Pythagorean Triple (Svenska)
Less…,
A Pythagorean triple is a triple of positive integers 
, 
, and 
such that a right triangle exists with legs 
and hypotenuse 
., Genom Pythagoras sats motsvarar detta att hitta positiva heltal 
, 
och 
tillfredsställande
 |
(1)
|
den minsta och mest kända Pythagoras trippel är 
. Den högra triangeln med dessa sidlängder kallas ibland 3, 4, 5 triangeln.,
punkter i
-planet så att
är en Pythagoreansk trippel visas ovan för successivt större gränser. Dessa tomter inkluderar negativa värden på 
och
, och är därför symmetriska om både X – och y-axlarna.
på samma sätt visas punkter i
-planet så att
är en Pythagoras trippel ovan för successivt större gränser.,
det är vanligt att bara betrakta primitiva pythagoreiska tripplar (även kallade ”reducerade”tripplar) där 
och 
är relativt prime, eftersom andra lösningar kan genereras trivialt från de primitiva. De primitiva tripplarna illustreras ovan, och det kan ses omedelbart att de radiella linjerna som motsvarar imprimitiva tripplar i den ursprungliga tomten saknas i denna figur., För primitiva lösningar måste en av 
eller 
vara jämn, och den andra udda (Shanks 1993, s. 141), med 
alltid udda.,=”7a4ddb31b8″>
Hall (1970) and Roberts (1977) prove that 
is a primitive Pythagorean triple iff
 |
(8)
|
where 
is a finite product of the matrices 
, 
, 
.,662c5″>
Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as
 |
(10)
|
for 
, which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case 
, 
).,
The early Greeks gave
 |
(11)
|
where 
and 
are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting 
and 
).
Let 
be a Fibonacci number., Then
 |
(12)
|
generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers 
, 
, and constructing the Fibonacci-like sequence 
with terms 
, 
, 
, 
, 
, …, generates distinct Pythagorean triples
 |
(13)
|
(Horadam 1961), where
 |
(14)
|
where 
is a Lucas number.
For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e.,, de två mindre siffrorna) är alltid delbar med 12, och produkten på alla tre sidorna är delbar med 60. Det är inte känt om det finns två olika tripplar som har samma produkt. Förekomsten av två sådana tripplar motsvarar en nonzero-lösning till Diophantine-ekvationen
 |
(15)
|
(Guy 1994, s. 188).,
For a Pythagorean triple (
, 
, 
),
 |
(16)
|
where 
is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc”>
(Robertson 1996).,
området för en triangel som motsvarar Pythagoras trippel
är
 |
(20)
|
Fermat visade att ett antal av detta formulär aldrig kan vara ett squarenumber.,td>
The number of such triangles is then
 |
(22)
|
 |
(23)
|
Then
 |
(24)
|
(Beiler 1966, p., 116). Observera att
iff
är prime eller två gånger prime. De första siffrorna för 
, 2, … är 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,
för att hitta antalet sätt 
där ett nummer 
kan vara hypotenusen för en primitiv rätt triangel, skriv dess faktorisering som
 |
(25)
|
där 
är av formen 
och 
är av formen och är av formen 
.,> as a hypotenuse is
 |
 |
 |
(29)
|
 |
 |
 |
(30)
|
(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, där det står att denna formel endast ger antalet icke-primitiva lösningar), där
är summan av kvadraternas funktion., där 
kan vara antingen ett ben eller hypotenus av en rätt triangel ges av
 |
(32)
|
(32)
låt antalet tripplar med hypotenus
Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than
(OEIS A086201). There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d”>
|
 |
(39)
|
betecknas
, antalet tripplar med hypotenus
betecknas 
, och antalet primitiva tripplar mindre än 
betecknas 
., Then the following table summarizes the values for powers of 10.
, 
, …
satisfies
Then the right triangle generated by each triple (
) has common area
 |
(40)
|
Right triangles whose areas consist of a single digit include 
(area of 6) and 
(area of 666666; Wells 1986, p., 89).
år 1643 utmanade Fermat Mersenne att hitta en Pythagoreansk triplett vars hypotenus och summan av benen var kvadrater.,
A related problem is to determine if a specified integer 
can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3 och 4 är inte områdena för några rationella sidiga högra trianglar, men 5 är (3/2, 20/3, 41/6), som är 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case
 |
 |
 |
(47)
|
 |
 |
 |
(48)
|
(Koblitz 1993)., Det finns ingen känd allmän metod för att bestämma om det finns en lösning för godtycklig 
, men en teknik som J. Tunnell utarbetade 1983 gör det möjligt att utesluta vissa värden (Cipra 1996).