Krökning

intuitivt, beskriver krökningen för någon del av en kurva hur mycket kurvriktningen ändras över ett litet avstånd tillryggalagd (t.ex. vinkel i rad/m), så det är ett mått på den momentana förändringshastigheten för en punkt som rör sig på kurvan: ju större krökning, desto större denna förändringshastighet. Med andra ord mäter krökningen hur snabbt enhetens tangent vektor till kurvan roterar (snabbt i form av kurvposition). Faktum är att det kan bevisas att denna momentana förändringshastighet är exakt krökningen., Mer exakt, anta att punkten rör sig på kurvan med en konstant hastighet av en enhet, det vill säga positionen för punkten P(s) är en funktion av parametern s, som kan tänkas som tiden eller som båglängden från ett visst ursprung. Låt T(s) vara en enhetsnyckelvektor av kurvan vid P(s), som också är derivatet av P(s) med avseende på s. därefter är derivatet av T (s) med avseende på s en vektor som är normal för kurvan och vars längd är krökningen.,

för att vara meningsfull kräver definitionen av krökningen och dess olika karakteriseringar att kurvan kontinuerligt kan differentieras nära P, för att ha en tangent som varierar kontinuerligt; det kräver också att kurvan är två gånger differentierbar vid P, för att försäkra förekomsten av de involverade gränserna och av derivatet av T(s).

karakteriseringen av krökningen när det gäller derivatet av enhetsnyckelvektorn är förmodligen mindre intuitiv än definitionen när det gäller osculerande cirkel, men formler för beräkning av krökningen är lättare att härleda., Därför, och även på grund av dess användning i kinematik, ges denna karakterisering ofta som en definition av krökningen.

Osculating circleEdit

historiskt definierades krökningen av en differentierbar kurva genom osculating circle, vilket är den cirkel som bäst approximerar kurvan vid en punkt. Mer exakt, med tanke på en punkt P på en kurva, definierar varannan punkt Q i kurvan en cirkel (eller ibland en linje) som passerar genom Q och tangent till kurvan vid P. osculating circle är gränsen, om den existerar, av denna cirkel när Q tenderar att P., Då är kurvans centrum och krökningsradie vid P centrum och radien för den osculerande cirkeln. Krökningen är den ömsesidiga krökningsradien. Det vill säga krökningen är

κ = 1 R, {\displaystyle \ kappa ={\frac {1}{r}},}

där R är krökningsradien (hela cirkeln har denna krökning, den kan läsas som tur 2π över längden 2nR).

denna definition är svår att manipulera och uttrycka i formler. Därför har andra likvärdiga definitioner införts.,

när det gäller arc-length parametrizationEdit

varje differentierbar kurva kan parametriseras med avseende på båglängd. När det gäller en plankurva innebär detta att det finns en parametrisering γ(S) = (x(s), y(s)), där x och y är verkligt värderade differentierbara funktioner vars derivat uppfyller

, γ ’= x ’( S ) 2 + y ’ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle | / {\boldsymbol {\gamma }} ”|/ = {\sqrt {x”(S)^{2}+y ” (s)^{2}}}=1.,}

detta innebär att tangent vektorn

T (s)=(x ’(s), y ’(s)) {\displaystyle \mathbf {t} (s) = {\bigl (} x”(S), y”(s) {\bigr)}}

har en norm som är lika med en och är således en enhetstangent vektor.

om kurvan är två gånger differentierbar, det vill säga om de andra derivaten av x och y finns, finns derivatet av T(s). Denna vektor är normal mot kurvan, dess norm är krökningen κ (S), och den är orienterad mot krökningscentret.,yle {\begin{aligned}&\mathbf {t} (s)={\boldsymbol {\gamma }}”(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\implies \mathbf {t} ”(s)\cdot \mathbf {t} (s)=0\&\kappa (s)=\|\mathbf {t} ”(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}””(s) \|={\sqrt {x””(S)^{2}+y””(s)^{2}}}\\\dessutom, eftersom krökningsradien är

R ( s ) = 1 κ ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1} {\kappa (s)}},}

och krökningscentret ligger på det normala mot kurvan, är krökningscentret punkten

C ( S ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 t ’ ( s ) ., {\displaystyle \ mathbf {c} (s)={\boldsymbol {\gamma}} (s)+{\frac {1}{\kappa(s)^{2}}}\mathbf {t} ”(s).}

om N (s) är enheten normal vektor erhålls från t(s) genom en moturs rotation av π/2, sedan

t ’ ( s) = k ( s) n ( s), {\displaystyle \mathbf {t} ”(s)=k(s)\mathbf {n} (s),}

med K(s) = ± κ(s). Det verkliga numret k (s) kallas den orienterade eller undertecknade krökningen. Det beror på både orienteringen av planet (definition av moturs) och orienteringen av kurvan som tillhandahålls av parametrizationen., Faktum är att förändringen av variabel s → – s ger en annan båglängdsparametrisering och ändrar tecknet på k(s).

