Pythagoras sats
Pythagoras sats
inlärningsmål
· använd Pythagoras sats för att hitta den okända sidan av en rätt triangel.
· Lös applikationsproblem som involverar Pythagoras sats.,
introduktion
för länge sedan upptäckte en grekisk matematiker som heter Pythagoras en intressant egenskap om rätt trianglar: summan av kvadraterna av längderna på var och en av triangelns ben är densamma som kvadraten på triangelns hypotenus. Den här egenskapen—som har många tillämpningar inom vetenskap, konst, teknik och arkitektur-kallas nu Pythagoras sats.
Låt oss ta en titt på hur denna sats kan hjälpa dig att lära dig mer om byggandet av trianglar., Och det bästa-du behöver inte ens tala grekiska för att tillämpa Pythagoras upptäckt.
Pythagoras sats
Pythagoras studerade rätt trianglar och relationerna mellan benen och hypotenusen i en rätt triangel innan han härledde sin teori.,
Pythagoras sats
om A och b är längderna på benen i en höger triangel och c är längden på hypotenusen, är summan av kvadraterna av benens längder lika med kvadraten av hypotenusans längd.
detta förhållande representeras av formeln: 
i rutan ovan kan du ha märkt ordet” square”, liksom de små 2s till höger om bokstäverna i ., Att kvadrera ett tal innebär att multiplicera det själv. Så, till exempel, för att kvadrera numret 5 multiplicerar du 5 * 5, och för att kvadrera numret 12 multiplicerar du 12 • 12. Några vanliga rutor visas i tabellen nedan.,5″>
52 = 5 • 5
25
10
102 = 10 • 10
100
När du ser ekvation , du kan tänka på detta som ”längden på sidan en gånger själv, plus längden på sidan b gånger själv är densamma som längden på sidan c gånger själv.,”
låt oss prova alla Pythagoras sats med en verklig rätt triangel.
denna sats gäller för denna högra triangel—summan av kvadraterna av båda benens längder är densamma som kvadraten på hypotenusans längd. Och i själva verket håller det sant för alla rätt trianglar.
Pythagoras sats kan också representeras i fråga om område. I någon rätt triangel är kvadratens område som dras från hypotenusen lika med summan av de områden av kvadraterna som dras från de två benen., Du kan se detta illustreras nedan i samma 3-4-5 högra triangel.
Observera att Pythagoras sats endast fungerar med rätt trianglar.
hitta längden på hypotenusen
Du kan använda Pythagoras sats för att hitta längden på hypotenusen i en rätt triangel om du känner till längden på triangelns andra två sidor, kallade benen. Sätt ett annat sätt, om du vet längden på A och b, kan du hitta c.,
i triangeln ovan får du åtgärder för benen a respektive B: 5 respektive 12. Du kan använda Pythagoras sats för att hitta ett värde för längden på C, hypotenusen.
|
|
Pythagoras sats. |
|
|
ersätt kända värden för A och b., |
|
|
utvärdera. |
|
|
förenkla. För att hitta värdet av c, tänk på ett tal som, när det multipliceras med sig själv, är lika med 169. Fungerar 10? Vad sägs om 11? 12? 13? (Du kan använda en kalkylator för att multiplicera om siffrorna är obekanta.) |
|
13 = c |
kvadratroten av 169 är 13., |
med formeln finner du att längden på C, hypotenusen, är 13.
i det här fallet visste du inte värdet av C-du fick kvadraten av hypotenusens längd och var tvungen att räkna ut det därifrån. När du får en ekvation som 
och uppmanas att hitta värdet av c kallas detta att hitta kvadratroten av ett tal. (Observera att du hittade ett nummer, c, vars torg var 169.,)
att hitta en kvadratrot tar lite övning, men det tar också kunskap om multiplikation, division och lite försök och fel. Titta på tabellen nedan.,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., Om du kan komma ihåg de kvadratiska numren—eller om du kan använda en räknare för att hitta dem—så kommer det bara att vara en fråga om återkallelse att hitta många vanliga fyrkantiga rötter.
för vilken av dessa trianglar är 
?,
a)
b)
c)
D)
hitta längden på ett ben
Du kan använda samma formel för att hitta längden på en höger triangels ben om du får mätningar för hypotenusans längd och det andra benet. Tänk på exemplet nedan.,
|
Example |
|||||
|
Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
|
||||
|
a = ?, b = 6 C = 7 |
i denna högra triangel får du mätningarna för hypotenusen, c och ett ben, b. hypotenusen är alltid motsatt rätt vinkel och det är alltid den längsta sidan av triangeln. |
||||
|
|
för att hitta längden på benet a, ersätt de kända värdena i Pythagoras sats., |
||||
|
|
|
Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
|||
|
|
|
Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055 … som du kan runda till 3,6. (Eftersom du approximerar använder du symbolen |
svar |
|
|
.tr> 
vilken av följande använder korrekt Pythagoras sats för att hitta den saknade sidan, X?,
a) 
b) x + 8 = 10
c) 
d) 
använda sats för att lösa verkliga problem i världen
Pythagoras sats är kanske en av de mest användbara formler du kommer att lära dig i matematik eftersom det finns så många tillämpningar av det i verkliga inställningar., Arkitekter och ingenjörer använder denna formel i stor utsträckning när man bygger ramper, broar och byggnader. Titta på följande exempel.
|
exempel |
||
|
Problem |
ägarna till ett hus vill konvertera en trappa som leder från marken till sin bakre veranda till en ramp. Verandan är 3 fot från marken, och på grund av byggregler rampen måste starta 12 fot från basen av verandan. Hur länge kommer rampen att vara?, använd en kalkylator för att hitta kvadratroten och runda svaret till närmaste tionde. |
|
|
för att lösa ett problem som detta är det ofta meningsfullt att rita ett enkelt diagram som visar var benen och hypotenusen i triangeln ligger., |
||
|
|
||
|
|
a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., Du vet att triangeln är en rätt triangel eftersom marken och den upphöjda delen av verandan är vinkelräta—det betyder att du kan använda Pythagoras sats för att lösa detta problem. Identifiera A, B och c. |
|
|
|
använd Pythagoras sats för att hitta längden på C., |
|
|
12.4 = C |
använd en räknare för att hitta c. kvadratroten av 153 är 12.369…, så att du kan runda det till 12.4. |
|
svar |
rampen kommer att vara 12,4 fot lång., |
|
|
exempel |
||
|
problem |
en segelbåt har en stor segel i form av en rätt triangel. Den längsta kanten av seglet mäter 17 meter, och seglets nedre kant är 8 meter. Hur lång är seglet?, |
|
|
|
rita en bild som hjälper dig att visualisera problemet. – herr talman! I en rätt triangel kommer hypotenusen alltid att vara den längsta sidan, så här måste det vara 17 meter. Problemet berättar också att triangelns nedre kant är 8 meter., |
|
|
|
Setup the Pythagorean Theorem. |
|
|
|
a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
|
Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
|
sammanfattning
Pythagoras sats anger att summan av kvadraternas längder på triangelns ben i någon rätt triangel är densamma som kvadraten på triangelns hypotenus. Denna sats representeras av formeln . Enkelt uttryckt, om du känner till längden på två sidor av en rätt triangel, kan du applicera Pythagoras sats för att hitta längden på den tredje sidan. Kom ihåg att denna sats bara fungerar för rätt trianglar.