Snell”s law (Svenska)
Snells lag kan härledas på olika sätt.
härledning från Fermat”s principleEdit
Snell”s lag kan härledas från Fermat”s princip, som säger att ljuset färdas den väg som tar minst tid., Genom att ta derivatet av den optiska banlängden finns den stationära punkten som ger den väg som ljuset tar. (Det finns situationer med ljus som bryter mot Fermats princip genom att inte ta den minsta tidsvägen, som i reflektion i en (sfärisk) spegel.) I en klassisk analogi ersätts området med lägre brytningsindex av en strand, området med högre brytningsindex vid havet och det snabbaste sättet för en räddare på stranden att komma till en drunkande person i havet är att springa längs en väg som följer Snell”s lag.,
ljus från medium 1, punkt Q, går in i medium 2, refraktion inträffar och når punkt P slutligen.
som visas i figuren till höger, antar brytningsindex för medium 1 och medium 2 är N 1 {\displaystyle n_{1}} och n 2 {\displaystyle n_{2}} respektive. Ljus går in i medium 2 från medium 1 Via punkt O.
fashastigheterna för ljus i medium 1 och medium 2 är
v 1 = c / n 1 {\displaystyle V_{1}=C/n_{1}} och v 2 = c / n 2 {\displaystyle V_{2}=C/n_{2}} respektive.,
c {\displaystyle C} är ljusets hastighet i vakuum.
Låt t vara den tid som krävs för att ljuset ska resa från punkt Q till punkt O till punkt P.
T = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + ( L − x ) 2 v 2 = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + L 2 − 2 L x + x 2 v 2 {\displaystyle t={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(L-x)^{2}}}{V_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {B^{2}+l^{2}-2LX+x^{2}}}{V_{2}}}}
Var a, b, l och X är som betecknade i höger figur, X är den varierande parametern.,värm _{2}}{v_{2}}}} n 1 synd θ 1 c = n 2 sin θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\synd \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\synd \theta _{2}}{c}}} n 1 synd θ 1 = n 2 sin θ 2 {\displaystyle n_{1}\synd \theta _{1}=n_{2}\synd \theta _{2}}
Härledning från Huygens”s principleEdit
Ytterligare information: Huygens–Fresnel-principen
Alternativt Snell”s lag kan härledas med hjälp av störningar av alla möjliga vägar våg av ljus från källan till betraktaren—det resulterar i destruktiva störningar överallt utom i extrema av fas (där störningar är konstruktiv)—som blir faktiska vägar.,
härledning från Maxwell”s EquationsEdit
ett annat sätt att härleda Snell”s lag innebär en tillämpning av de allmänna gränsvillkoren för Maxwell ekvationer för elektromagnetisk strålning.,θ 1 = n 2 k 0 synd θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\synd \theta _{1}=n_{2}k_{0}\synd \theta _{2}\,} n 1 synd θ 1 = n 2 sin θ 2 {\displaystyle n_{1}\synd \theta _{1}=n_{2}\synd \theta _{2}\,}
Vektor formEdit
Se också: Speglande reflektion § Riktning av reflektion
cos θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} v → r e f l e c t = l → + 2 cos θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflektera} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}
Detta återspeglas vektorn pekar i riktning tillbaka mot sidan av den yta där ljuset kom ifrån.,{2}={\sqrt {1 – (\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v → r e f r a c t = ( n 1 n 2 ) l → + ( n 1 n 2 cos θ 1 − cos θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract}}} =\left({\frac {n_{1}} {n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}} {n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r a c t = r L → + ( R C − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract}} =r{\vec {l}}+\left(RC-{\sqrt {1-r^{2}\Left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}
exempel:
L → = { 0.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , r = n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c-2 ) = cos θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflektera} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {bryter} }=\{0.636396,-0.,771362\}}
cosinusvärdena kan sparas och användas i Fresnel ekvationer för att arbeta ut intensiteten hos de resulterande strålarna.