Sannolikhetsdensitetsfunktion
av Marco Taboga, PhD
fördelningen av en kontinuerlig slumpvariabel kan karakteriseras genom dess sannolikhetsdensitetsfunktion (pdf). Sannolikheten att en kontinuerlig slumpvariabel tar ett värde i ett givet intervall är lika med integralen av dess sannolikhetsdensitetsfunktion över det intervallet, vilket i sin tur är lika med området i regionen i xy-planet avgränsat av x-axeln, pdf och de vertikala linjer som motsvarar gränserna för intervallet.,
till exempel, i bilden under den blå linjen är pdf av en normal slumpmässig variabel och området för den röda regionen är lika med sannolikheten att den slumpmässiga variabeln tar ett värde som består mellan -2 och 2.
Definition
Följande är en formell definition.
Definition sannolikhetsdensitetsfunktionen för en kontinuerlig slumpvariabel 
är en funktion 
så att
för alla intervall .,
uppsättningen värden för vilka kallas stöd för.,för att integrera sannolikhetsdensitetsfunktionen över det intervallet:
sannolikhetsdensiteten är inte en sannolikhet
det är viktigt att förstå en grundläggande skillnad mellan sannolikhetsdensitetsfunktionen, som karakteriserar fördelningen av en kontinuerlig slumpmässig variabel och sannolikhetsmassfunktionen, som karakteriserar fördelningen av en diskret slumpmässig variabel (kom ihåg: en slumpmässig variabel är diskret om antalet värden som den kan ta är räknbar, medan antalet värden som en kontinuerlig slumpmässig variabel kan ta är oräkneliga)., Sannolikhetsmassfunktionen för en diskret variabel är en funktion som ger dig, för alla reella tal , sannolikheten att kommer att vara lika med . Tvärtom, om är en kontinuerlig variabel, är dess sannolikhetsdensitetsfunktion utvärderad vid en given punkt inte sannolikheten att kommer att vara lika med., I själva verket är denna sannolikhet lika med noll för alla eftersom
där är någon primitiv (eller obestämd integral) av .
om du är förbryllad av det senare resultatet rekommenderas du att läsa föreläsningen om noll-sannolikhetshändelser.
även om det inte är en sannolikhet kan värdet på pdf-filen vid en given punkt ges en enkel tolkning:
där är en liten ökning.,
beviset vi kommer att ge är inte rigoröst. Snarare fokuserar vi på intuitionen. För enkelhetens skull antar vi att pdf är en kontinuerlig funktion. Strängt taget är detta inte nödvändigt, även om de flesta PDF-filer som uppstår i praktiken är kontinuerliga (per definition måste en pdf vara integrerbar; medan alla kontinuerliga funktioner är integrerbara, är inte alla integrerbara funktioner kontinuerliga)., Om pdf-filen är kontinuerlig och är liten är väl approximerad av för alla som tillhör intervallet 
. Av detta följer att
i ovanstående ungefärliga jämlikhet anser vi sannolikheten att kommer att vara lika med eller ett värde som tillhör ett litet intervall nära. I synnerhet anser vi intervallet ., Sannolikheten är proportionell mot längden för det lilla intervallet vi överväger. Konstanten av proportionalitet är sannolikhetsdensitetsfunktionen för utvärderad vid. Ju högre pdf är vid en given punkt , desto högre är sannolikheten att kommer att ta ett värde nära .,
relaterade begrepp
relaterade begrepp är de av:
-
gemensam sannolikhetsdensitetsfunktion, som karakteriserar fördelningen av en kontinuerlig slumpvektor;
-
marginell sannolikhetsdensitetsfunktion, som karakteriserar fördelningen av en delmängd poster av en slumpvektor;
-
villkorlig sannolikhetsdensitetsfunktion, som är en pdf erhållen genom konditionering av realiseringen av en annan slumpvariabel.,
mer detaljer
Sannolikhetsdensitetsfunktioner diskuteras mer detaljerat i föreläsningen med titeln slumpmässiga variabler.
Fortsätt läsa ordlistan
föregående post: tidigare Sannolikhet
nästa post: Sannolikhetsmassfunktion
hur man citerar
vänligen citera som: