och typ av ett snyggt resultatsamtidigt. Vi ses i nästa video.