när det gäller en allmän parametrizationEdit

låt γ(t) = (x(t), y(t)) vara en korrekt parametrisk representation av en två gånger differentierbar plankurva. Här betyder det att på domänen för definitionen av parametriseringen definieras derivatet dy/dtis, differentierbart och ingenstans lika med nollvektorn.,

med en sådan parametrisering är den signerade krökningen

k=x ’ y ”− y ’ x ”( x ’2 + y’ 2 ) 3 2 , {\displaystyle k = {\frac {x”y””-y”x”} {\left ({x”}^{2} + {y”}^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}},}

där primtal avser derivat med avseende på t. krökningen κ är således

κ = / x ’ y ”- y ’ x ”/ (x ’2 + y’ 2 ) 3 2 . {\displaystyle \ kappa ={\frac {/x ” y ””- y ”x”|/} {\left ({x”}^{2} + {y”}^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}}.}

dessa kan uttryckas på ett koordinatfritt sätt som

k = Det ( γ ’, γ”) γ’, γ’, γ’, γ’) / γ’., {\displaystyle k = {\frac {\det({\boldsymbol {\gamma}}”, {\boldsymbol {\gamma }}””)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}},\qquad \ kappa ={\frac {/\det ({\boldsymbol {\gamma }}”, {\boldsymbol {\gamma }}””)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}}.}

dessa formler kan härledas från det speciella fallet med arc-length parametrization på följande sätt. Ovanstående villkor på parametriseringen innebär att båglängden s är en differentierbar monotonisk funktion av parametern t, och omvänt att t är en monotonisk funktion av s., Dessutom, genom att ändra, om det behövs, s till-s, kan man anta att dessa funktioner ökar och har ett positivt derivat. Med notation av föregående avsnitt och kedjeregeln har man

d γ d t = d s d t t, {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {t},}

och därmed genom att ta normen på båda sidor

d t d s = 1 γ’, {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {DS}} = {\frac {DS}} frac {1} {\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|}},}

där primern betecknar härledningen med avseende på t.

krökningen är normen för derivatet av T med avseende på s., Genom att använda ovanstående formel och kedjeregeln kan detta derivat och dess norm uttryckas i termer av γ ’Och γ” endast, med båglängdsparametern s helt eliminerad, vilket ger ovanstående formler för krökningen.

Graph of a functionEdit

grafen för en funktion y = F(x), är ett specialfall av en parametriserad kurva, av formen

x = t y = f ( t ) . {\displaystyle {\begin{anpassas}x&=t\\y&=f(t).,\ end{aligned}}}

som första och andra derivat av x är 1 och 0, förenklar tidigare formler till

κ = | y ”/ (1 + y ’2 ) 3 2, {\displaystyle \ kappa ={\frac {/y””/} {\left (1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

för krökningen, och till

k = y ”( 1 + y ’2 ) 3 2, {\displaystyle k={\frac {y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

för den undertecknade krökningen.

i det allmänna fallet med en kurva är tecknet på den undertecknade krökningen på något sätt godtycklig, beroende på kurvans orientering., Vid grafen av en funktion finns en naturlig orientering genom att öka värdena på x. detta gör signifikant tecknet på den undertecknade krökningen.

tecknet på den undertecknade krökningen är detsamma som tecknet på det andra derivatet av f. om det är positivt har grafen en uppåtgående konkavitet och om den är negativ har grafen en nedåtgående konkavitet. Det är noll, då har man en böjningspunkt eller en vågningspunkt.

När grafens lutning (det vill säga derivatet av funktionen) är liten, är den undertecknade krökningen väl approximerad av det andra derivatet., Mer exakt, med hjälp av big O notation, har man

k ( x ) = y ”+ O ( y ’ 2 ) . {\displaystyle k(x)=y” – ”+O\left({y}^{2}\right).}

det är vanligt inom fysik och teknik att approximera krökningen med det andra derivatet, till exempel i strålteori eller för att härleda vågekvation av en spänd sträng och andra applikationer där små backar är inblandade. Detta tillåter ofta överväger som linjära system som är olinjära annars.,

polära koordinatsedit

om en kurva definieras i polära koordinater med radien uttryckt som en funktion av polarvinkeln, det vill säga r är en funktion av θ, är dess krökning

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r ’2 − r r” | ( r 2 + r ’2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r”}^{2}-r\,r””\right|}{\left(r^{2}+{r”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

där prime hänvisar till differentiering med avseende på θ.,

detta resulterar från formeln för allmänna parametrizationer, genom att överväga parametriseringen

x = r ( θ ) cos θ y = R ( θ ) sin Sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligned}}}

implicit curveedit

κ = | f y 2 F x x − 2 F x f y f x y + f x 2 f y y | ( f x 2 + f y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \ kappa ={\frac {\left/F_{y}^{2}f_{xx} – 2f_{x}f_{y}f_{xy} + f_{x}^{2}f_{yy} \ right/} {\left (f_{x}^{2} + F_{y}^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

den signerade krökningen definieras inte, eftersom den beror på en orientering av kurvan som inte tillhandahålls av den implicita ekvationen. Att ändra F i-F ändrar inte kurvan, men ändrar täljarens tecken om absolutvärdet utelämnas i föregående formel.

en punkt av kurvan där Fx = Fy = 0 är en singulär punkt, vilket innebär att kurvan inte är differentierbar vid denna punkt, och därmed att krökningen inte definieras (oftast är punkten antingen en korsningspunkt eller en cusp).,

ovan formel för krökningen kan härledas från uttrycket av krökningen av grafen för en funktion genom att använda implicit funktionsteorem och det faktum att man på en sådan kurva har

d y d x = − F x F y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}} = – {\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

ExamplesEdit

det kan vara användbart att verifiera på enkla exempel att de olika formlerna som ges i föregående avsnitt ger samma resultat.

CircleEdit

en gemensam parametrisering av en cirkel med radie r är γ(t) = (r cos t, r sin t)., Formeln för krökningen ger

k ( t) = r 2 sin 2 t + r 2 cos 2 t ( r 2 cos 2 t + r 2 sin 2 t) 3 2 = 1 r . {\displaystyle k (t)={\frac {r^{2} \ sin ^{2}t + r^{2} \ cos ^{2}t} {(r^{2} \ cos ^{2}t + r^{2} \ sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

det följer, som förväntat, att krökningsradien är cirkelns radie och att krökningscentret är mitten av cirkeln.

cirkeln är ett sällsynt fall där parametriseringen av båglängden är lätt att beräkna, eftersom den är

γ ( s ) = ( r cos s r , r sin s r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }} (s) = \left(r\cos {\frac {s}{r}},r\sin {\frac {s}{r}} \ right).}

det är en arc-length parametrization, eftersom normen för

γ ’ ( s ) = ( − sin s r , cos s r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}”(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

är lika med en. Denna parametrisering ger samma värde för krökningen, eftersom den uppgår till uppdelning av r3 i både täljaren och nämnaren i föregående formel.

samma cirkel kan också definieras av den implicita ekvationen F(x, y) = 0 med F(x, y) = x2 + y2 – r2., Sedan ger formeln för krökningen i detta fall

κ = / f y 2 F x x − 2 F X F y F x y + f x 2 F y y / (F x 2 + f y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 (4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin {aligned}\kappa &={\frac {\left|f_{y}^{2}f_{xx} – 2f_{x}f_{y}f_{xy} + f_{x}^{2}f_{yy} \ right/} {\left (f_{x}^{2} + F_{y}^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}}\\& = {\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\& = {\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\ end{aligned}}}

Parabalaedit

överväga parabolen y = ax2 + bx + c.

det är grafen för en funktion, med derivat 2ax + B och andra derivat 2a. så är den signerade krökningen

k ( x ) = 2 a ( 1 + (2 A x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k (x) = {\frac {2a}{\left(1+(2ax+b)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}

det har tecken på a för alla värden på x., Detta innebär att om en > 0, är konkaviteten uppåt riktad överallt; om en < 0, är konkaviteten nedåt riktad; för a = 0 Är krökningen noll överallt, vilket bekräftar att parabolen degenererar till en linje i det här fallet.

den (osignerade) krökningen är maximal för x = –B/2a, det vill säga vid den stationära punkten (nollderivat) av funktionen, som är parabolens vertex.

Tänk på parametriseringen γ (t) = (t, at2 + bt + c) = (x, y). Det första derivatet av x är 1, och det andra derivatet är noll., Att ersätta i formeln för allmänna parametrizationer ger exakt samma resultat som ovan, med x ersatt av t. om vi använder primtal för derivat med avseende på parametern t.

samma parabola kan också definieras av den implicita ekvationen F (x, y) = 0 med F(x, y) = ax2 + bx + c – y. som Fy = -1, och Fyy = FXY = 0, får man exakt samma värde för (osignerad) krökningen. Den signerade krökningen är emellertid meningslös här, as-F (x, y) = 0 är en giltig implicit ekvation för samma parabola, vilket ger motsatt tecken för krökningen.,

Frenet-Serret formler för plane curvesEdit

uttrycket av krökningen när det gäller arc-length parametrization är i huvudsak den första Frenet–Serret formeln

T ’ ( S ) = κ ( S ) N ( s ) , {\displaystyle \mathbf {t} ”(s)=\kappa (s)\mathbf {n} (S),}

där primerna hänvisar till derivaten med avseende på arc length s, och N(S) är den normala enhetsvektorn i riktning av t(er).

eftersom plana kurvor har noll vridning, ger den andra Frenet–Serret-formeln förhållandet

d N d s = – κ t, = – κ d γ d s ., {\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {d \ mathbf {n} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {t} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}.\ end{aligned}}}

för en allmän parametrisering med en parameter t behöver man uttryck som involverar derivat med avseende på t. eftersom dessa erhålls genom att multiplicera med DS/dt derivaten med avseende på s, har man, för en korrekt parametrisering

N ’(t) = − κ ( t) γ ’ ( t). {\displaystyle \ mathbf {n} ”(t)=-\kappa(t){\boldsymbol {\gamma}} ” (t).}

---